2023年山西省长治市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)

2023年山西省长治市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.A.A.2/3B.3/2C.2D.3

2.

3.

4.鉴别的方法主要有查证法、比较法、佐证法、逻辑法。其中（）是指通过寻找物证、人证来验证信息的可靠程度的方法。

A.查证法B.比较法C.佐证法D.逻辑法

5.若收敛，则下面命题正确的是()A.A.

B.

C.

D.

6.A.A.

B.

C.

D.

7.

8.设f(x)为连续函数，则下列关系式中正确的是()A.A.

B.

C.

D.

9.对于微分方程y"-2y'+y=xex，利用待定系数法求其特解y*时，下列特解设法正确的是（）。A.y*=(Ax+B)ex

B.y*=x(Ax+B)ex

C.y*=Ax3ex

D.y*=x2(Ax+B)ex

10.

11.设f(x)为连续函数，则(∫f5x)dx)'等于()A.A.

B.5f(x)

C.f(5x)

D.5f(5x)

12.

A.-ex

B.-e-x

C.e-x

D.ex

13.（）。A.收敛且和为0

B.收敛且和为α

C.收敛且和为α-α1

D.发散

14.

15.设f(xo)=0，f(xo)<0，则下列结论中必定正确的是

A.xo为f(x)的极大值点

B.xo为f(x)的极小值点

C.xo不为f(x)的极值点

D.xo可能不为f(x)的极值点

16.

17.

18.

19.设y=e-5x，则dy=（）A.-5e-5xdxB.-e-5xdxC.e-5xdxD.5e-5xdx

20.

二、填空题(20题)21.已知平面π：2x+y一3z+2=0，则过原点且与π垂直的直线方程为________．22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.设y=y(x)由方程x2+xy2+2y=1确定，则dy=______．30.若当x→0时，2x2与为等价无穷小，则a=______．31.32.______。

33.

34.如果函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f(b)-f(a)=________。

35.36.________。

37.

38.

39.40.三、计算题(20题)41.42.证明：43.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．44.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．45.

46.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

47.

48.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．49.

50.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则51.求微分方程的通解．52.53.54.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．55.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

56.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

57.求曲线在点(1，3)处的切线方程．58.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

59.

60.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

四、解答题(10题)61.求微分方程y"+4y=e2x的通解。

62.63.求在区间[0，π]上由曲线y=sinx与y=0所围成的图形的面积A及该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积Vx。64.求由曲线y=x2(x≥0)，直线y=1及Y轴围成的平面图形的面积·

65.

66.

67.

68.69.

70.

五、高等数学(0题)71.设生产某产品利润L(x)=5000+x一0．0001x2百元[单位：件]，问生产多少件时利润最大，最大利润是多少?

六、解答题(0题)72.设y=xsinx，求y'。

参考答案

1.A

2.D解析：

3.A解析：

4.C解析：佐证法是指通过寻找物证、人证来验证信息的可靠程度的方法。

5.D本题考查的知识点为级数的基本性质．

由级数收敛的必要条件：若收敛，则必有，可知D正确．而A，B，C都不正确．

本题常有考生选取C，这是由于考生将级数收敛的定义存在，其中误认作是un，这属于概念不清楚而导致的错误．

6.B

7.D

8.B本题考查的知识点为：若f(x)可积分，则定积分的值为常数；可变上限积分求导公式的运用．

注意到A左端为定积分，定积分存在时，其值一定为常数，常量的导数等于零．因此A不正确．

由可变上限积分求导公式可知B正确．C、D都不正确．

9.D特征方程为r2-2r+1=0，特征根为r=1(二重根)，f(x)=xex，α=1为特征根，因此原方程特解y*=x2(Ax+B)ex，因此选D。

10.D

11.C本题考查的知识点为不定积分的性质．

(∫f5x)dx)'为将f(5x)先对x积分，后对x求导．若设g(x)=f(5x)，则(∫f5x)dx)'=(∫g(x)dx)'表示先将g(x)对x积分，后对x求导，因此(∫f(5x)dx)'=(∫g(x)dx)'=g(x)=f(5x)．

可知应选C．

12.C由可变上限积分求导公式有，因此选C．

13.C

14.B

15.A

16.B

17.C

18.D

19.A

20.B

21.

本题考查的知识点为直线方程和直线与平面的关系．

由于平面π与直线1垂直，则直线的方向向量s必定平行于平面的法向量n，因此可以取

22.(2x+cosx)dx．

本题考查的知识点为微分运算．

23.

24.

25.

26.-1本题考查了利用导数定义求极限的知识点。

27.

解析：

28.

29.

；30.6；本题考查的知识点为无穷小阶的比较．

当于当x→0时，2x2与为等价无穷小，因此

可知a=6．31.x-arctanx+C；本题考查的知识点为不定积分的运算．

32.本题考查的知识点为极限运算。

所求极限的表达式为分式，其分母的极限不为零。

因此

33.-2y-2y解析：

34.f"(ξ)(b-a)由题目条件可知函数f(x)在[a，b]上满足拉格朗日中值定理的条件，因此必定存在一点ξ∈(a，b)，使f(b)-f(a)=f"(ξ)(b-a)。35.1．

本题考查的知识点为反常积分，应依反常积分定义求解．

36.

37.

38.2

39.1本题考查了无穷积分的知识点。

40.

41.

42.

43.由二重积分物理意义知

44.

45.

则

46.

47.

48.

49.由一阶线性微分方程通解公式有

50.由等价无穷小量的定义可知

51.

52.

53.

54.函数的定义域为

注意

55.

列表：

说明

56.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％57.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

58.

59.

60.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

61.62.解如图所示，将积分区域D视作y-型区域，即

63.64.y=x2(x≥0)，y=1及y轴围成的平面图形D如图3—1所示．其面积为

65.

66.

67.

68.

69.本题考查的知识点为二重积分的计算(极坐标系)．

利用极坐标，区域D可以表示为

0≤0≤π，0≤r≤2，

如果积分区域为圆域或圆的－部分，被积函数为f(x2＋y2)的二重积分，通常利用极坐标计算较方便．

使用极坐标计算二重积分时，要先将区域D的边界曲线化为极坐标下的方程表示，以确定出区域D的不等式表示式，再将积分化为二次积分．

本题考生中常见的错误为：

被积函数中丢掉了r．这是将直角坐标系下的二重积分化为极坐标下的二次积分时常见的错误，考生务必要注意．

70.

71.L(x)=5000+x一0．0001x2L"(x)=1—0．0002x=0：x=5000；L""(x)=一0．0002<0∴x=5000取极大值L(5000)=7500答：生产5000件时利润最大最大利润是7500(百元)。L(x)=5000