2023年山西省忻州市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)

2023年山西省忻州市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.

2.微分方程y"-y'=0的通解为()。A.

B.

C.

D.

3.

4.设函数f(x)=2lnx+ex，则f(2)等于（）。

A.eB.1C.1+e2

D.ln2

5.

[]A.e-x+C

B.-e-x+C

C.ex+C

D.-ex+C

6.

7.若x→x0时，α(x)、β(x)都是无穷小(β(x)≠0)，则x→x0时，α(x)/β(x)A.A.为无穷小B.为无穷大C.不存在，也不是无穷大D.为不定型

8.

9.下列级数中发散的是（）

A.

B.

C.

D.

10.

11.设函数y＝f(x)的导函数，满足f(－1)＝0，当x<－1时，f(x)<0；当x>－1时，f(x)>0．则下列结论肯定正确的是（）．

A.x＝－1是驻点，但不是极值点B.x＝－1不是驻点C.x＝－1为极小值点D.x＝－1为极大值点

12.

13.

14.A.A.椭球面B.圆锥面C.旋转抛物面D.柱面15.函数f(x)=5x在区间[-1，1]上的最大值是A.A.-(1/5)B.0C.1/5D.516.A.A.

B.

C.

D.

17.

18.

19.A.A.0

B.

C.

D.∞

20.

二、填空题(20题)21.已知平面π：2x+y-3z+2=0，则过点(0，0，0)且与π垂直的直线方程为______．

22.

23.

24.

25.26.27.28.29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.38.极限=________。

39.

40.

三、计算题(20题)41.求微分方程的通解．

42.

43.

44.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

45.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．46.证明：47.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

48.

49.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．50.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．51.

52.53.

54.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

55.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．56.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则57.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．58.59.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

60.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

四、解答题(10题)61.62.设z=z(x，y)由x2+2y2+3z2+yz=1确定，求

63.

64.设区域D为：65.求由曲线y=x，y=lnx及y=0，y=1围成的平面图形的面积S及此平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积．66.设F(x)为f(x)的一个原函数，且f(x)=xlnx，求F(x)．67.

68.某厂要生产容积为Vo的圆柱形罐头盒，问怎样设计才能使所用材料最省?

69.

70.

五、高等数学(0题)71.f(z，y)=e-x.sin(x+2y)，求

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.D解析：

2.B本题考查的知识点为二阶常系数齐次微分方程的求解。微分方程为y"-y'=0特征方程为r2-r=0特征根为r1=1，r2=0方程的通解为y=C1ex+c2可知应选B。

3.D解析：

4.C

5.B

6.A

7.D

8.C解析：

9.D

10.A

11.C本题考查的知识点为极值的第－充分条件．

由f(－1)＝0，可知x＝－1为f(x)的驻点，当x<－1时f(x)<0；当x>－1时，

f(x)>1，由极值的第－充分条件可知x＝－1为f(x)的极小值点，故应选C．

12.B

13.C解析：

14.C本题考查的知识点为二次曲面的方程．

15.Df(x)=5x，f'(x)=5xln5＞0，可知f(x)在[-1，1]上单调增加，最大值为f(1)=5，所以选D。

16.D本题考查的知识点为偏导数的计算．

17.D

18.C

19.A本题考查的知识点为“有界变量与无穷小量的乘积为无穷小量”的性质．这表明计算时应该注意问题中的所给条件．

20.A

21.本题考查的知识点为直线的方程和平面与直线的关系．

由于直线与已知平面垂直，可知直线的方向向量s与平面的法向量n平行．可以取s=n=(2，1，-3)，又已知直线过点(0，0，0)，由直线的标准式方程可知

为所求．

22.

解析：

23.e

24.25.本题考查的知识点为：求解可分离变量的微分方程．26.－24．

本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最大值．

若f(x)在(a，b)内可导，在[a，b]上连续，常可以利用导数判定f(x)在[a，b]上的最值：

27.

本题考查的知识点为可分离变量方程的求解．

可分离变量方程求解的一般方法为：

(1)变量分离；

(2)两端积分．

28.

29.

30.

31.

32.

33.e34.1

35.63/12

36.

本题考查的知识点为二重积分的计算．37.2x＋3y．

本题考查的知识点为偏导数的运算．

38.因为所求极限中的x的变化趋势是趋近于无穷，因此它不是重要极限的形式，由于=0，即当x→∞时，为无穷小量，而cosx-1为有界函数，利用无穷小量性质知

39.2

40.

41.

42.

43.

44.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

45.

46.

47.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

48.49.函数的定义域为

注意

50.

51.

则

52.

53.由一阶线性微分方程通解公式有

54.

55.由二重积分物理意义知

56.由等价无穷小量的定义可知

57.

58.

59.

列表：

说明

60.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

61.

62.

63.64.利用极坐标，区域D可以表示为0≤θ≤π,0≤r≤2本题考查的知识点为二重积分的计算(极坐标系)．

如果积分区域为圆域或圆的一部分，被积函数为f(x2+y2)的二重积分，通常利用极坐标计算较方便．

使用极坐标计算二重积分时，要先将区域D的边界曲线化为极坐标下的方程表示，以确定出区域D的不等式表示式，再将积分化为二次积分．

本题考生中常见的错误为：

被积函数中丢掉了r．这是将直角坐标系下的二重积分化为极坐标下的二次积分时常见的错误，考生务必要注意．65.所给曲线围成的图形如图8-1所示．66.由题设可得知本题考查的知识点为两个：原函数的概念和分部积分法．

67.

68.解设圆柱形罐头盒的底圆半径为r，高为h，表面积为S，则

69.

70.

71.f(xy)=e-x.sin(x+2y)∴fx"(zy)=一e-x