云南省昆明市北大村中学2021-2022学年高一数学理联考试卷含解析

云南省昆明市北大村中学2021-2022学年高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知lga+lgb=0（a＞0，b＞0且a≠1，b≠1），则函数f（x）=ax与函数g（x）=﹣logbx的图象可能是（）A． B． C．

D．参考答案：B【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质．【分析】由lga+lgb=0（a＞0，b＞0且a≠1，b≠1），得ab=1，从而得到g（x）=logax，与f（x）=ax互为反函数，从而得到答案．【解答】解：∵lga+lgb=0（a＞0，b＞0且a≠1，b≠1），∴ab=1，∴b=，∴g（x）=﹣logbx的=﹣=logax，函数f（x）=ax与函数g（x）=﹣logbx互为反函数，∴二者的图象关于直线y=x对称，故选B．2.下列四组函数中，表示同一个函数的是（

） A. B.C.

D.参考答案：D3.已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（）A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（﹣2，3）参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N={x|﹣1＜x＜1}，故选：B4.函数的大致图像是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C5.（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=t有3个不等根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则x3﹣x1的取值范围为（） A． （2，] B． （2，] C． （2，] D． （2，3）参考答案：B考点： 根的存在性及根的个数判断．专题： 计算题；作图题；函数的性质及应用．分析： 作函数f（x）=与y=t的图象，从而可得0＜t＜1，x1=﹣t，x3==1+；从而可得x3﹣x1=1++t=﹣（﹣）2+；从而解得．解答： 解：作函数f（x）=与y=t的图象如下，结合图象可知，0＜t＜1；x1=﹣t，x3==1+，故x3﹣x1=1++t=﹣（﹣）2+；故2＜x3﹣x1≤；故选：B．点评： 本题考查了学生作图的能力及数形结合的思想应用，同时考查了配方及换元法的应用，属于中档题．6.下列函数同时具有“最小正周期是，图象关于点（，0）对称”两个性质的函数是（

） A． B． C． D．参考答案：B7.已知是三角形的一个内角且，则此三角形是（

）A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．等腰三角形参考答案：C略8.设，且，则下列说法正确的是（

）A.B.C.D.参考答案：B9.关于的二次方程=0没有实数根，则向量与的夹角的范围为

A.

B.

C.

D.参考答案：D10.已知，则不等式的解集为（

）A．(－∞,－3]

B．[－3,+∞)

C.

D．参考答案：C设，则不等式等价为，作出的图象，如图，由图象可知时，，即时，，若，由得，解得，若，由，得，解得，综上，即不等式的解集为，故选C.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设奇函数的定义域为，若当的图象如右图,则不等式≤0解集是______________.参考答案：略12.函数的定义域为．参考答案：[2，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0求解即可．【解答】解：由x﹣2≥0得，x≥2．∴原函数的定义域为[2，+∞）．故答案为[2，+∞）．13.不等式2x﹣2＜1的解集是．参考答案：{x|x＜2}【考点】指、对数不等式的解法．【分析】根据指数函数的单调性，把不等式化为x﹣2＜0，求出解集即可．【解答】解：由不等式2x﹣2＜1，得x﹣2＜0，解得x＜2，所以不等式的解集是{x|x＜2}．故答案为：{x|x＜2}．14.已知函数是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围为．参考答案：（0，2]【考点】函数单调性的性质．【专题】计算题．【分析】由f（x）在R上单调减，确定2a，以及a﹣3的范围，再根据单调减确定在分段点x=1处两个值的大小，从而解决问题．【解答】解：依题意有2a＞0且a﹣3＜0，解得0＜a＜3又当x≤1时，（a﹣3）x+5≥a+2，当x＞1时，因为f（x）在R上单调递减，所以a+2≥2a，即a≤2综上可得，0＜a≤2故答案为：（0，2]【点评】本题考查分段函数连续性问题，关键根据单调性确定在分段点处两个值的大小．15.在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为2，则二面角A﹣BD﹣C的大小为_________．参考答案：16.在等差数列{an}中，，则

.参考答案：18因为数列为等差数列，，而，故答案是18.

17.半径为4的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_________．参考答案：32π三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．（I）求证：平面平面；（II）求与平面所成角的正弦的最大值．参考答案：（I）证明：由题意，，，是二面角的平面角，又二面角是直二面角，，又，平面，又平面．平面平面．

（II）解：由（I）知，平面，是与平面所成的角，且．当最小时，最大，这时，，垂足为，，

，与平面所成角的正弦值的最大值为．略19.（8分）已知.(1)求与的夹角；

(2)若,且,求及.参考答案：(1)(2a-3b)·(2a+b)=61,解得a·b=-6

(2)

,（8分）20.2019年春节期间，由于人们燃放烟花爆竹，致使一城镇空气出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒1千克的去污剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和.经测试，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用.（1）若一次喷洒4千克的去污剂，则去污时间可达几天？（2）若第一次喷洒2千克的去污剂，6天后再喷洒千克的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a的最小值.参考答案：（1）7天；(2).【分析】(1)空气中释放的浓度为,时，,时，,分别解不等式即可；（2）设从第一次喷洒起，经天，浓度=，由不等式得到最值.【详解】（1）因为一次喷洒4个单位的去污剂，所以空气中释放的浓度为当时，，解得，，当时，，解得，，综上得，即一次投放4个单位的去污剂，有效去污时间可达7天.(2)设从第一次喷洒起，经天，浓度===，即，,当时，，满足题意，所以的最小值为.【点睛】本题考查了实际应用问题，涉及到不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.21.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将y=f（x）的图象向右平移个单位，所得函数g（x）为奇函数．（1）求函数f（x）的解析式及单调增区间；（2）设函数，求函数y的最小值φ（m）．参考答案：【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】分类讨论；换元法；转化法；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】（1）先求出ω=2，由所得函数g（x）为奇函数，可求得φ的值，从而确定f（x）的解析式；从而求得f（x）的单调增区间．（2）利用换元法，将函数最化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质进行讨论即可．【解答】解：（1）由题意函数f（x）的图象两相邻对称轴之间的距离是，可得函数的周期为π，即=π，ω=2，故函数为f（x）=sin（2x+φ）．将函数f（x）图象向右平移个单位，得到函数g（x）的解析式为g（x）=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x﹣+φ），∵函数g（x）为奇函数．∴﹣+φ=kπ，φ=kπ+，k∈Z．不妨令k=0，则φ取值为．故有f（x）=sin（ωx+φ）=sin（2x+）．∵函数y=sin（2x+），∴令2kπ﹣≤2x+≤+2kπ

k∈Z，即kπ﹣≤x≤+kπ（k∈Z），即函数的单调增区间为：[kπ﹣，+kπ]，k∈Z．（2）∵x∈[0，]，∴2x∈[0，π]，0≤sin2x≤1，由（1）得g（x）=sin2x，且，设t=g（x），则0≤t≤1，则函数等价为y=3t2+mt+2，0≤t≤1，对称轴为t=﹣，若0＜﹣＜1，得﹣6＜m＜0，则当t=﹣时，y取最小值φ（m）=2﹣，若﹣≤0，得m≥0，则当t=0时，y取最小值φ（m）=2，若﹣≥1，得m≤﹣6，则当t=1时，y取最小值φ（m）=5+m，即φ（m）=．【点评】本题主要考查三角