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上海第十二中学2022-2023学年高三数学文月考试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.若f(x)是定义在R上的奇函数,满足f(x+1)=f(x﹣1),当x∈(0,1)时,f(x)=2x﹣2,则f(log24)的值等于()A.﹣ B.﹣ C. D.﹣参考答案:C【考点】函数奇偶性的性质.【分析】由f(x+1)=f(x﹣1)化简后求出函数的周期,利用奇函数的性质、函数的周期性、对数的运算性质化简和转化f(log24),代入已知的解析式由指数的运算性质求值即可.【解答】解:∵f(x+1)=f(x﹣1),∴f(x+2)=f(x),则函数f(x)的周期是2,∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(log24)=f(﹣)=﹣f()=﹣f()=﹣f(3+)=﹣f(﹣1+)∵1<<2,∴0<﹣1+<1,∵当x∈(0,1)时,f(x)=2x﹣2,∴f(﹣1+)==﹣2=,即f(log24)=,故选C.2.的展开式中常数项为(
)A.
B.
C.
D.参考答案:B3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asinA-bsinB=4csinC,cosA=-,则=A.6 B.5 C.4 D.3参考答案:A由正弦定理可得到:,即,又由余弦定理可得到:,于是可得到
4.复数的共轭复数是()A.1+i B.﹣1+i C.1﹣i D.﹣1﹣i参考答案:D【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简,然后求其共轭得答案.【解答】解:∵,∴,故选:D.5.已知圆:与圆:交于,两点,直线的方程为(
)A.
B.
C.
D.参考答案:B两圆方程相减即得直线的方程:,选B.6.不等式组表示的点集记为A,不等式组表示的点集记为B,在A中任取一点P,则P∈B的概率为()A. B. C. D.参考答案:A【考点】二元一次不等式(组)与平面区域;几何概型.【专题】概率与统计.【分析】分别画出点集对应的区域,求出面积,利用几何概型的公式解答.【解答】解:分别画出点集A,B如图,A对应的区域面积为4×4=16,B对应的区域面积如图阴影部分面积为=()|=,由几何概型公式得,在A中任取一点P,则P∈B的概率为;故选A.【点评】本题考查了几何概型的公式的运用;关键是画出区域,求出区域面积,利用几何概型公式求值.7.函数则的值为
(
)A.
B.C.D.18
参考答案:C略8.用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间,这样的五位数的个数有(
)A.48个
B.12个
C.36个
D.28个参考答案:答案:D9.一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形,若该几何体的所有顶点在同一球面上,则该球的表面积是().A.12π
B.24πC.32π
D.48π参考答案:【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案解析】D由三视图可知该几何体是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.其中底面ABCD是边长为4的正方形,高为4,
该几何体的所有顶点在同一球面上,则球的直径为×4=4,即球的半径为2,所以该球的表面积是4π(2)2=48π.故选D.【思路点拨】该几何体的直观图如图所示,它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.其中底面ABCD是边长为4的正方形,高为CC1=4,故可求结论.10.
已知椭圆与为端点的线段没有公共点,则的取值范围是
A.
B.或C.或
D.参考答案:答案:B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的值域为
.参考答案:12.已知{an}是等比数列,,则a1a2+a2a3+…+anan+1=
.参考答案:考点:数列的求和;等比数列的通项公式.专题:计算题.分析:首先根据a2和a5求出公比q,根据数列{anan+1}每项的特点发现仍是等比数列,根据等比数列求和公式可得出答案.解答: 解:由,解得.数列{anan+1}仍是等比数列:其首项是a1a2=8,公比为,所以,故答案为.点评:本题主要考查等比数列通项的性质和求和公式的应用.应善于从题设条件中发现规律,充分挖掘有效信息.13.在中,,,则的面积是_
_.参考答案:略14.在中,若,且,则__________.参考答案:由题意结合可知点O是△ABC的垂心,,则:,设边AB的中点为D,如图所示,由于,则,结合平面向量数量积的定义有:.15.如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的体积大小为
.参考答案:考点:由三视图求面积、体积.专题:计算题.分析:由三视图可知,该几何体时一个边长为2,2,1的长方体挖去一个半径为1的半球.代入长方体的体积公式和球的体积公式,即可得到答案.解答: 由三视图可知,该几何体时一个边长为2,2,1的长方体挖去一个半径为1的半球.所以长方体的体积为2×2×1=4,半球的体积为,所以该几何体的体积为.故答案为:.点评:本题考查的知识点是由三视图求体积,其中根据已知中的三视图判断出几何体的形状是解题的关键.16.在实数范围内,不等式的解集为.
参考答案:17.我们可以从“数”和“形”两个角度来检验函数的单调性.从“形”的角度:在区间I上,若函数y=f(x)的图象从左到右看总是上升的,则称y=f(x)在区间I上是增函数.那么从“数”的角度:,则称y=f(x)在区间I上是增函数.参考答案:对任意的x1、x2∈I,若x1<x2,都有f(x1)<f(x2)略三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(本小题满分14分)设函数(1)求函数在点处的切线方程;(2)设讨论函数的单调性;(3)设函数,是否同时存在实数和,使得对每一个,直线与曲线都有公共点?若存在,求出最小的实数和最大的实数;若不存在,说明理由.参考答案:解:(I)=+1(>0),
则函数在点处切线的斜率为=2,,∴所求切线方程为,即.
(II)=,令=0,则=或,①当0<<2,即时,令>0,解得0<<或>;令<0,解得<<;源:]∴在(0,),(,+)上单调递增,在(,)单调递减.②当=2,即时,≥0恒成立,∴在(0,+)上单调递增.③当>2,即时,令>0,解得0<<或>;令<0,解得<<;在(0,),(,+)上单调递增,在(,)单调递减.(III),令=0,则=1,当在区间内变化时,的变化情况如下表:
-0+
递减极小值1递增2又,∴函数的值域为[1,2].
据此可得,若,则对每一个,直线与曲线都有公共点;并且对每一个,直线与曲线都没有公共点.综上,存在实数和,使得对每一个,直线与曲线都有公共点.略19.已知向量a是以点A(3,-1)为起点,且与向量b=(-3,4)垂直的单位向量,求a的终点坐标.参考答案:设a的终点坐标为(m,n),则a=(m-3,n+1),∵a⊥b,∴由题意由①得:n=(3m-13)代入②得25m2-150m+209=0,解得或∴a的终点坐标是(,-)或(,-).
20.如图,在四棱锥中P-ABCD中,底面ABCD为菱形,,Q为AD的中点..(I)若PA=PD,求证:平面平面PAD;(II)若平面平面ABCD,且,点M在线段PC上,且PM=2MC,求三棱锥C-QBM的体积.参考答案:(I),为的中点,,又底面为菱形,
,,又平面,又
平面,平面平面;(II)平面平面,平面平面,平面,又,略21.已知函数f(x)=ax3﹣3x.(1)求函数f(x)单调区间;(2)若在区间[1,2]上,f(x)≥4恒成立,求实数a的取值范围.参考答案:解答: 解:(1)a=0时,f(x)=﹣3x,∴f(x)的单调减区间是R;当a≠0时,∵f(x)=ax3﹣3x,a≠0,∴f′(x)=3ax2﹣3=3(ax2﹣1),∴当a>0时,由f′(x)>0得:x>或x<﹣,由f′(x)<0得:﹣当a<0时,由f′(x)>0得:,由f′(x)<0得:x<或x>﹣;∴当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为(﹣∞,﹣),(,+∞);函数f(x)的单调递减区间为(﹣,),);当a<0时,函数f(x)的单调递增区间为(,﹣),函数f(x)的单调递减区间为(﹣∞,),(﹣,+∞);(2)当a≤0时,由(1)可知,f(x)在区间[1,2]是减函数,由f(2)=4得,(不符合舍去),当a>0时,f′(x)=3ax2﹣3=0的两根x=,①当,即a≥1时,f′(x)≥0在区间[1,2]恒成立,f(x)在区间[1,2]是增函数,由f(1)≥4得a≥7;②当,即时f′(x)≤0在区间[1,2]恒成立f(x)在区间[1,2]是减函数,f(2)≥4,a(不符合舍去);③当1,即时,f(x)在区间[1,]是减函数,f(x)在区间[,2]是增函数;所以f()≥4无解.综上,a≥7.
略22.(满分12分)已知椭圆的一个顶点为B,离心率,直线l交椭圆于M、N两点.(Ⅰ)若直线的方程为,求弦MN的长;(II)如果ΔBMN的重心恰好为椭圆的右焦点F,求直线的方程.参考答案:(1)由已知,且,即,∴,解得,∴椭圆方程为;……3分由
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