上海鲁矿第一中学2021年高二数学理下学期期末试卷含解析

上海鲁矿第一中学2021年高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】把x=﹣c代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据∠F1PF2=60°推断出=整理得e2+2e﹣=0，进而求得椭圆的离心率e．【解答】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣），∵∠F1PF2=60°，∴=，即2ac=b2=（a2﹣c2）．∴e2+2e﹣=0，∴e=或e=﹣（舍去）．故选B．2.如图1所示，已知四边形ABCD，EADM和MDCF都是边长为的正方形，点P是ED的中点，则P点到平面EFB的距离为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B3.若满足,则直线过定点 (

)

A.

B.

C.

D.参考答案：B略4.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝()参考答案：C.5.方程表示圆，则的取值范围是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D6.若复数=2﹣i其中a，b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等、几何意义即可得出．【解答】解：复数=2﹣i，其中a，b是实数，∴a+i=（2﹣i）（b﹣i）=2b﹣1﹣（2+b）i，∴，解得b=﹣3，a=﹣7．则复数a+bi在复平面内所对应的点（﹣7，﹣3）位于第三象限．故选：C．7.若a∈R，则a=1是复数z=a2﹣1+（a+1）i是纯虚数的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】A2：复数的基本概念；2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】当a=1时，可以得到复数的实部等于0，得到复数是一个纯虚数；当复数是一个纯虚数时，根据复数的有关概念，得到实部为0且虚部不为0，得到a=1，得到是一个充要条件．【解答】解：∵a=1，∴z=2i∴z是纯虚数z是纯虚数故选C．【点评】本题考查复数的概念，考查条件的判断，是一个基础题，注意推导充要条件时，从两个方面入手，本题是一个必得分题目．8.在中，角所对的边分别为，若，则角的值为（

）A．

B．

C．或

D．或

参考答案：D9.已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n，那么a2011的值是A．20112

B．2012×2011

C．2009×2010

D．2010×2011参考答案：D10.已知坐标平面上的凸四边形ABCD满足=(1，)，=(﹣，1)，那么·的取值范围是（）A．（﹣1，） B．（﹣1，2] C．[﹣2，0） D．[0，2]参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的模的计算和向量的坐标运算得到四边形ABCD为对角线垂直且相等的四边形，问题得以解决．【解答】解：∵，∴?=1×（﹣）+×1=0，∴⊥，∴凸四边形ABCD的面积为AC×BD=×2×2=2，设AC与BD交点为O，OC=x，OD=y，则AO=2﹣x，BO=2﹣y，则?=（+）（+）=?+?+?+?2﹣=x（x﹣2）+y（y﹣2）=（x﹣1）2+（y﹣1）2﹣2，（0＜x，y＜2）；∴当x=y=1时，?=﹣2为最小值，当x→0或1，y→0或1时，?接近最大值0，∴?的取值范围是[﹣2，0）．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架，铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为，能包容此框架的最小球的半径为，则等于

参考答案：解析：

依题意，R1为这个正四面体框架的棱切球半径，R2为外接球半径。易知，棱切球的直径即为正四面体对棱之间的距离；又外接球的半径为，所以，。12.若不等式ax2﹣bx+2＞0的解集为{x|﹣＜x＜}，则a+b=

．参考答案：﹣10【考点】一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意和三个二次的关系可得，解方程组可得．【解答】解：∵不等式ax2﹣bx+2＞0的解集为{x|﹣＜x＜}，∴a＜0且，解得，∴a+b=﹣12+2=﹣10故答案为：﹣10【点评】本题考查一元二次不等式的解集，涉及韦达定理，属基础题．13.在平面直角坐标系xOy中，若直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=相交于A，B两点，且△ABC为正三角形，则实数a的值是．参考答案：0【考点】直线与圆的位置关系．【分析】利用点到直线的距离公式可得：圆心C（1，a）到直线ax+y﹣2=0的距离d，由于△ABC为正三角形，可得=cos30°，代入即可得出．【解答】解：圆心C（1，a）到直线ax+y﹣2=0的距离d==．∵△ABC为正三角形，∴=cos30°，∴=×，化为：2a=0，解得a=0．故答案为：0．14.不等式对于任意恒成立的实数的集合为___________.参考答案：略15.已知点P是椭圆+=1上任一点，那点P到直线l：x+2y﹣12=0的距离的最小值为．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】运用椭圆的参数方程，设出点P，再由点到直线的距离公式及两角和的正弦公式，结合正弦函数的值域，即可得到最小值．【解答】解：设点P（2cosα，sinα）（0≤α≤2π），则点P到直线x+2y﹣12=0的距离为d==当sin（α+30°）=1时，d取得最小值，且为．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的方程和运用，考查椭圆的参数方程的运用：求最值，考查点到直线的距离公式，考查三角函数的值域，属于中档题．16.已知集合，，则=___________．参考答案：17.已知函数f(x)=ax+a-x(a＞0且a≠1),f(1)=3,则f(0)+f(1)+f(2)的值为___________.参考答案：12f(0)=a0+a0=2,f(1)=a+a-1=3,f(2)=a2+a-2=(a+a-1)2-2=9-2=7.∴f(0)+f(1)+f(2)=12.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示。（1）画出频率分布折线图；（2）求这次测试数学成绩的众数；（3）求这次测试数学成绩的中位数；（4）求这次测试数学成绩的平均分。

参考答案：解析（1）略（2）根据频率分布直方图算出测试成绩的众数为75；（3）根据频率分布直方图算出测试成绩的中位数；（4）根据频率分布直方图算出测试成绩的平均分72．19.（13分）已知函数f（x）=x2﹣x﹣axlnx（a∈R），g（x）=．（Ⅰ）讨论g（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）不论a取何值，函数f（x）与g（x）总交于一定点，求证：两函数在此点处的切线重合；（Ⅲ）若a＜0，对于?x1∈[1，e]，总?x2∈[e，e2]使得f（x1）≤g（x2）成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求得g（x）的解析式和导数，对a讨论，求出单调区间和极值；（Ⅱ）求出定点（1，0），求出f（x）、g（x）的导数和切线的斜率，即可得证；（Ⅲ）当a＜0时，分别判断f（x），g（x）的导数的符号，得到单调性，可得f（x），g（x）的最大值，由f（x）max不大于g（x）max，解a的不等式，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x2﹣x﹣axlnx（a∈R），g（x）==x﹣1﹣alnx，x＞0，可得g′（x）=1﹣，当a≤0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，无极值；当a＞0时，x＞a时g′（x）＞0，g（x）在（a，+∞）递增；0＜x＜a时，g′（x）＜0，g（x）在（0，a）递减，可得g（x）在x=a处取得极小值，且为a﹣1﹣alna，无极大值；（Ⅱ）证明：由f（x）=x2﹣x﹣axlnx，g（x）=x﹣1﹣alnx，x＞0，可得f（1）=g（1）=0，定点为（1，0），f′（x）=2x﹣1﹣a（1+lnx），g′（x）=1﹣，可得f′（1）=2﹣1﹣a（1+ln1）=1﹣a，g′（1）=1﹣a，即有切线的斜率相等，又它们均过定点（1，0），则两函数在此点处的切线重合；（Ⅲ）当a＜0时，由f′（x）=2x﹣1﹣a（1+lnx）＞0在[1，e]恒成立，可得f（x）在[1，e]递增，即有f（e）取得最大值e2﹣e﹣ae；由g′（x）=1﹣＞0在[e，e2]恒成立，可得g（x）在[e，e2]递增，即有g（e2）取得最大值e2﹣1﹣2a；由对于?x1∈[1，e]，总?x2∈[e，e2]使得f（x1）≤g