上海长宁中学2021年高三数学文上学期期末试卷含解析

上海长宁中学2021年高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数在区间2，+上是增函数，则的取值范围是（

）A．（

B．（

C．（

D．（参考答案：C2.如图是计算函数的值的程序框图，则在①、②、③处应分别填入的是A.

B.C.D.参考答案：B3.函数的最大值与最小值之和为（）A.0

B.－1

C．

D． 参考答案：C4.已知F1、F2是双曲线=1的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线y=对称，则该双曲线的离心率为A．

B．

c．

D．2参考答案：B【知识点】双曲线及其几何性质H6过焦点F且垂直渐近线的直线方程为：y-0=-（x-c），

联立渐近线方程y=与y-0=-（x-c），解之可得x=，y=故对称中心的点坐标为（，），由中点坐标公式可得对称点的坐标为（-c,），

将其代入双曲线的方程可得=1，结合a2+b2=c2，

化简可得c2=5a2，故可得e==．【思路点拨】求出过焦点F且垂直渐近线的直线方程，联立渐近线方程，解方程组可得对称中心的点的坐标，代入方程结合a2+b2=c2，解出e即得．5.抛物线y2=2x与直线y=x﹣4围成的平面图形面积（）A．18 B．16 C．20 D．14参考答案：A【考点】抛物线的简单性质；定积分．【分析】方法一：根据题目信息，作出图形，如图所示：联立，解得：，或，则所求的面积为S=dx+（﹣x+4）dx，求出原函数，即可求得平面区域的面积，方法二：对y进行积分，所求的面积为S=（y+4﹣）dy，即可求得平面区域的面积．【解答】解：方法一：根据题目信息，作出图形，如图所示：联立，解得：，或，则所求的面积为S=dx+（﹣x+4）dx．∵[?]′=，∴S=[?]+[?﹣+4x]=18故抛物线y2=2x与直线y=x﹣4所围成的图形的面积是18，故选A．方法二：根据题目信息，作出图形，如图所示：联立，解得：，或，则所求的面积为S=（y+4﹣）dy=（y2+4y﹣）=（8+16﹣﹣2+8﹣）=18，故选A．6.若定义在R上的函数满足，且当时，，则函数在区间上的零点个数为（

）A．4

B．6

C．8

D．10参考答案：C略7.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为21，则判断框中应填（）A．i＜5 B．i＜6 C．i＜7 D．i＜8参考答案：C【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的执行过程，计算输出结果即可．【解答】解：模拟程序框图执行过程，如下；开始，i=1，s=0，不输出，进入循环，1是奇数？是，s=0﹣12=﹣1，i=1+1=2，不输出，进入循环，2是奇数？否，s=﹣1+22=3，i=2+1=3，不输出，进入循环，3是奇数？是，s=3﹣32=﹣6，i=3+1=4，不输出，进入循环，4是奇数？否s=﹣6+42=10，i=4+1=5，不输出，进入循环，5是奇数？是，s=10﹣52=﹣15，i=5+1=6，不输出，进入循环，6是奇数？否，s=﹣15+62=21，i=6+1=7，退出循环，输出21，∴判断框中的条件是：i＜7？故选C．【点评】本题考查了程序框图的执行结果的问题，解题时应模拟程序的执行过程，是基础题．8.若点(x,y)在不等式组表示的平面区域内运动，则的取值范围是(

)

参考答案：C9.复数等于A.

B.

C.

D.参考答案：D10.已知函数（）为奇函数，则（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】先根据奇函数求出a的值，再求f(1)得解.【详解】由题得经检验，当a=1时，函数f(x)是奇函数.所以.故选：B【点睛】本题主要考查奇函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对于函数f（x）=tex﹣x，若存在实数a，b（a＜b），使得f（x）≤0的解集为[a，b]，则实数t的取值范围是

．参考答案：（0，）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：转化tex≤x，为t的不等式，求出表达式的最大值，以及单调区间，即可得到t的取值范围．解答： 解：tex≤x（e是自然对数的底数），转化为t≤，令y=，则y′=，令y′=0，可得x=1，当x＞1时，y′＜0，函数y递减；当x＜1时，y′＞0，函数y递增．则当x=1时函数y取得最大值，由于存在实数a、b，使得f（x）≤0的解集为[a，b]，则由右边函数y=的图象可得t的取值范围为（0，）．故答案为（0，）．点评：本题考查函数的导数的最值的应用，考查转化思想与计算能力．属于中档题．12.从中任取四个数字组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数是

(用数字作答）．参考答案：6013.已知两个单位向量和夹角为120°，则______．参考答案：【分析】根据向量的数量积的运算公式，即可求解的值，得到答案.【详解】根据向量的数量积的运算公式，可得.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.14.设，，且，则=

．参考答案：

15.若函数上是增函数，则实数的取值范围是__________．参考答案： 16.数列满足，则通项

。参考答案：【知识点】数列递推式．D1【答案解析】解析：∵数列{an}满足a1=1，an+1=，n∈N*，∴==，又，∴{}是首项为1，公差为2的等差数列，∴=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，∴an=．故答案为：．【思路点拨】由已知得{}是首项为1，公差为2的等差数列，从而能求出an=．17.如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等，设OAn=an，若a1=1，a2=2，则数列{an}的通项公式是 ．参考答案：【考点】数列的应用；数列的函数特性．【专题】压轴题；等差数列与等比数列．【分析】设，利用已知可得A1B1是三角形OA2B2的中位线，得到==，梯形A1B1B2A2的面积=3S．由已知可得梯形AnBnBn+1An+1的面积=3S．利用相似三角形的性质面积的比等于相似比的平方可得：，，，…，已知，，可得，…．因此数列{}是一个首项为1，公差为3等差数列，即可得到an．【解答】解：设，∵OA1=a1=1，OA2=a2=2，A1B1∥A2B2，∴A1B1是三角形OA2B2的中位线，∴==，∴梯形A1B1B2A2的面积=3S．故梯形AnBnBn+1An+1的面积=3S．∵所有AnBn相互平行，∴所有△OAnBn（n∈N*）都相似，∴，，，…，∵，∴，，…．∴数列{}是一个等差数列，其公差d=3，故=1+（n﹣1）×3=3n﹣2．∴．因此数列{an}的通项公式是．故答案为．【点评】本题综合考查了三角形的中位线定理、相似三角形的性质、等差数列的通项公式等基础知识和基本技能，考查了推理能力和计算能力．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在平面直角坐标系中，A、B分别是椭圆：的左、右顶点，P(2,t)（t∈R,且t≠0）为直线x＝2上一动点，过点P任意引一直线l与椭圆交于C、D，连结PO，直线PO分别和AC、AD连线交于E、F。（1）当直线l恰好经过椭圆右焦点和上顶点时，求t的值；（2）若t＝-1，记直线AC、AD的斜率分别为k1，k2，求证：定值；（3）求证：四边形AFBE为平行四边形。参考答案：（1）由题意：上顶点C(0，1)，右焦点E(-，0)，所以l：y＝-x+1，令x＝2，得t＝1-……………2分(2)直线AC：y＝k1(x+2)，与联立得：C:，同理得D:

…………………4分由C，D，P三点共线得：kCP＝kDP，得+＝-4（定值）…………8分(3)要证四边形AFBE为平行四边形，即只需证E、F的中点即点O，设点P(2,t)，则OP：y＝x，分别与直线AC：y＝k1(x+2)与AD：y＝k2(x+2)联立得：xE＝，xF＝，下证：xE+xF＝0，即+＝0化简得：t(k1+k2)-4k1k2＝0………………12分由(2)可知C:，D:由C，D，P三点共线得：kCP＝kDP，得t(k1+k2)-4k1k2＝0（得证）………………16分19.(本小题满分12分)在ΔABC中，内角所对的边分别为.若－.

（1）求角C的大小；

（2）已知，ΔABC的面积为.求边长的值.参考答案：（１）

（2）【知识点】余弦定理；正弦定理．菁优网B4解析：（１）由条件得=2（2）即==

……2分化简得,

…4分∵∴又∴＝

…6分（２）由已知及正弦定理得

………8分又SΔABC=8，C=

∴，得

………10分由余弦定理得.

…12分【思路点拨】（1）由已知等式化简可得cos（A+B）=﹣，结合角的范围即可求得C的大小．（2）由已知及正弦定理求得b，又S△ABC=8，C=从而解得a，由余弦定理即可解得c的值．20.设二次函数在区间上的最大值、最小值分别是M、m，集合．

（1）若，且，求M和m的值；

（2）若，且，记，求的最小值．参考答案：（1）由……………1分

又…3分

…………4分

……………5分

……………6分

（2）

x=1∴，即

……………8分

∴f（x）=ax2+（1-2a）x+a,

x∈[-2,2]

其对称轴方程为x=

又a≥1，故1-……………9分

∴M=f（-2）=9a-2

…………10分

m=

……………11分

g（a）=M+m=9a--1

……………14分

=

………16分21.（本小题满分13分）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=，∠BAD=90°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．参考答案：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分．（Ⅰ）由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．（Ⅱ）解：取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．所以∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．在Rt△DAM中，AM=1，故DM=．因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．在Rt△DAN中，AN=1，故DN=．在等腰