信号与系统-各章课件sas第八章

8.3连续系统的时域分析目的通过在时间域对系统的分析从而找出表征连续系统时间特性的特征量——冲激响应并以为核心进而分析在不同信号作用下系统的响应。系统分析过程完全响应零状态响应零输入响应系统函数瞬态响应稳态响应自由响应强制响应

系统分析过程建立系统的数学模型，即写出联系系统输入和输出信号之间的数学表达式；采用适当的、数学方法分析模型，从中找出反映系统基本性能的特征量，求出系统在给定激励下的输出响应的数学表示式等等；再对所得到的数学解进行物理解释，深化系统对信号进行变换处理过程的理解。

8.3.1建立系统的数学模型是系统分析的基础图8.14运算放大器按一个理想运放输入阻抗为无限大，输入端电压及电流均为零，（8.20）若以则得一、反相器：该式即描述运放电路的动态方程，也就是此电系统的数学模型。，则式（8.20）可写成

表示输出电压等于输入电压的反相，所以8.15（a）所示的电路是一个反相器。如果电路中的R、C均为常数，则是一阶常系数线性微分方程。图8.15（a）二、积分器

若开路，则式（8.20）可写成

或式中表示电容器的初始储能，取决于的历史状态是一个常量。

图8.15（b）【例8-16】一个电系统由RLC元件串联而成，如图8.16所示，已知输入输出，求该系统的数学模型。【解】设回路电流按电压定律有将

代入上式得或若系统是线性非时变的，则电路参量R、L、C均为常数．所以该系统的数学模型是一个二阶常系数线性微分方程。图8.16对一般线性非时变系统其数学模型可用n阶常系数线性微分方程来描述，即

或

（8.22），

均为实常数以上所讨论的系统数学模型是着眼于建立系统输入与输出之间的关系，研究系统的端部特性而不关心系统内部变量的变化情况，所以称为输入——输出描述。若在时域除了考虑输入和输出变量之外，还要研究系统内部各变量的变化规律，则所建立的数学模型是一组反映系统内部各状态变量之间相互关系的状态方程。8.3.2连续系统的时域分析——零状态响应和零输入响应的求解时域经典法以直接求解积分微分方程为基础，它把求解过程分由齐次方程的解和特解所组成。近代分析法

零状态响应和零输入响应例：（a）（b）

按开关K于在1端时电容充有电荷，储有电能，其两端电压为

极性如（b）图所示。当K倒向2端则根据电压定律列得

由于代表输入，代表输出，所以上式即该系统的数学模型。

图8.18充放电过程的R－C电路利用上述拉氏变换及其性质，则有

故得可见，系统的响应是由两部分组成。

零状态响应:当系统初始不储能而处在零状态情况下的系统响应零输入响应:当系统输入为零的情况下系统的响应。Con’t或

已知设，则，故有

一个线性非时变系统的完全响应是由零输入与零状态响应叠加而成。

它们构成了近代线性系统时域分析的理论基础的内涵。

1.零状态响应与单位冲激响应①.已知系统构成求零状态响应

系统的数学模型为：当系统的构成已知，可列出反映系统输入与输出关系的线性微分积分方程，通过拉氏变换进而求出系统在零状态下的响应。图8.19组成线性系统的方块图零状态下：描述了系统的传输特性，所以把它称为域的系统函数或传输函数。它定义为系统在零状态下，输出与输入拉氏变换之比。令则得在系统初始不储能的零状态下:系统的数学模型为：

上式表明系统在单位冲激激励下，其输出就等于系统的单位冲激响应系统函数又可定义为单位冲激响应的拉氏变换，即

结论：一旦测得系统的冲激响应，随即求得系统函数。同理，已知系统函数，随即求得相应的冲激响应。

系统函数与单位冲激响应的关系当系统的输入是单位冲激信号，即可得：②.已知系统单位冲激响应求零状态响应若已知一个连续系统在作用下的零状态响应，即单位冲激响应则利用LTI系统的叠加性和非时变性，可求得任一信号作用下系统的零状态响应。

LTI系统的零状态响应等于激励信号与系统单位冲激响应的卷积积分，简称卷积。该式反映了系统输入与输出之间的关系，所以是描述LTI系统的一种数学模型。

（a）S域表示；（b）时域表示

在零状态下：利用卷积法求系统的零状态响应，无论对系统的分析还是综合都有重要意义。因为在实际中对系统设计，初始状态均为零，不存在零输入响应，即使不为零对系统分析，也可以将零状态视为特定的激励信号，将零输入响应转化为零状态响应来求解。卷积运算规律：①交换律②分配律表明LTI系统对个输入相加信号的零状态响应等于每个输入信号零状态响应的叠加。③结合律表明冲激响应分别为与的两个LTI系统相级联，等效于冲激响应的一个LTI系统。表明卷积积分的次序可以任意交换。

【例8-18】已知一个LTI系统，测得单位冲激响应

求该系统在输入时的零状态响应。【解】

按LTI系统的特性，冲激信号与阶跃信号之间存在着微分与积分的关系，所以它们的响应与之间也存在微分与积分的关系，即

如上例中已求得单位阶跃响应为则有【例8-20】已知一个LTI系统初始不储能，当输入，测得输出响应为，求输入时，系统的零状态响应【解】按题意先通过拉氏变换求出系统函数

故有系统零状态响应

③利用图解法求零状态响应已知系统的冲激响应，求系统在任意信号作用下的零状态响应，如上所述，可以通过解析法求卷积积分。但在某些实际问题中有时只知道输入信号波形，很难写出其函数式，况且当波形出现不连续时，由于积分上下限确定不当往往容易导致错误，所以为了便于大致描绘出卷积结果，减少错误，同时对卷积过程有更清晰的了解，通常采取在卷积过程结合图解进行分段卷积。

信号的翻转信号的时移信号的综合变换图形（a）

（b）（c）（d）（e）④．利用DFT求零状态响应LTI系统的零状态响应等于系统的输入与单位冲激响应的线性卷积。从时域卷积过程可见，当的波形比较复杂或延续时间较长时，计算比较繁复且费时，况且实际中的解析式往往不知道，因此可以按第九章所介绍的利用计算机通过DFT循环卷积的性质，实现线性卷积的快速运算.与2.零输入响应与系统完全响应①.零输入响应零输入响应定义为系统在无外加激励信号作用下，仅由初始储能（初始状态）所产生的响应。(图8.18充放电过程的R－C电路)②.系统的完全响应如上所述，系统的完全响应可分解为零输入响应与零状态响应之和，这是一种主要的分解形式，但还可以分解成其他形式，如瞬态响应与稳态响应之和；自由响应与强制响应之和等。【例8-24】一个LTI系统的数学模型为

已知求系统的完全响应。【解】利用拉氏变换将系统数学模型变换为求得系统的完全响应为或写成

第一项随着时间增加逐渐衰减直至最终完全消失，所以称为瞬态分量，用表示。第二项当从始终存在，即稳态分量:可见，从响应随时间的变化规律，系统的完全响应又可分解为瞬态响应与稳态响应两个分量之和。上式中右边该系统的零状态响应是由两部分组成。一部分与零输入响应类似，取决于系统函数的极点，另一部分取决于激励信号的极点。由于前者仅与系统的参数有关，所以和零输入响应共同组成自由响应（固有分量）；后者仅与激励信号有关，其变化规律受制于外加信号，所以称为强制响应。由此可见，系统的完全响应又可分解为自由响应与强制响应两个分量组成。自由响应强制响应8.3.3拉氏变换在电路分析中的应用——电网路的时域分析1.S域的元件模型R.L.C元件的时域关系为：各式进行拉氏变换得：对电流解出得：(p309.图8.29和图8.30)(s域元件模型）2.电路基本定理的运算形式-kirchhoftis定律K.I.L对于任意的节点，在同一时刻流入该节点的电流代数和恒等于零即K.V.L