2023年陕西省高考数学试卷(理科)答案与解析

PAGEPAGE132023年陕西省高考数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题〔共10小题，每题5分，总分值50分〕1．〔5分〕〔2023•陕西〕集合A={x|0≤x≤2}，B={x|x＜1}，那么A∩〔∁RB〕=〔〕A．{x|x≥1} B．{x|x＞1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|1≤x≤2}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】根据题意，由集合B结合补集的含义，可得集合∁RB，进而交集的含义，计算可得A∩〔∁RB〕，即可得答案．【解答】解：根据题意，B={x|x＜1}，那么∁RB={x|x≥1}，又由集合A={x|0≤x≤2}，那么A∩〔∁RB〕={x|1≤x≤2}，应选D．【点评】此题考查集合的交集、补集的运算，解题的关键是理解集合的补集、交集的含义．2．〔5分〕〔2023•陕西〕复数z=在复平面上对应的点位于〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】计算题．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母根据平方差公式得到一个实数，分子进行复数的乘法运算，得到最简结果，写出对应的点的坐标，得到位置．【解答】解：∵z===+i，∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．应选A．【点评】此题考查复数的乘除运算，考查复数与复平面上的点的对应，是一个根底题，在解题过程中，注意复数是数形结合的典型工具．3．〔5分〕〔2023•陕西〕对于函数f〔x〕=2sinxcosx，以下选项中正确的是〔〕A．f〔x〕在〔，〕上是递增的 B．f〔x〕的图象关于原点对称C．f〔x〕的最小正周期为2π D．f〔x〕的最大值为2【考点】二倍角的正弦．【分析】此题考查三角函数的性质，利用二倍角公式整理，再对它的性质进行考查，此题包括单调性、奇偶性、周期性和最值，这是经常出现的一种问题，从多个方面考查三角函数的性质和恒等变换．【解答】解：∵f〔x〕=2sinxcosx=sin2x，是周期为π的奇函数，对于A，f〔x〕在〔，〕上是递减的，A错误；对于B，f〔x〕是周期为π的奇函数，B正确；对于C，f〔x〕是周期为π，错误；对于D，f〔x〕=sin2x的最大值为1，错误；应选B．【点评】在三角函数中除了诱导公式和八个根本恒等式之外，还有两角和与差公式、倍角公式、半角公式、积化和差公式、和差化化积公式，此外，还有万能公式，在一般的求值或证明三角函数的题中，只要熟练的掌握以上公式，用一般常用的方法都能解决我们的问题．4．〔5分〕〔2023•陕西〕〔x+〕5〔x∈R〕展开式中x3的系数为10，那么实数a等于〔〕A．﹣1 B． C．1 D．2【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为3，列出方程求出a的值．【解答】解：∵Tr+1=C5r•x5﹣r•〔〕r=arC5rx5﹣2r，又令5﹣2r=3得r=1，∴由题设知C51•a1=10⇒a=2．应选D．【点评】此题考查利用二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题．5．〔5分〕〔2023•陕西〕〔陕西卷理5〕函数f〔x〕=假设f〔f〔0〕〕=4a，那么实数a等于〔〕A． B． C．2 D．9【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】常规题型．【分析】先求出f〔0〕=2，再令f〔2〕=4a，解方程4+2a=4a，得a值．【解答】解：由题知f〔0〕=2，f〔2〕=4+2a，由4+2a=4a，解得a=2．应选C．【点评】此题考查对分段函数概念的理解．6．〔5分〕〔2023•陕西〕如图是求样本x1，x2，…，x10平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容为〔〕A．S=S+xn B．S=S+ C．S=S+n D．S=S+【考点】设计程序框图解决实际问题．【专题】操作型．【分析】由题目要求可知：该程序的作用是求样本x1，x2，…，x10平均数，循环体的功能是累加各样本的值，故应为：S=S+xn【解答】解：由题目要求可知：该程序的作用是求样本x1，x2，…，x10平均数，由于“输出〞的前一步是“〞，故循环体的功能是累加各样本的值，故应为：S=S+xn应选A【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．7．〔5分〕〔2023•陕西〕假设某空间几何体的三视图如下列图，那么该几何体的体积是〔〕A．2 B．1 C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由题意可知图形的形状，求解即可．【解答】解：此题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱所以其体积为．【点评】此题考查立体图形三视图及体积公式，是根底题．8．〔5分〕〔2023•陕西〕抛物线y2=2px〔p＞0〕的准线与圆x2+y2﹣6x﹣7=0相切，那么p的值为〔〕A． B．1 C．2 D．4【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先表示出准线方程，然后根据抛物线y2=2px〔p＞0〕的准线与圆〔x﹣3〕2+y2=16相切，可以得到圆心到准线的距离等于半径从而得到p的值．【解答】解：抛物线y2=2px〔p＞0〕的准线方程为，因为抛物线y2=2px〔p＞0〕的准线与圆〔x﹣3〕2+y2=16相切，所以应选C【点评】此题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系．9．〔5分〕〔2023•陕西〕对于数列{an}，“an+1＞|an|〔n=1，2，…〕〞是“{an}为递增数列〞的〔〕A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】数列的概念及简单表示法；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】压轴题．【分析】要考虑条件问题，需要从两个方面来考虑，由an+1＞|an|〔n=1，2，〕知{an}所有项均为正项，且a1＜a2＜…＜an＜an+1，这样前者可以推出后者，反过来，{an}为递增数列，不一定有an+1＞|an|〔n=1，2，〕．【解答】解：由an+1＞|an|〔n=1，2，〕知{an}所有项均为正项，且a1＜a2＜…＜an＜an+1，即{an}为递增数列反之，{an}为递增数列，不一定有an+1＞|an|〔n=1，2，〕，如﹣2，﹣1，0，1，2，应选B【点评】有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起．此题是把数列同条件的判断结合在一起．10．〔5分〕〔2023•陕西〕某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]〔[x]表示不大于x的最大整数〕可以表示为〔〕A．y=[] B．y=[] C．y=[] D．y=[]【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】压轴题．【分析】根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加3．进而得到解析式．代入特殊值56、57验证即可得到答案．【解答】解：根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加3．因此利用取整函数可表示为y=[]也可以用特殊取值法假设x=56，y=5，排除C、D，假设x=57，y=6，排除A；应选：B．【点评】此题主要考查给定条件求函数解析式的问题，这里主要是要读懂题意，再根据数学知识即可得到答案．对于选择题要会选择最恰当的方法．二、填空题〔共5小题，每题5分，总分值25分〕11．〔5分〕〔2023•陕西〕向量=〔2，﹣1〕，=〔﹣1，m〕，=〔﹣1，2〕，假设〔+〕∥，那么m=﹣1．【考点】平面向量共线〔平行〕的坐标表示．【分析】先求出两个向量的和的坐标，再根据向量平行的充要条件写出关于m的等式，解方程得到要求的数值，注意公式不要用错公式．【解答】解：∵+=〔1，m﹣1〕，∵〔+〕∥∴1×2﹣〔m﹣1〕×〔﹣1〕=0，所以m=﹣1故答案为：﹣1【点评】掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题，能用坐标形式的充要条件解决求值问题．12．〔5分〕〔2023•陕西〕观察以下等式：13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…，根据上述规律，第五个等式为13+23+33+43+53+63=212．【考点】归纳推理．【专题】规律型．【分析】解答此类的方法是从特殊的前几个式子进行分析找出规律．观察前几个式子的变化规律，发现每一个等式左边为立方和，右边为平方的形式，且左边的底数在增加，右边的底数也在增加．从中找规律性即可．【解答】解：∵所给等式左边的底数依次分别为1，2；1，2，3；1，2，3，4；，右边的底数依次分别为3，6，10，〔注意：这里3+3=6，6+4=10〕，∴由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为1，2，3，4，5，6，右边的底数为10+5+6=21．又左边为立方和，右边为平方的形式，故第五个等式为13+23+33+43+53+63=212．故答案为：13+23+33+43+53+63=212．【点评】所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．它与演绎推理的思维进程不同．归纳推理的思维进程是从个别到一般，而演绎推理的思维进程不是从个别到一般，是一个必然地得出的思维进程．属于根底题．13．〔5分〕〔2023•陕西〕从如下列图的长方形区域内任取一个点M〔x，y〕，那么点M取自阴影局部局部的概率为．【考点】定积分的简单应用．【专题】数形结合．【分析】此题利用几何概型概率．先利用定积分求出图中阴影局部局部的面积，再结合概率计算公式求出阴影局部局部面积与长方形区域的面积之比即可．【解答】解：长方形区域的面积为3，阴影局部局部的面积为=x3|=1，所以点M取自阴影局部局部的概率为．故答案为：．【点评】此题考查的定积分的简单应用，解决此题的关键是熟练掌握定积分的几何意义及运算公式．简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度〔面积或体积〕成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．14．〔5分〕〔2023•陕西〕铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表ab〔万吨〕c〔百万元〕A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9〔万吨〕铁，假设要求CO2的排放量不超过2〔万吨〕那么购置铁矿石的最少费用为15〔百万元〕【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题；压轴题；图表型．【分析】此题考查的知识点是简单线性规划的应用，由条件中，铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2排放量b及每万吨铁矿石的价格c，对应的表格，再根据生产量不少于1.9〔万吨〕铁，及CO2的排放量不超过2〔万吨〕我们可以构造出约束条件，并画出可行域，利用角点法求出购置铁矿石的最少费用．【解答】解：设购置铁矿石A和B各x，y万吨，那么购置铁矿石的费用z=3x+6yx，y满足约束条件表示平面区域如图，那么当直线z=3x+6y过点B〔1，2〕时，购置铁矿石的最少费用z=15故答案为：15【点评】在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤复原到现实问题中．15．〔5分〕〔2023•陕西〕〔考生注意：请在以下三题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题评分〕A．不等式|x+3|﹣|x﹣2|≥3的解集为{x|x≥1}．B．如图，Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，那么=．C．圆C的参数方程为〔a为参数〕以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ=1，那么直线l与圆C的交点的直角坐标系为〔﹣1，1〕，〔1，1〕．【考点】绝对值不等式的解法；直角三角形的射影定理；简单曲线的极坐标方程．【专题】综合题；压轴题．【分析】〔1〕先去掉绝对值然后再根据绝对值不等式的解法进行求解．〔2〕因为CD⊥AB，由直角三角形射影定理可得BC2=BD•BA，又BC=4，BA=5，从而求解；〔3〕直线l的极坐标方程为ρsinθ=1化为普通方程为y=1，从而求出直线l与圆x2+〔y﹣1〕2=1的交点坐标．【解答】解：A、法一：分段讨论x＜﹣3时，原不等式等价于﹣5≥3，∴x∈φ﹣3≤x＜2时，原不等式等价于2x+1≥3，x≥1∴1≤x＜2x≥2时，原不等式等价于5≥3，∴x≥2综上，原不等式解集为{x|x≥1}法二：利用绝对值的几何意义放在数轴上研究法三：借助函数y=|x+3|﹣|x﹣2|的图象研究B、∵CD⊥AB，由直角三角形射影定理可得BC2=BD•BA，又BC=4，BA=5，∴BD==，C、直线l的极坐标方程为ρsinθ=1化为普通方程为y=1，所以直线l与圆x2+〔y﹣1〕2=1的交点坐标为〔﹣1，1〕，〔1，1〕．【点评】此题考查绝对值不等式的放缩问题及直角三角形的射影定理，这类题目是高考的热点，难度不是很大，要注意不等号进行放缩的方向还考查逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力，同时考查学生灵活利用图形及数形结合思想．三、解答题〔共6小题，总分值75分〕16．〔12分〕〔2023•陕西〕{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．〔Ⅰ〕求数列{an}的通项；〔Ⅱ〕记，求数列{bn}的前n项和Sn．【考点】等比数列的性质；等差数列的通项公式；数列的求和．【专题】计算题．【分析】〔I〕设公差为d，由题意可得，求出d的值，即得数列{an}的通项．〔II〕化简，故数列{bn}是以2为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的前n项和公式求得结果【解答】解：〔I〕设公差为d，由题意可得，即d2﹣d=0，解得d=1或d=0〔舍去〕所以an=1+〔n﹣1〕=n．〔II〕∵，故数列{bn}是以2为首项，以2为公比的等比数列．∴数列{bn}的前n项和．【点评】此题主要考查等比数列的定义和性质，等差数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，属于中档题．17．〔12分〕〔2023•陕西〕如图，A，B是海面上位于东西方向相距5〔3+〕海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题．【分析】先根据内角和求得∠DAB和，∠DBA及进而求得∠ADB，在△ADB中利用正弦定理求得DB的长，进而利用里程除以速度即可求得时间．【解答】解：由题意知AB=5〔3+〕海里，∠DBA=90°﹣60°=30°，∠DAB=90°﹣45°=45°，∴∠ADB=180°﹣〔45°+30°〕=105°，在△ADB中，有正弦定理得=∴DB===10又在△DBC中，∠DBC=60°DC2=DB2+BC2﹣2×DB×BC×cos60°=900∴DC=30∴救援船到达D点需要的时间为=1〔小时〕答：该救援船到达D点需要1小时．【点评】此题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力．18．〔12分〕〔2023•陕西〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2，E，F分别是AD，PC的中点．〔Ⅰ〕证明：PC⊥平面BEF．〔Ⅱ〕求平面BEF与平面BAP夹角的大小．【考点】直线与平面垂直的判定．【专题】证明题．【分析】〔Ⅰ〕以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，欲证PC⊥平面BEF，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证PC与平面BEF内两相交直线垂直，而利用空间向量可求得PC⊥BF，PC⊥EF，BF∩EF=F，满足定理条件．〔Ⅱ〕由及〔1〕中结论，可得向量=〔0，2，0〕是平面BAP的一个法向量，向量=〔2，2，﹣2〕是平面BEF的一个法向量，代入向量夹角公式，可得平面BEF与平面BAP所成夹角的大小．【解答】解：〔Ⅰ〕以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．∵AP=AB=2，BC=AD=2，四边形ABCD是矩形．∴A，B，C，D的坐标为A〔0，0，0〕，B〔2，0，0〕，C〔2，2，0〕，D〔0，2，0〕，P〔0，0，2〕又E，F分别是AD，PC的中点，∴E〔0，，0〕，F〔1，，1〕．∴=〔2，2，﹣2〕，=〔﹣1，，1〕，=〔1，0，1〕，∴•=﹣2+4﹣2=0，•=2+0﹣2=0，∴⊥，⊥，∴PC⊥BF，PC⊥EF，BF∩EF=F，∴PC⊥平面BEF．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知平面BEF的法向量=〔2，2，﹣2〕，平面BAP的法向量=〔0，2，0〕∴•=8，设平面BEF与平面BAP的夹角为θ那么cosθ=|cos〔，〕|===，∴θ=45°∴平面BEF与平面BAP的夹角为45°．【点评】此题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，二面角的求法，其中建立空间直角坐标系，将线线垂直问题和二面角问题转化为向量垂直及向量夹角问题是解答此题的关键．19．〔12分〕〔2023•陕西〕为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情况的统计图如下：〔Ⅰ〕估计该校男生的人数；〔Ⅱ〕估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；〔Ⅲ〕从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm之间的概率．【考点】频率分布直方图．【专题】综合题．【分析】〔1〕由频率分步直方图知样本中男生人数为2+5+13+14+2+4，全校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，知道每个个体被抽到的概率是0.1，得到分层抽样比例为10%估计全校男生人数．〔2〕由图可知样本中身高在170～185cm之间的学生有14+13+4+3+1，样本容量为70，得到样本中学生身高在170～185cm之间的频率．用样本的频率来估计总体中学生身高在170～180cm之间的概率．〔3〕由题意知此题是一个古典概型，通过列举法看出试验发生包含的所有事件数，再从这些事件中找出满足条件的事件数，根据古典概型公式，得到结果．【解答】解：〔Ⅰ〕样本中男生人数为2+5+13+14+2+4=40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为=400；〔Ⅱ〕∵样本中身高在170～185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70，∴样本中学生身高在170～185cm之间的频率，故可估计该校学生身高在170～180cm之间的概率p=0.5；〔Ⅲ〕样本中身高在180～185cm之间的男生有4人，设其编号为①，②，③，④，样本中身高在185～190cm之间的男生有2人，设其编号为⑤，⑥，从上述6人中任取2人的树状图为：∴从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，求至少有1人身高在185～190cm之间的可能结果数为9，∴所求概率p2=．【点评】抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决一局部抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以知二求一．这是一个统计综合题，可以作为一个解答题出在文科的试卷中．20．〔13分〕〔2023•陕西〕如图，椭圆C2的焦点为F1，F2，|A1B1|=，=2．〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；〔Ⅱ〕设n为过原点的直线，l是与n垂直相交于点P，与椭圆相交于A，B两点的直线||=1，是否存在上述直线l使=0成立？假设存在，求出直线l的方程；并说出；假设不存在，请说明理由．【考点】椭圆的应用．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】〔Ⅰ〕由题意可知a2+b2=7，a=2c，由此能够求出椭圆C的方程．〔Ⅱ〕设A、B两点的坐标分别为A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，假设使成立的直线l存在．〔i〕当l不垂直于x轴时，根据题设条件能够推出直线l不存在．〔ii〕当l垂直于x轴时，满足||=1的直线l的方程为x=1或x=﹣1，由A、B两点的坐标为或．当x=1时，=﹣．当x=﹣1时，=﹣．所以此时直线l也不存在．由此可知，使=0成立的直线l不成立．【解答】解：〔Ⅰ〕由题意可知a2+b2=7，∵S□B1A1B2A2=2S□B1F1B2F2，∴a=2c．解得a2=4，b2=3，c2=1．∴椭圆C的方程为．〔Ⅱ〕设A、B两点的坐标分别为A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，假设使成立的直线l存在．〔i〕当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于P点，且||=1得，即m2=k2+1，由得x1x2+y1y2=0，将y=kx+m代入椭圆得〔3+4k2〕x2+8kmx+〔4m2﹣12〕=0，，①，，②x1x2+y1y2=x1x2+〔kx1+m〕〔kx2+m〕=x1x2+k2x1x2+km〔x1+x2〕+m2=0把①②代入上式并化简得〔1+k2〕〔4m2﹣12〕﹣8k2m2+m2〔3+4k2〕=0，③将m2=1+k2代入③并化简得﹣5〔k2+1〕=0矛盾．即此时直线l不存在．〔ii〕当l垂直于x