第节向量组线性相关性(共36张PPT)

第32节向量组线性相关性第一页，共36页。线性相关的定义1第二页，共36页。

定义1

设有m个n维向量α1，α2

，，αm，如果存在一组不全为零的数使则称向量组α1

，α2

，，αm线性相关；否则，称向量组线性无关第三页，共36页。线性相关两种定义的等价性向量组a1，a2，，am线性相关的充要条件是：向量组中至少有一个向量可以由其余向量线性表示。必要性：因为a1，a2，，am线性相关，故存在不全为零的数l1，l2，，

lm，使

l1a1l2a2

lmamo

。不妨设l10，于是即a1为a2，a3，，am的线性组合。

充分性：不妨设a1可由其余向量线性表示：

a1=l2a2l3a3

lmam，则存在不全为零的数1，l2，l3，，

lm，使

(1)a1+l2a2l3a3

lmam=o

，即a1，a2，，am线性相关。证明：第四页，共36页。1.含有零向量的向量组一定线性相关。

2.由一个向量构成的向量组线性相关当且仅当该向量为零向量。3.由两个向量构成的向量组线性相关当且仅当这两个向量的分量对应成比例。4.n维基本单位向量e1，e2，…，en是线性无关的。5.几何意义第五页，共36页。

定义1

设有m个n维向量α1，α2

，，αm，如果存在一组不全为零的数使则称向量组α1

，α2

，，αm线性相关；否则，称向量组线性无关思考题：给出线性无关的直接定义第六页，共36页。

证明向量组线性无关.证利用条件设法推出即可.设(1)

(1)式左乘得(1)式成为(2)(2)式左乘同理推出例3第七页，共36页。例2设向量可由线性无关的向量组线性表示,证明表法是唯一的.(p99定理3.2.2)证设有两种表示方法由线性无关第八页，共36页。所以方程组有非零解。21=x12-=x13-=x得方程组

由于

解:设使所以

线性相关。

例1

讨论向量组的线性相关性即存在一组不全为零0的数

21=x12-=x13-=x第九页，共36页。易见向量组a1，a2，，am线性相关的充分必要条件是：以x1，x2，，xm为未知量的齐次线性方程组

x1a1

x2a2

xm

am

o有非零解。而上述方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩小于未知量的个数m，即由此即得：第十页，共36页。存在不全为零的数使即有非零解.还是转换！转换线性无关…向量组线性相关(按定义)(转化为方程组)齐次方程组(用矩阵的秩)把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性无关，否则如果矩阵的秩小于向量的个数就线性相关。定理3.2.3证明向量组线性相关性的基本方法（向量方程）第十一页，共36页。思考题：如向量个数=向量维数，向量组线性相关及线性无关的条件是什么？答案：线性相关当且仅当其构造的矩阵对应行列式的值为0；线性无关当且仅当其构造的矩阵对应行列式的值不为0。第十二页，共36页。例3．t取何值时向量组线性无关、线性相关？α1=（3，2，0），α2=（5，4，-1）α3=（3，1，t）解由于

当2t-3≠0，即t≠3/2时，α1，α2，α3线性无关当2t-3=0，即t=3/2时，α1，α2，α3线性相关第十三页，共36页。例2、已知讨论向量组a1，a2，a3及向量组a1，a2的线性相关性解：A=（a1，a2，a3）=∵R（A）=2<3，∴a1，a2，a3线性相关。∵R（a1，a2

）=2，∴向量组a1，a2的线性无关。另解：第十四页，共36页。

例4．设向量组a1，a2，a3线性无关，b1a1a2，b2a2a3，b3a3a1。试证向量组b1，b2，b3也线性无关。

证明：（一）考虑x1b1

x2b2x3b3o，，x1x1x2x2x3x3000===++++从而b1，b2，b3线性无关。方程组只有零解，即x1(a1a2)

x2(a2a3)x3(a3a1)o，整理得(x1+x3)a1+(x1+x2)a2+(x2+x3)a3=o。因为向量组a1，a2，a3线性无关，所以必有第十五页，共36页。

例4．设向量组a1，a2，a3线性无关，b1a1a2，b2a2a3，b3a3a1。试证向量组b1，b2，b3也线性无关。证明：（三）从而R（B）=R（A），而向量组a1，a2，a3线性无关，所以R（A）=3R（B）=3可知向量组b1，b2，b3也线性无关。第十六页，共36页。

例4．设向量组a1，a2，a3线性无关，b1a1a2，b2a2a3，b3a3a1。试证向量组b1，b2，b3也线性无关。证明：（二）只有即只有所以向量组b1，b2，b3也线性无关。第十七页，共36页。例4．设向量组a1，a2，a3线性无关，b1a1a2，b2a2a3，b3a3a1。试证向量组b1，b2，b3也线性无关。证明：（四）从而，即向量组a1，a2，a3与向量组b1，b2，b3等价。从而R（B）=R（A）=3，所以向量组b1，b2，b3也线性无关。第十八页，共36页。由两个向量构成的向量组线性相关当且仅当这两个向量的分量以x1，x2，，xm为未知量的齐次线性方程组即向量组a1，a2，a3与向量组b1，b2，b3等价。则称向量组α1，α2，，αm线性相关；(2)“个数大于维数必相关”不全为零的数使所以向量组b1，b2，b3也线性无关。试证向量组b1，b2，b3也线性无关。由线性无关t取何值时,下列向量组线性相关?第二十二页，共36页。所以向量组b1，b2，b3也线性无关。易见向量组a1，a2，，am线性相关的充分必要条件是：即a1，a2，，am线性相关。表示,又m>n,由表示不等式(参见P.99—101)(1)“部分相关,则整体相关.等价地…”观察知相关,从而相关.设相关,要证相关.使用方便的一些推论书例2第十九页，共36页。(2)“个数大于维数必相关”A的列组是4个3维向量,必相关.设要证A的列组线性相关.推论1如：第二十页，共36页。(3)“短的无关,则长的也无关.等价地…”是无关的.也是无关的.推论3再如：第二十一页，共36页。(4)含有n个向量的n元向量组线性相关（无关）推论2由它构成的n阶矩阵的行列式t

取何值时,下列向量组线性相关?解记当t=5时,上面向量组线性相关.例4第二十二页，共36页。(5)

无关,

相关则可由A

唯一表示.这由有唯一解.为以后引用方便,给它起个名子叫唯一表示定理.P.99定理第二十三页，共36页。第二十四页，共36页。写成矩阵乘积:从而(6)向量组B可由向量组A表示,则(后者的A,B是矩阵)存在矩阵C使得B=AC为以后引用方便,给它起个名子叫表示不等式.也体现在P.108性质3第二十五页，共36页。(7)如果一个向量组能由向量个数比它少的向量组表示,则必相关（Steinitz定理）.则必相关如果可由表示,又m>n,由表示不等式从而B

必相关.P.107引理1第二十六页，共36页。练习题

一．填空题．在一向量组α１，α２，…，αn中，如果有部分向量组线性相关，则向量组必（）．二、多选题：下列命题中正确的有（）Ａ．非零向量组成的向量组一定线性无关Ｂ．含零向量的向量组一定线性相关Ｃ．由一个零向量组成的向量组一定线性无关Ｄ．由零向量组成的向量组一定线性相关Ｅ．线性相关的向量组一定含有零向量。三、分析判断题：若α１不能被α２，α３，…，αr线性表出，则向量α１，α２，α３，…，αr线性无关。（）四