XXXX设备故障诊断信号三

1.3.7信号的时频分析

时频分析的基本任务是建立一个函数，要求这个函数不仅能够同时用时间和频率描述信号的能量分布密度，还能够以同样的方式来计算信号的其他特征量。这里只是简单介绍当前广泛采用的时频分析方法：短时傅里叶变换（STFT）、小波变换（WT）及时频分析的一些应用。1/18/202311、短时傅里叶变换

（1）短时傅立叶变换原理短时傅立叶变换是研究非平稳信号最广泛使用的方法。假定我们听一段持续时间为1h的音乐，在开始时是有小提琴，而在结束时有鼓。如果用傅立叶变换分析整个1h的音乐，傅立叶频谱将表明对应小提琴和鼓的频率的峰值。频谱会告诉我们有小提琴和鼓，但不会给我们小提琴和鼓什么时候演奏的任何表示。最简单的做法是把1h划分成每5min一个间隔，并用傅立叶变换分析每一个时间间隔。在分析每一个时间间隔时，就会看到小提琴和鼓出现在哪个5min间隔。如果要求更好的局部化，那就把这1h划分成1min一个间隔，甚至更小的时间间隔，再用傅立叶变换分析每一个间隔。这就是短时傅立叶变换的基本思想：把信号划分成许多小的时间间隔，用傅立叶变换分析每一个时间间隔，以确定在哪个时间间隔存在的频率，这些频谱的总体就表现了频谱在时间上是怎样变化的。1/18/20232

为了研究信号在时刻t的特性，人们加强在那个时刻的信号而衰减在其它时刻的信号。这可以通过用中心在t的窗函数h（t）乘信号来实现。产生的信号是：

xt（）=x（）h（-t）改变的信号是两个时间函数，即所关心的固定时间t和执行时间。窗函数决定留下的信号围绕着时间t大体上不变，而离开所关心时间的信号衰减了许多倍，也就是

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因为改变的信号加强了围绕着时刻t的信号，而衰减了远离时刻t的信号，傅立叶变换将反映围绕着t时刻的频谱，即

对于每一个不同的时间，都可以得到一个不同的频谱，这些频谱的总体就是时频分布Psp（t，f）。我们关心的是分析围绕着时刻t的信号，所以选择一个围绕着t具有峰值的窗函数。这样就可以在t时刻附近得到一个短持续时间信号，其傅立叶方程（上式）叫做短时傅立叶变换。下式确定的Psp（t，f）函数曲面图叫时频分布图。1/18/20234下图为鲸鱼发出的声音表示。画在主图左边的曲线是鲸鱼声音信号的时域波形，它清楚地告诉我们鲸鱼声强度或者响度怎样随时间而变化。在主图下面的曲线是能量谱密度，即傅立叶变换的绝对值平方。它表明哪些频率存在，以及它们的相对强度有多大。

这个声音的频谱告诉我们频率范围大约从175Hz到325Hz。这个信息是有意义而且重要的，但是根据这个频谱告诉无法知道这些频率什么时候存在。例如，不可能通过观察频谱确切知道300Hz声音在什么时候产生，或者产生这个声音的总持续时间，或产生了多少次。主图反映了信号能量的时间频率联合分布密度，由此就可以确定作为时间进程的强度。这使我们能够了解各个时刻发生的情况：1/18/20235频率大约从175Hz开始，大体上在0.5s左右的时间内线性地增加到大约325Hz，然后停在那里约0.1s的时间，等等。作为对300Hz声音什么时候出现这个问题的回答，现在从图中可以知道在0.6s和1.3s出现两次。1/18/20236

另外，在现实生活和工程实际中许多信号是暂态信号(非稳态信号)、其统计特性与时间有关．如语言信号、雷达信号、超声波信号等，这些信号不满足傅氏变换所要求的条件。傅立叶变换公式获得信号频谱信息需要无限长的时间，即不仅需要过去而且需要将来的时间信号去估计一个单一频率的频谱。另外，傅立叶变换式不能反映与时间变量有关的频率信息。除此之外、非稳态信号很可能在一个短时瞬间发生变化．即具有很强的时间局部性，并对整个频谱产生影响，很难从信号的频谱上确认这种时域内的瞬时变化的存在及其确切的频率信息。也就是说其傅氏变换的结果既不能有效地提供暂态信号的频域信息．也不能揭示暂态信号的时间特性。因此．暂态信号很难用傅氏变换进行分析。1/18/20237

下图a所示为一白噪声信号中夹杂一个脉冲信号。二者分别为典型的稳态信号和暂态信号。该信号的频谱如图b所示。很难在频谱中看出脉冲信号的存在，这是因为白噪声信号是均匀的宽带频谱，而脉冲信号也具有宽带特性．只不过是其带宽取决于脉冲信号的作用时间。

可采用“短时傅立叶变换”来对暂态信号进行分析。窗函数w(t)在整个信号上沿时间平移并且完成了连续重叠变换时，就可以得到与时间有关的信号频谱的描述。图9-2所示为STFT的连续重叠加窗示意图。该方法假定在一个有限的时窗w(t)内信号是稳态的．若时窗相当短，则假定应是成立的。将这些变换结果按时间顺序排列在时间轴上就得到了信号的时频描述(分布)，这种描述称之为信号的“频图”1/18/202381/18/20239图2STFT滑动示意图1/18/202310这样，就就可以在在时频表表面得到到一个信信号能量量的三维维分布。。这种分分布类似似于功率率谱是信信号能量量在频率率轴上的的二维分分布。这这种信号号的分析析方法就就称之为为信号的的时频分分析。1/5/202311（2）测测不准原原理时间-带带宽乘积积定理，，即测不不准原理理，是傅傅立叶变变换对之之间互相相制约的的关系表表述。它它在联合合时频分分析的讨讨论、抽抽象及其其他方面面起着重重要的作作用。在在信号分分析中，，测不准准原理就就是一个个众所周周知的数数学事实实：窄波波形产生生宽频谱谱，宽波波形产生生窄频谱谱，时间间波形和和频率频频谱不可可能同时时使其任任意窄。。1/5/202312（3）短短时傅立立叶变换换的特点点一方面，，为了获获取信号号的短时时傅立叶叶变换，，把信号号划分成成许多小小的时间间间隔，，但这种种间隔是是否越细细越好？？回答是是否定的的。因为为在变窄窄到一定定程度之之后，得得到的频频谱就变变得没有有意义，，而且表表明与原原信号的的频谱完完全不相相符。原原因在于于把一个个完全好好得信号号划分成成短持续续时间信信号。但但是，短短持续时时间信号号有固有有的宽频频带，而而这样的的短持续续时间信信号几乎乎与原信信号的特特性没有有关系。。另一方面面，为了了获取高高的频率率分辩率率，采用用宽时窗窗做信号号的短时时傅立叶叶变换。。但是，，加大时时窗宽度度是与短短时傅立立叶变换换的初衷衷相背的的，因为为它丢失失非平稳稳信号中中小尺度度短信号号的时间间局部信信息。1/5/202313由此可见见，短时时傅立叶叶变换由由于采用用固定窗窗，当非非平稳信信号中所所含信号号分量尺尺度范围围很大时时，采用用多大的的时窗宽宽度都无无法正确确揭示信信号的时时频谱，，这是由由于测不不准原理理对采用用固定窗窗的短时时傅立叶叶变换方方法的制制约。尽管有上述述困难，但但短时傅立立叶变换方方法在许多多方面是理理想的。它它的意义是是明确的，，基本合理理的物理原原理，而且且对于许多多信号和情情况，它给给出了与我我们的直观观感知相符符的极好的的时频构造造。1/5/202314（4）存在在问题“短时博氏氏变换”方方法虽然很很早就被提提出，但由由于具有若若干局限性性，限制了了这种方法法在工程中中的广泛应应用。以下下从三个方方面对其局局限性进行行分析。1/5/202315窗函数选择择的限制对对一一个待定的的信号来说说，一个特特定的窗可可能比所有有其他的窗窗都更为合合适、即具具有较好的的分析精度度。但若一一个信号是是由两个信信号构成，，就有可能能每一个信信号都要求求有自己的的窗才能有有最好的分分析精度。。很显然，，仅有一个个窗用于这这两个信号号是很难获获得最佳分分析精度的的。如图9-5a所所示为一合合成信号．．是两个频频率分别为为64Hz相194Hz的两两个正弦信信号的合成成。图9-5b是一一个频率为为128Hz的正弦弦信号，但但有一个64个采样样点的间隙隙。1/5/2023161/5/2023171/5/202318图9-6、、图图9-7均均为为上上述述两两个个信信号号的的STFT分分析析结结果果，，其其中中图图a为为窗窗函函数数具具有有128个个采采样样点点宽宽度度的的分分析析结结果果，，图图b为为窗窗函函数数具具有有32个个采采样样点点宽宽度度的的分分析析结结果果。。由由分分析析结结果果可可见见．．当当窗窗函函数数的的宽宽度度较较大大．．为为128个个采采样样点点时时，，对对图图9-5a所所示示的的两两个个正正弦弦信信号号的的合合成成信信号号具具有有较较好好的的频频域域分分辨辨率率，，即即频频域域分分析析精精度度较较高高，，但但时时域域分分辨辨率率较较差差。。1/5/202319当窗函数的宽宽度较小，为为32个采样样点时，对图图9-5b所所示的具有间间隙的单一频频率正弦信号号来说，其分分析结果具有有较好的时域域分辨率，即即具有较好的的时域分析精精度，但频域域精度较差。。由此可见，，STFT方方法的窗函数数宽度对分析析结果至关重重要．而且时时域与频域的的精度不可能能都为最佳。。1/5/202320STFT方法法的精度分析析由由以上分析可可知，窗函数数宽度的选择择将会直接影影响时域或频频域的精度。。为改进时域域精度可以选选择一个较短短的窗，但是是短窗将会导导致傅氏变换换计算时采样样点数目的减减少，因此，，频域中离散散频率数也将将减少，从而而引起频域精精度的降低。。1/5/202321可以证明时域域精度的提高高将以损失频频域精度为代代价，而提高高频域精度将将以损失时域域精度为代价价，二者不可可兼得。对STFT来说说．重要的是是窗函数一经经选定，则时时频精度在整整个时频表面面都是固定的的，因为同一一个窗函数将将被用于信号号中所有频率率。所以STFT的窗函函数对时频分分析是刚性的的。1/5/202322如果一一个信信号是是由一一些小小的脉脉冲与与较长长的伪伪稳态态成份份所组组成，，则每每一个个信号号组成成部分分可以以有较较好的的时域域或频频域分分析精精度，，但并并不是是二者者兼有有。对STFT分析析来说说．一一般认认为Gaussian窗窗函数数是最最佳选选择。。当合合成信信号较较为简简单且且变换换参数数选取取合理理，STFT也也可有有较好好的分分析结结果。。下图图为其其分析析结果果。1/5/2023231/5/2023241/5/2023252、小波分分析（1）从傅里里叶变换到到短时傅里里叶变换如前所述，，傅里叶变变换可以将将时域信号号变换到频频域中的谱谱。就振动动分析来说说，各频段段的谱分量量可以告诉诉我们信号号的各个组组成部分，，表征着信信号的不同同来源和不不同特征。。FFT算算法和现代代谱理论的的发展使得得信号谱估估计可以在在很短的时时间内完成成，从而实实现对观测测信号的实实时分析。。频谱估计计现已成为为信号分析析与处理领领域中十分分重要的特特征分析工工具。傅里里叶变换的的不足之处处在于它只只适用于稳稳态信号分分析，而非非稳态信号号在工程领领域中是广广泛存在的的，另外，，非稳态信信号很可能能在一个短短时瞬间发发生变化．．即具有很很强的时间间局部性，，并对整个个频谱产生生影响，很很难从信号号的频谱上上确认这种种时域内的的瞬时变化化的存在及及其确切的的频率信息息。1/5/202326也就是说其其傅氏变换换的结果既既不能有效效地提供暂暂态信号的的频域信息息．也不能能揭示暂态态信号的时时间特性。。因此．暂暂态信号很很难用傅氏氏变换进行行分析。由此采用了了“短时傅傅立叶变换换”来对非非稳态和暂暂态信号进进行分析。。窗函数w(t)在在整个信号号上沿时间间平移并且且完成了连连续重叠变变换时，就就可以得到到与时间有有关的信号号频谱的描描述。在时时频面上构构建了三维维谱图。（2）从短短时傅里叶叶变换到小小波变换但短时傅立立叶变换的的主要缺陷陷是：对所所有的频率率都用同一一个窗，使使得分析的的分辨率在在时间-频频率平面的的所有局部部都相同，，如下图所所示。如果果在信号内内有短时（（相对于时时窗）、高高频成分、、那么短时时1/5/202327傅立叶变变化就不不是非常常有效了了。缩小小时窗（（选取更更集中的的窗函数数）、缩缩小采样样步长固固然可以以获得更更多的信信息，但但是受到到测不准准原理的的约束，，在时间间和频率率上均有有任意高高分辨率率是不可可能的。。1/5/202328在信号分分析中，，为能精精确地得得到高频频信息。。采样间间隔应相相对的小小些；而而为了完完整地得得到低频频信息。。采样间间隔应相相对地大大些。换换言之，，重要的的是需要要一个““柔性””时频窗窗、其在在较高的的频率处处时域窗窗可以自自动地变变窄，而而在较低低的频率率处时域域窗又可可以自动动地变宽宽。见下下图所示示。而某某些所谓谓“基本本小波””的积分分变换(IntegralWaveletTransform)便正具具有这种种所需的的细化功功能。因因此，小小波分析析是目前前信号分分析中一一种十分分有用的的时频局局部化分分析方法法。1/5/202329小波分析析其基本本思想是是采用时时窗宽度度可调的的小波函函数替代代短时傅傅立叶变变换中的的窗函数数。也就就是说小小波变换换在时频频平面不不同位置置具有不不同的分分辨率，，是一种种多分辨辨（率））分析方方法。其其目的是是“既要要看到森森林（信信号的概概貌），，又要看看到树木木（信号号的细节节）”，，因此，，它又称称为数学学显微镜镜。它是是将信号号交织在在一起的的多种尺尺度成分分分开，，并能对对大小不不同的尺尺度成分分采用粗粗细的时时域或空空域采样样步长，，从而能能够不断断地聚焦焦到对象象的任意意细节。。这就是是小波优优于短时时傅立叶叶变换的的地方。。（3）小波波分析发发展简介介1/5/202330小波分分析作作为一一门新新的学学科分分支目目前正正在众众多研研究领领域掀掀起研研究热热潮。。在数学领领域、它被被认为为是调调和分分析近近半个个世纪纪的工工作结结晶．．能够够压缩缩奇异异积分分算子子，求求解偏偏微分分方程程．构构造近近似惯惯性流流形并并被广广泛用用于逼逼近论论；在在量子力力学中，一一个量量子场场的基基于正正交小小波基基的相相细胞胞簇的的展开开具有有一系系列良良好的的性质质，为为研究究量子子场结结构提提供了了新方方法，，在流体力力学中，它它被用用来模模拟湍湍流的的流动动．得得到湍湍流流流动的的某些些分解解；在在数字信信号处处理领域，，小波波与多多分辩辩率滤滤波、、正交交景象象滤波波以及及分波波段编编码等等紧密密联系系，在在数据据压缩缩编码码、持持征提提取等等方面面取得得了重重要进进展；；小波波分析析也为为计算机机视觉觉处理理提供了了新的的模型型．在在图象象的压压缩、、边缘缘检测测和纹纹理识识别等等方面面发挥挥着重重要的的作用用、对对自相相似过过程和和分形形信号号的研研究，，小波波方法法也提提供了了强有有力的的工具具。小小波分分析可可以认认为是是Fourier分分析发发展史史上里里程碑碑式的的进展展。1/5/202331小波分分析的的历史史可以以追朔朔到本本世纪纪中叶叶。在在纯数数学领领域，，Calderon于1964年在调调和分分析中中的恒恒等算算子分分解理理论。。物理理学中中Aslaken和和Calland于于1968年在量量子力力学对对仿射射群所所构造造的凝凝聚态态，以以及在在工程程界Esterban和和Calland于于1977年提出出的QMF滤子子都涉涉及到到小波波分析析。1983年法国国地质质学家家J．．Morlet在处处理地地质资资料时时偶然然中又又重新新发现现了数数学家家的工工作。。随后后，理理论物物理学学家A.Grossmann：和和数学学家Y.Meyer等在在理论论上对对小波波分析析做了了一系系列深深入研研究，，将Morlet的的想法法作了了出色色的数数学描描述，，大大大丰富富了调调和分分析的的内容容。1/5/20233290年代初初期，在信信号处理界界I.Daubechies和S.mallat最先注注意到小波波分析在信信号分析领领域具有重重要的应用用前景，并并作出开创创性的贡献献，发展了了快速算法法．使小波波分析的研研究者在不不同学科间间搭起桥梁梁。在他们们的推动下下小波分析析在信号处处理、图象象处理等很很多方面获获得应用。。1987年在法国国召开了第第一届小波波分析的国国际会议，，之后有关关小波分析析的会议和和论文如雨雨后春笋此此起彼伏．．人们称之之为“小波波热潮”，，我国也于于1992年在武汉汉大学召开开了“中法法首届小波波分析研讨讨会”。1/5/202333①连续小波变变换根根据据小波的计计算和表达达式形式，，其可分为为各种形式式。而连续续小波（ContinuousWaveletTransform-CWT））则定义为为：如果基基本小波满足“相容容性”条件件（1）1/5/202334式中a、bR，a0，（）是（t）的傅氏变换（（母小波），，参数a称为为尺度因子（（尺度与频率率是相关联的的，可以认为为尺度的倒数数1/a与频频率具有正比比关系），b为时移因子子、而（Wf)(b，a)则称为小波波变换系数。。信号的连续续小波变换所所提供的信息息是高度冗余余的，适合于于诸如滤波这这些对频率分分解要求比较较高的场合。。连续小波变变换的物理意意义可简述为为通过变换，，将二维的时时间信号变换换到由尺度因因子、时间因因子和小波变变换系数所决决定的立体空空间（如下图图）。以获得得更多、更清清晰的信号的的信息量。由伸缩与频移移构成L2（R）的规范范正交基。1/5/202335小波变换式中中基本小波函函数的选取很很重要。常常常决定于实际际应用函数是是因为在几何何形态上小波波函数一般都都具有以下两两个特征：必须是振荡函函数；必须是迅速收收敛的函数。。下图a所示正正弦函数振荡荡但不收敛。。因此不是小小波函数。下下图b所示函函数迅速收敛敛但不振荡，，因此也1/5/202336不是小波函数数。下一页图图所示为几种种常见的小波波函数。图两两种函函数（a）正弦函函数，（b））迅速收敛的的函数1/5/202337图几种种常见的小波波函数a)Lemarie小波波，b)具有有20个系数数的Danbechies小波，c)具有4个个系数的Danbechies小波波，d)Morlet小小波小波变换式中中的小波集b、a(f)可由一一个基本小波波经尺度平移移和时间平移移而得到尺度因子a和和时移因子b的不同会给给小波函数的的几何形态带来很大大的变化。下下图为因子a、b取不同同数值时的Morlet小波函函数。1/5/202338尺度因子和时时移因子取不不同数值时的的Morlet小波函数数1/5/202339小波变换利用用小波在不同同的

时移和和尺度下对信信号进行观察察1/5/202340②连续续小小波波变变换换的的时时频频窗窗的的精精度度基本本小小波波可可以以看看作作是是一一个个窗窗函函数数。。连连续续小小波波变变换换可可由由如如下下的的时时间间窗窗得得到到信信号号f（（t））时时域域局局部部信信息息[at*+b-aw，at*+b+aw]其窗窗函函数数中中心心为为at*+b，，其其半半径径为为aw。这这个个时时域域窗窗相相对对于于较较小小的的a值值变变窄窄，，而而相相对对于于较较大大的的a值值变变宽宽。。类似似的的在在频频域域中中，，小小波波函函数数的的中中心心和和半半径径分分别别由由*和来定定义义。。应应用用帕帕斯斯维维尔尔定定理理来来定定义义连连续续小小波波变变换换的的频频域域窗窗为为：：[*/a-/a，，*/a+/a]1/5/202341若假假定定中中心心是是正正值值，，则则中中心心频频率率与与带带宽宽之之比比是是现在在若若at*被看看作作是是时时间间变变量量，，而而*／a被被看看作作是是频频率率变变量量，，则则在在时时频频表表面面我我们们已已经经具具有有矩矩形形的的时时频频窗窗[at*+b-aw，at*+b+aw][*/a-/a，，*/a+/a]显然，，该比比值与与尺度度因子子a无无关。。因此此，连连续小小波变变换可可被视视为由由上式式给定定通带带的自自适应应带通通滤波波器，，其频频率变变量可可由与与1／／a的的常数数的乘乘积得得到。。值得得注意意的是是该滤滤波器器具有有其中中心频频率与与带宽宽之比比与中中心频频率的的位置置无关关的特特性。。1/5/202342该窗的的宽度度为2a，，高度度为2/a(图10-5)。所所以，，在时时域中中对于于高频频信号号(即即较小小a值值)，，这种种窗可可自动动变窄窄以达达到较较好的的检测测效果果，而而对于于低频频现象象(即即较大大的a值)则可可自动动变宽宽，仍仍具有有较好好的检检测效效果。。而在在频域域，窗窗宽度度的变变化正正好相相反，，因而而同样样具有有较好好的检检测效效果，，即对对高频频现象象，窗窗是自自动变变宽的的，而而对低低频现现象，，窗是是自动动变窄窄的。。正是是因为为小波波变换换具有有这种种“柔柔性””窗，，才使使其在在时域域和频频域同同时良良好的的局部部化特特性，，因而而对信信号具具有良良好的的检测测能力力。1/5/2023431/5/202344图10-6从另另一角角度说说明了了上述述小波波变换换的时时频窗窗的柔柔性性性质。。图b所示示STFT的时时域窗窗相对对于其其时移移参数数t0的窗宽宽度t是等宽宽的。。而连连续小小波变变换(CWT)的时时域窗窗(图图a)相对对于其其时移移参数数t0的窗宽宽度却却是三三角形形的，，随着着尺度度参数数a的的增大大而变变宽。。a值值的增增大意意味着着频率率f的的减减小，，即CWT的时时域窗窗对于于频率率变化化缓慢慢的时时间信信号具具有放放大窗窗宽度度的性性能，，因此此可以以更好好地检检测缓缓变信信号。。1/5/202345在频域，如如图d所所示，STFT的的频域窗的的宽度f相对于各中中心频率是是等宽的，，而CWT的窗宽度度(图c)却是随中中心频率按按对数形式式变化，即即相对于低低频信号，，窗宽度较较窄、而相相对于高频频信号，窗窗宽度变宽宽。这恰好好符合低频频信号需要要较窄的频频域窗而高高频信号需需要较宽的的频域窗以以提高频域域分辨率的的要求。1/5/202346若将STFT和小波波变换（WT）视为为带通滤波波器，则它它们的带宽宽如下图所所示：1/5/202347③信号f（t）的重构构若若信号号f（t））是连续的的，且满足足一定条件件，我们可可以利用小小波变换系系数来重构构任何能量量有限的信信号f（t）（2）式与（（1）式就就构成了一一个连续小小波变换对对。类似于于STFT的分析结结果，小波波变换的结结果也在三三维空间进进行描述。。这是因为为连续小波波变换在变变换中没有有能量泄露露，保存了了信号的能能量（2）1/5/202348式中Ex为信号能量量。这就导导致我们可可以用小波波变换系数数的模的平平方来进行行小波变换换结果的三三维描述，，它是信号号在时频表表面的三维维分布。与与STFT所不同的的是，此处处信号的能能量是以多多重分析精精度的形式式在时频表表面进行分分布的。如同傅里叶叶变换结果果可以表示示为幅频特特性和相频频特性一样样，小波变变换的结果果——小波波变换系数数（Wf）（b，，a）也可以用幅幅值和相位位加以表示示。下图即即为一个矩矩形信号的的小波变换换结果的幅幅值、相位位和实部表表示。1/5/2023491/5/202350④小波分析析与其他他时频分分析的比比较这这里给给出两个个应用实实例．以以作为小小波分析析方法和和时频分分析方法法结果的的比较。。合成信号的的分析如前图所所示的合合成信号号，由于于STFT方法法对同一一宽度的的窗来说说不可能能同时具具有较好好的时域域和频域域分析精精度，因因而就不不可能同同时具有有较好的的分时和和分频特特性，这这也是STFT方法的的主要缺缺陷。下下图为同同一合成成信号的的小波变变换结果果。由图图可见、、无论是是小波变变换系数数的幅值值还是相相位都同同时具有有良好的的分时和和分频特特性。即即同时具具有良好好的时域域和频域域分析精精度。1/5/202351合成信号号的小波波变换结结果的幅幅值及相相位(a)两两正弦信信号的合合成信号号的幅值值和相位位，(b)具有有间隙的的信号的的幅值和和相位1/5/202352心电图信号的的分析晚期心肌梗塞塞病人的室性性心动过速经经常导致病人人的突然死亡亡。检查是否否有室性心动动过速症状的的主要手段目目前仍然是心心电图。在心心电图上是否否有这种症状状主要是表现现在QRS组组波的尾部(图一)，但但即使是使用用高分辨率的的心电图，也也很难对其进进行确认。在在本例中对高高分辨率的心心电图信号进进行了Wignar变换换和小波变换换，以探索在在心电图信号号中识别室性性心动过速的的方法。1/5/202353首先对高分辨辨率的心电图图信号以1000Hz的采样频率率进行采样，，采样时间是是800ms，然后仅对对QRS组波波(150个个采样点)进进行Wignar变换和和小波变换。。1/5/202354前者又分为两两种，一种是是通常的Wignar变变换，一种是是为了尽可能能消除分析中中的干涉项而而加了汉宁窗窗的Wignar变换(窗宽度为61个采样点点)。具有室室性心动过速速和不具有这这种症状的晚晚期心肌梗塞塞病人的两种种心电图信号号的两种Wignar变变换的结果分分别见下图（（a、b），，其中右侧图图形为具有室室性心动过速速症状的分析析结果。由图图可见．无论论是否具有这这种症状，两两种Wignar变换的的结果都表现现出在时频表表面上的低频频部分(图中中v表示频率率)积聚着较较大的能量，，且几何形态态相差不大，，只是在较高高频部分能量量积聚的形态态有一些差别别。因此，是是否有室性心心动过速只能能根据较高频频部分的能量量积聚形态加加以判断。采采用Morlet小波的的小波变换的的结果见下图图c，可以看看出变换结果果相差很大。。所以，在对对于室性心动动过速的心电电图信号的识识别问题来说说，小波变换换相对于Wignar变变换具有更大大的优越性。。1/5/202355有室性性心动动过速速(右右侧图图形)和不不具有有室性性心动动过速速的心心电因因分析析结果果1/5/2023561/5/202357频域/时域域紧支支集信信号（（带限限/时时限信信号））是实实际应应用中中经常常遇到到的一一类信信号。。紧支支集正正交小小波性性质：：（1））局部部性（（2））正交交性（（3））振荡荡性定义：：记f（（t1，t2，---tm）F（1，2，---m）为一一对付付氏变变化，，若F（1，2，---m）=0，（1，2，---m）V则称f（t1，t2，---tm）为为频域域紧支支集信信号，，称V为支撑撑集1/5/2023583、、离离散散小小波波变变换换及及其其应应用用小波波变变换换在在使使用用中中是是由由离离散散小小波波变变换换(DiscreteWaveletTransform——DWT)来来完完成成的的。。（1））小小波波分分解解为清清楚楚理理解解离离散散小小波波变变换换的的实实现现过过程程、、首首先先研研究究一一个个简简单单的的信信号号是是怎怎样样实实现现小小波波分分解解的的。。下下图图1给给出出了了一一个个信信号号是是如如何何分分解解成成为为其其小小波波成成分分的的。。该该信信号号为为一一方方波波信信号号，，具具有有两两个个周周期期。。在在方方波波图图形形下下面面，，是是通通过过小小波波分分解解而而得得到到的的方方波波信信号号的的八八个个““次次信信号号””。。由由于于后后面面将将要要解解释释的的原原因因，，每每一一个个小小波波成成分分在在被被称称之之为为““水水平平””的的参参数数上上加加以以描描述述，，且且水水平平数数是是从从-1开开始始增增大大的的。。在在本本例例中中，，-1水水平平和和0水水平平中中的的数数值值都都为为零零，，但但并并不不是是每每一一种种情情况况下下都都是是如如此此。。1/5/202359图1将将小小波波f（（r））（（r=1~128））分分解解为为D4小小波波分分量量1/5/202360当每每一一个个分分解解的的小小波波水水平平都都被被加加起起来来时时，，就就重重新新获获得得了了原原始始信信号号(图图2)。。左左上上角角所所示示为为仅仅有有-1水水平平的的情情景景，，然然后后是是每每一一水水平平顺顺序序相相加加的的情情景景，，最最后后是是重重新新获获得得了了原原始始信信号号的的情情景景。。此处处关关心心的的是是离离散散小小波波变变换换(DWT)，，且且假假定定信信号号的的采采样样间间隔隔是是等等宽宽的的。。在在图图1中中方方波波f（（r））的的取取值值范范围围是是r＝＝1~128。。在在DWT中中N决决定定了了水水平平数数的的多多少少。。可可以以看看出出，，当当N＝＝2n时，，共共有有n+1个个水水平平，，故故当当N＝＝128＝＝27时，，在在图图1中中共共有有8个个水水平平。。被分分解解信信号号的的小小波波成成分分的的形形状状取取决决于于基基本本小小波波的的形形状状。。如如前前所所述述，，有有不不少少基基本本小小波波可可供供选选择择，，但但只只有有很很少少一一部部分分能能满满足足精精确确分分解解且且每每一一个个分分解解都都是是彼彼此此正正交交的的条条件件。。1/5/202361图2从从D4小波分分量重构构方波信信号1/5/202362虽然已已有很很多数数值算算法用用于小小波变变换，，但一一般的的算法法都是是基于于正交交小波波的，，因而而此处处仅考考虑正正交小小波。。决定定了使使用那那种小小波，，则这这种小小波就就成为为信号号分解解的基基本小小波，，从而而也就就决定定了重重构信信号的的小波波成分分的形形状。。在以上上两图图中使使用了了D4小波波(即即具有有4个个系数数的Daubechies小小波)，图图3的的最上上端图图形即即为D4小小波。。考察察在图图1中中位于于3水水平尺尺度中中的D4小小波，，注意意到该该水平平所示示尺度度的小小波仅仅占据据被分分解信信号的的一部部分。。为覆覆盖整整个信信号就就必须须增添添更多多的小小波。。在3水平平，共共有23=8个个小波波沿水水平轴轴等间间距分分布。。每一一个小小波占占据128／8=16个个间距距。图图3的的第二二个图图形为为三个个相互互叠加加的D4小小波，，在第第三个个图形形中是是其叠叠加后后的结结果。。最后后一个个图形形所示示为该该尺度度的8个迭迭加后后的D4小小波。。1/5/202363图3在在3水平所所示尺度度中的D4小小波1/5/202364在更高的尺尺度（对应应于图1中中的4水平平）共有16个相距距为8个间间距的小波波，在5水水平共有32个相距距为4个间间距的小波波，在最高高的6水平平共有64个相距为为2个间距距的小波。。而在尺度度减小的方方向。在2水平共有有4个相距距为32个个间距的小小波。在1水平共有有2个相距距为64个个间距的小小波。0水水平仅有一一个小波．．-1水平平没有小波波仅是一个个常数水平平。每一个沿着着水平轴分分布与扩展展的小波都都取决于小小波变换的的结构，仅仅是每一个个小波的纵纵向尺寸可可以被改变变，这一点点可以被数数列a（r）（r=1-128）的对对应项所决决定。小波波变换的目目标是选择择一个原始始数据序列列f（r））（r=1-128）以代表表规定长度度的输入信信号，并将将这个序列列转换为一一个新的实实数序列a（r）（（r=1-128））。1/5/202365这个序列定定义了在某某个水平尺尺度和位置置的小波的的垂直尺寸寸，而且若若将所有小小波相加起起来能够一一点不差的的重构原始始信号。原原始序列（（必须等于于2的幂次次方)越长长，在转换换中就需要要越多的水水平。对于给定的的时间长度度、增加采采样点的数数量就意味味着增大了了描述细节节的能力。。转换中最最高的水平平就刻画了了这种细节节。方波中中陡降的边边缘对应于于分解中较较小尺度的的小波。使使用小波变变换中的局局部最大化化以探测边边缘也是一一个逐渐增增长的应用用领域。1/5/202366就目前的研研究水平而而言，最成成功的算法法是马拉特特（Mallat））算法，该该算法利用用小波的正正交性导出出各系数矩矩阵的正交交关系，从从高级到低低级逐级滤滤去信号中中的各级小小波。1/5/202367我们们采采用用下下图图并并结结合合上上面面的的小小波波分分解解式式来来介介绍绍马马拉拉特特算算法法主主要要思思想想。。1/5/202368（a））Mallat算算法法分分解解过过程程（（b））Mallat算算法法的的频频带带划划分分图图Mallat算算法法过过程程示示意意图图Mallat算算法法的的过过程程是是：：先先将将原原信信号号分分解解成成其其逼逼近近信信号号1和细细节节信信号号（（即即小小波波分分量量））1，，再再将将逼逼近近信信号号互互分分解解成其其逼逼近近信信号号2和和细细节节信信号号2，，再再将将逼逼近近信信号号2分分解解…………如此此下下去去，，即即可可得得到到原原信信号号的的所所有有小小波波分分量量，，如如下下图图a所所示示。。其其中中逼逼近近信信号号和和细细节节信信号号分分别别对对应应被被分分解解信信号号的低低频频成成分分和和高高频频成成分分，，低低频频和和高高频频的的划划分分采采用用等等分分形式式，，如如下下图图b所所示示。。以以上上过过程程是是用用迭迭代代方方法法实实现现的的。。1/5/202369马拉特算法不不直接计算积积分表达式，，而是利用小小波函数族的的正交性，从从高级到低级级滤出信号中中的各级小波波。马拉特算算法概念清楚楚、计算简便便，其在小波波分析中的地地位，相当于于傅里叶分析析中FFT算算法。1/5/2023704、小波包包分解前图中的阴影影部分表示在在对信号实施施小波分解后后，用于分析析的各级小波波的频段。可可以看到低频频时频窗窄，，频率分辨率率高；高频时时频窗宽，频频率分辨率低低，这符合普普通的原则。。但对某些特特定的信号，，人们感兴趣趣的可能只是是某一个或几几个特殊的频频段，并要求求对这些特殊殊频段的分析析足够精细，，这些频段的的频率可能是是相对高的。。对这类问题题，小波分解解就显得有所所欠缺了。1/5/202371小波包包分解解是比比小波波分解解更精精细的的一种种分解解，其其不同同之处处是对对滤出出的高高频部部分也也同样样施行行分解解，并并可一一直进进行下下去，，这种种分解解在高高频段段和低低频段段都可可达到到很精精细的的程度度，如如上图图所示示。信号经经图示示的分分解后后形成成若干干大大大小小小的““包””，图图中中阴影影部分分则表表示用用于分分析的的各个个包的的频段段。根根据需需要分分析的的信号号频段段，我我们可可以适适当选选取不不同大大小的的包来来部分分复原原原始始信号号。对对于部部分信信号分分析问问题来来说，，人们们所关关心的的主要要特征征可能能只体体现在在某一一个或或几个个包上上，因因此可可以只只注意意这几几个包包，这这在故故障诊诊断技技术中中是非非常有有用的的。1/5/202372在正交交小波波分解解过程程中，，只对对信号号的低低频成成分进进行了了递推推分解解，信信号的的高频频成分分没有有进行行进一一步分分解，，导致致高频频成分分的分分辩率率较低低，表表现为为频率率越高高，小小波分分量频频带越越宽。。小波包包分解解与正正交分分解非非常类类似，，只是是对信信号的的高频频成分分实施施了与与低频频成分分相同同的进进一步步分解解。每每次分分解相相当于于进行行低通通滤波波和高高通滤滤波，，进一一步分分解出出低频频和高高频两两部分分，这这样一一直进进行下下去，，使低低频和和高频频成分分都达达到很很精细细的程程度。。如下下图所所示。。1/5/2023731/5/202374（1）基基于小小波或小小波包分分解的状状态监测测如如前所述述，傅里里叶分析析的理论论基础是是待分析析信号的的平稳性性。对于于非平稳稳信号，，傅里叶叶分析可可能给出出虚假的的结果，，从而导导致故障障的误诊诊断。对对设备故故障诊断断问题来来说，由由于以下下原因，，使傅里里叶分析析的应用用受到限限制。1）由于于机器转转速不稳稳、负荷荷变化以以及机器器故障等等原因因产生生的冲击击、摩擦擦导致非非平稳振振动信号号的产生生。2）由于于机器各各零部件件的结构构不同，，致使振振动信号号所包含含的不同同零部件件的故障障频率分分布在不不同的频频道范围围内。特特别是当当机器隐隐藏有某某一零部部件的早早期微弱弱缺陷时时，它的的缺陷信信息被其其它零部部件的振振动信号号和随机机噪声所所淹没。。1/5/202375对于这类类问题，，小波分分析方法法具有无无可比拟拟的优点点。由于于小波分分解尤其其是小波波包分解解技术能能够将任任何信号号（平稳稳或非平平稳）分分解到一一个由小小波伸缩缩而成的的基函数数族上，，信息量量完整无无缺，在在通频范范围内得得到分布布在不同同频道内内的分解解序列，，在时域域和频域域均具有有局部化化的分析析功能。。因此，，可根据据状态监监测的需需要选取取包含所所需零部部件故障障信息的的频道序序列，进进行深层层信息处处理以查查找机器器故障源源。近年来，，小波分分析技术术在齿轮轮箱故障障诊断、、颤振分分析等方方面得到到了广泛泛的应用用。1/5/202376小波分析析的应用用举例：：[例1]：小波波分析对对微弱信信号的识识别。利利用小波波分解能能够将信信号中的的微弱信信号分离离和识别别出来，，如下图图。1/5/2023771/5/202378[例2]：小波波去噪。。如果果信号中中混有白白噪声，，可以用用小波变变换去噪噪，依据据是：用用小波分分解将信信号分解解成小波波分量，，其中主主要成分分为白噪噪声的小小波分量量与其他他小波分分量有明明显不同同的特征征，将满满足这些些特征的的小波分分量去掉掉，然后后重构信信号，就就能对原原信号消消噪，如如下图所所示。其其中s是是原信号号，d1~d5是小波分分量，s*是除噪后后的信号号，d1可以认为为是白噪噪声小波波分析。。最后需要要指出的的是，这这里只介介绍了一一维小波波变换，，还有二二维小波波变换、、高维小小波变换换。利用用二维小小波变换换可以对对图象