2018年高考数学空间几何高考真题版

...wd......wd......wd...2017年高考数学空间几何高考真题一．选择题〔共9小题〕1．如图，在以下四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，那么在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是〔〕A． B． C． D．2．圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，那么该圆柱的体积为〔〕A．π B． C． D．3．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，那么〔〕A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC4．某三棱锥的三视图如以下列图，那么该三棱锥的体积为〔〕A．60 B．30 C．20 D．105．某几何体的三视图如以下列图〔单位：cm〕，那么该几何体的体积〔单位：cm2〕是〔〕A．+1 B．+3 C．+1 D．+36．如图，正四面体D﹣ABC〔所有棱长均相等的三棱锥〕，P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，那么〔〕A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一局部后所得，那么该几何体的体积为〔〕A．90π B．63π C．42π D．36π1．某多面体的三视图如以下列图，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有假设干个是梯形，这些梯形的面积之和为〔〕A．10 B．12 C．14 D．162．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，那么异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为〔〕A． B． C． D．二．填空题〔共5小题〕8．三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．假设平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，那么球O的外表积为．9．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，那么球O的外表积为．10．一个正方体的所有顶点在一个球面上，假设这个正方体的外表积为18，那么这个球的体积为．11．由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，那么该几何体的体积为．12．如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，那么的值是．三．解答题〔共9小题〕13．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．〔1〕证明：平面PAB⊥平面PAD；〔2〕假设PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．14．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．〔1〕证明：直线BC∥平面PAD；〔2〕假设△PCD面积为2，求四棱锥P﹣ABCD的体积．15．如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．〔1〕证明：AC⊥BD；〔2〕△ACD是直角三角形，AB=BD，假设E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．16．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．〔1〕求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；〔2〕设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．〔1〕求证：PA⊥BD；〔2〕求证：平面BDE⊥平面PAC；〔3〕当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．〔Ⅰ〕求异面直线AP与BC所成角的余弦值；〔Ⅱ〕求证：PD⊥平面PBC；〔Ⅲ〕求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．19．如图，四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．〔Ⅰ〕证明：CE∥平面PAB；〔Ⅱ〕求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．20．由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥C1﹣B1CD1后得到的几何体如以下列图，四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD，〔Ⅰ〕证明：A1O∥平面B1CD1；〔Ⅱ〕设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1．21．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F〔E与A、D不重合〕分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：〔1〕EF∥平面ABC；〔2〕AD⊥AC．3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．〔1〕证明：平面PAB⊥平面PAD；〔2〕假设PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．4．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．〔1〕证明：直线CE∥平面PAB；〔2〕点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．5．如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．〔1〕证明：平面ACD⊥平面ABC；〔2〕过AC的平面交BD于点E，假设平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两局部，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．〔1〕求证：M为PB的中点；〔2〕求二面角B﹣PD﹣A的大小；〔3〕求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．7．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．〔Ⅰ〕求证：MN∥平面BDE；〔Ⅱ〕求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；〔Ⅲ〕点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．8．如图，几何体是圆柱的一局部，它是由矩形ABCD〔及其内部〕以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．〔Ⅰ〕设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；〔Ⅱ〕当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．2017年高考数学空间几何高考真题参考答案与试题解析一．选择题〔共7小题〕1．如图，在以下四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，那么在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是〔〕A． B． C． D．【解答】解：对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知B不满足题意；对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意；对于选项D，由于AB∥NQ，结合线面平行判定定理可知D不满足题意；所以选项A满足题意，应选：A．2．圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，那么该圆柱的体积为〔〕A．π B． C． D．【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，∴该圆柱底面圆周半径r==，∴该圆柱的体积：V=Sh==．应选：B．3．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，那么〔〕A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC【解答】解：法一：连B1C，由题意得BC1⊥B1C，∵A1B1⊥平面B1BCC1，且BC1⊂平面B1BCC1，∴A1B1⊥BC1，∵A1B1∩B1C=B1，∴BC1⊥平面A1ECB1，∵A1E⊂平面A1ECB1，∴A1E⊥BC1．应选：C．法二：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建设空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，那么A1〔2，0，2〕，E〔0，1，0〕，B〔2，2，0〕，D〔0，0，0〕，C1〔0，2，2〕，A〔2，0，0〕，C〔0，2，0〕，=〔﹣2，1，﹣2〕，=〔0，2，2〕，=〔﹣2，﹣2，0〕，=〔﹣2，0，2〕，=〔﹣2，2，0〕，∵•=﹣2，=2，=0，=6，∴A1E⊥BC1．应选：C．4．某三棱锥的三视图如以下列图，那么该三棱锥的体积为〔〕A．60 B．30 C．20 D．10【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥，该三棱锥的体积==10．应选：D．5．某几何体的三视图如以下列图〔单位：cm〕，那么该几何体的体积〔单位：cm2〕是〔〕A．+1 B．+3 C．+1 D．+3【解答】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3，故该几何体的体积为××π×12×3+××××3=+1，应选：A6．如图，正四面体D﹣ABC〔所有棱长均相等的三棱锥〕，P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，那么〔〕A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α【解答】解法一：如以下列图，建设空间直角坐标系．设底面△ABC的中心为O．不妨设OP=3．那么O〔0，0，0〕，P〔0，﹣3，0〕，C〔0，﹣6，0〕，D〔0，0，6〕，Q，R，=，=〔0，3，6〕，=〔，5，0〕，=，=．设平面PDR的法向量为=〔x，y，z〕，那么，可得，可得=，取平面ABC的法向量=〔0，0，1〕．那么cos==，取α=arccos．同理可得：β=arccos．γ=arccos．∵＞＞．∴α＜γ＜β．解法二：如以下列图，连接OP，OQ，OR，过点O分别作垂线：OE⊥PR，OF⊥PQ，OG⊥QR，垂足分别为E，F，G，连接DE，DF，DG．设OD=h．那么tanα=．同理可得：tanβ=，tanγ=．由可得：OE＞OG＞OF．∴tanα＜tanγ＜tanβ，α，β，γ为锐角．∴α＜γ＜β．应选：B．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一局部后所得，那么该几何体的体积为〔〕A．90π B．63π C．42π D．36π【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，V=π•32×10﹣•π•32×6=63π，应选：B．1．某多面体的三视图如以下列图，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有假设干个是梯形，这些梯形的面积之和为〔〕A．10 B．12 C．14 D．16【解答】解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个一样的梯形的面，S梯形=×2×〔2+4〕=6，∴这些梯形的面积之和为6×2=12，应选：B2．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，那么异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为〔〕A． B． C． D．【解答】解：【解法一】如以下列图，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，那么AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角〔因异面直线所成角为〔0，]〕，可知MN=AB1=，NP=BC1=；作BC中点Q，那么△PQM为直角三角形；∵PQ=1，MQ=AC，△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+1﹣2×2×1×〔﹣〕=7，∴AC=，∴MQ=；在△MQP中，MP==；在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP===﹣；又异面直线所成角的范围是〔0，]，∴AB1与BC1所成角的余弦值为．【解法二】如以下列图，补成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，求∠BC1D即可；BC1=，BD==，C1D=，∴+BD2=，∴∠DBC1=90°，∴cos∠BC1D==．二．填空题〔共5小题〕8．三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．假设平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，那么球O的外表积为36π．【解答】解：三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，假设平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为r，可得，解得r=3．球O的外表积为：4πr2=36π．故答案为：36π．9．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，那么球O的外表积为14π．【解答】解：长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，可知长方体的对角线的长就是球的直径，所以球的半径为：=．那么球O的外表积为：4×=14π．故答案为：14π．10．一个正方体的所有顶点在一个球面上，假设这个正方体的外表积为18，那么这个球的体积为．【解答】解：设正方体的棱长为a，∵这个正方体的外表积为18，∴6a2=18，那么a2=3，即a=，∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，∴正方体的体对角线等于球的直径，即a=2R，即R=，那么球的体积V=π•〔〕3=；故答案为：．11．由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，那么该几何体的体积为2+．【解答】解：由长方体长为2，宽为1，高为1，那么长方体的体积V1=2×1×1=2，圆柱的底面半径为1，高为1，那么圆柱的体积V2=×π×12×1=，那么该几何体的体积V=V1+2V1=2+，故答案为：2+．12．如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，那么的值是．【解答】解：设球的半径为R，那么球的体积为：R3，圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．那么==．故答案为：．三．解答题〔共9小题〕13．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．〔1〕证明：平面PAB⊥平面PAD；〔2〕假设PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．【解答】证明：〔1〕∵在四棱锥P﹣ABCD中，∠BAP=∠CDP=90°，∴AB⊥PA，CD⊥PD，又AB∥CD，∴AB⊥PD，∵PA∩PD=P，∴AB⊥平面PAD，∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．解：〔2〕设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连结PO，∵PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，平面PAB⊥平面PAD，∴PO⊥底面ABCD，且AD==，PO=，∵四棱锥P﹣ABCD的体积为，∴VP﹣ABCD=====，解得a=2，∴PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=2，PO=，∴PB=PC==2，∴该四棱锥的侧面积：S侧=S△PAD+S△PAB+S△PDC+S△PBC=+++==6+2．14．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．〔1〕证明：直线BC∥平面PAD；〔2〕假设△PCD面积为2，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】〔1〕证明：四棱锥P﹣ABCD中，∵∠BAD=∠ABC=90°．∴BC∥AD，∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴直线BC∥平面PAD；〔2〕解：四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．设AD=2x，那么AB=BC=x，CD=，O是AD的中点，连接PO，OC，CD的中点为：E，连接OE，那么OE=，PO=，PE==，△PCD面积为2，可得：=2，即：，解得x=2，PE=2．那么VP﹣ABCD=×〔BC+AD〕×AB×PO==4．15．如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．〔1〕证明：AC⊥BD；〔2〕△ACD是直角三角形，AB=BD，假设E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．【解答】证明：〔1〕取AC中点O，连结DO、BO，∵△ABC是正三角形，AD=CD，∴DO⊥AC，BO⊥AC，∵DO∩BO=O，∴AC⊥平面BDO，∵BD⊂平面BDO，∴AC⊥BD．解：〔2〕法一：连结OE，由〔1〕知AC⊥平面OBD，∵OE⊂平面OBD，∴OE⊥AC，设AD=CD=，那么OC=OA=1，∴E是线段AC垂直平分线上的点，∴EC=EA=CD=，由余弦定理得：cos∠CBD==，即，解得BE=1或BE=2，∵BE＜＜BD=2，∴BE=1，∴BE=ED，∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，∵BE=ED，∴S△DCE=S△BCE，∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1．法二：设AD=CD=，那么AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，∴BO==，∴BO2+DO2=BD2，∴BO⊥DO，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建设空间直角坐标系，那么C〔﹣1，0，0〕，D〔0，0，1〕，B〔0，，0〕，A〔1，0，0〕，设E〔a，b，c〕，，〔0≤λ≤1〕，那么〔a，b，c﹣1〕=λ〔0，，﹣1〕，解得E〔0，，1﹣λ〕，∴=〔1，〕，=〔﹣1，〕，∵AE⊥EC，∴=﹣1+3λ2+〔1﹣λ〕2=0，由λ∈[0，1]，解得，∴DE=BE，∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，∵DE=BE，∴S△DCE=S△BCE，∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1．16．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．〔1〕求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；〔2〕设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．【解答】解：〔1〕∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：V=S△ABC×AA1===20．〔2〕连结AM，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5，M是BC中点，∴AA1⊥底面ABC，AM==，∴∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，tan∠A1MA===，∴直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan．17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．〔1〕求证：PA⊥BD；〔2〕求证：平面BDE⊥平面PAC；〔3〕当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．【解答】解：〔1〕证明：由PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，且AB∩BC=B，可得PA⊥平面ABC，由BD⊂平面ABC，可得PA⊥BD；〔2〕证明：由AB=BC，D为线段AC的中点，可得BD⊥AC，由PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，可得平面PAC⊥平面ABC，又平面ABC∩平面ABC=AC，BD⊂平面ABC，且BD⊥AC，即有BD⊥平面PAC，BD⊂平面BDE，可得平面BDE⊥平面PAC；〔3〕PA∥平面BDE，PA⊂平面PAC，且平面PAC∩平面BDE=DE，可得PA∥DE，又D为AC的中点，可得E为PC的中点，且DE=PA=1，由PA⊥平面ABC，可得DE⊥平面ABC，可得S△BDC=S△ABC=××2×2=1，那么三棱锥E﹣BCD的体积为DE•S△BDC=×1×1=．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．〔Ⅰ〕求异面直线AP与BC所成角的余弦值；〔Ⅱ〕求证：PD⊥平面PBC；〔Ⅲ〕求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．【解答】解：〔Ⅰ〕如图，由AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．在Rt△PDA中，由，得，故．所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为．证明：〔Ⅱ〕因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD．又因为BC∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．解：〔Ⅲ〕过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，那么DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，故BF=AD=1，由，得CF=BC﹣BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得．所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．19．如图，四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．〔Ⅰ〕证明：CE∥平面PAB；〔Ⅱ〕求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．【解答】证明：〔Ⅰ〕取AD的中点F，连结EF，CF，∵E为PD的中点，∴EF∥PA，在四边形ABCD中，BC∥AD，AD=2DC=2CB，F为中点，∴CF∥AB，∴平面EFC∥平面ABP，∵EC⊂平面EFC，∴EC∥平面PAB．解：〔Ⅱ〕连结BF，过F作FM⊥PB于M，连结PF，∵PA=PD，∴PF⊥AD，推导出四边形BCDF为矩形，∴BF⊥AD，∴AD⊥平面PBF，又AD∥BC，∴BC⊥平面PBF，∴BC⊥PB，设DC=CB=1，那么AD=PC=2，∴PB=，BF=PF=1，∴MF=，又BC⊥平面PBF，∴BC⊥MF，∴MF⊥平面PBC，即点F到平面PBC的距离为，∵MF=，D到平面PBC的距离应该和MF平行且相等，为，E为PD中点，E到平面PBC的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线，∴E到平面PBC的距离为，在，由余弦定理得CE=，设直线CE与平面PBC所成角为θ，那么sinθ==．20．由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥C1﹣B1CD1后得到的几何体如以下列图，四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD，〔Ⅰ〕证明：A1O∥平面B1CD1；〔Ⅱ〕设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1．【解答】证明：〔Ⅰ〕取B1D1中点G，连结A1G、CG，∵四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，∴四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥C1﹣B1CD1后，A1GOC，∴四边形OCGA1是平行四边形，∴A1O∥CG，∵A1O⊄平面B1CD1，CG⊂平面B1CD1，∴A1O∥平面B1CD1．〔Ⅱ〕四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥C1﹣B1CD1后，BDB1D1，∵M是OD的中点，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，∴BD⊥A1E，∵四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，∴AO⊥BD，∵M是OD的中点，E为AD的中点，∴EM⊥BD，∵A1E∩EM=E，∴BD⊥平面A1EM，∵BD∥B1D1，∴B1D1⊥平面A1EM，∵B1D1⊂平面B1CD1，∴平面A1EM⊥平面B1CD1．21．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F〔E与A、D不重合〕分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：〔1〕EF∥平面ABC；〔2〕AD⊥AC．【解答】证明：〔1〕因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，所以AB∥EF，又因为EF⊊平面ABC，AB⊆平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；〔2〕在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，那么EG∥AC，因为BC⊥BD，FG∥BC，所以FG⊥BD，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，故AD⊥AC．3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．〔1〕证明：平面PAB⊥平面PAD；〔2〕假设PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】〔1〕证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；〔2〕解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由〔1〕知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，那么四边形ABCD为矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，那么AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建设空间直角坐标系，那么：D〔〕，B〔〕，P〔0，0，〕，C〔〕．，，．设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y=1，得．∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB，那么为平面PAB的一个法向量，．∴cos＜＞==．由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．4．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．〔1〕证明：直线CE∥平面PAB；〔2〕点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．【解答】〔1〕证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以EFAD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥AD，∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，∴直线CE∥平面PAB；〔2〕解：四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，那么AB=BC=1，OP=，∴∠PCO=60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°，可得：BN=MN，CN=MN，BC=1，可得：1+BN2=BN2，BN=，MN=，作NQ⊥AB于Q，连接MQ，所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ==，二面角M﹣AB﹣D的余弦值为：=．5．如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．〔1〕证明：平面ACD⊥平面ABC；〔2〕过AC的平面交BD于点E，假设平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两局部，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．【解答】〔1〕证明：如以下列图，取AC的中点O，连接BO，OD．∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC．△ABD与△CBD中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．∵△ACD是直角三角形，∴AC是斜边，∴∠ADC=90°．∴DO=AC．∴DO2+BO2=AB2=BD2．∴∠BOD=90°．∴OB⊥OD．又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD．又OB⊂平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC．〔2〕解：设点D，B到平面ACE的距离分别为hD，hE．那么=．∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两局部，∴===1．∴点E是BD的中点．建设如以下列图的空间直角坐标系．不妨取AB=2．那么O〔0，0，0〕，A〔1，0，0〕，C〔﹣1，0，0〕，D〔0，0，1〕，B〔0，，0〕，E．=〔﹣1，0，1〕，=，=〔﹣2，0，0〕．设平面ADE的法向量为=〔x，y，z〕，那么，即，取=．同理可得：平面ACE的法向量为=〔0，1，〕．∴cos===﹣．∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为．6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．〔1〕求证：M为PB的中点；〔2〕求二面角B﹣PD﹣A的大小；〔3〕求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．【解答】〔1〕证明：如图，设AC∩BD=O，∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM，∵PD∥平面MAC，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM，∴PD∥OM，那么，即M为PB的中点；〔2〕解：取AD中点G，∵PA=PD，∴PG⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PG⊥平面ABCD，那么PG⊥AD，连接OG，那么PG⊥OG，由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，那么OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，由PA=PD=，AB=4，得D〔2，0，0〕，A〔﹣2，0，0〕，P〔0，0，〕，C〔2，4，0〕，B〔﹣2，4，0〕，M〔﹣1，2，〕，，．设平面PBD的一个法向量为，那么由，得，取z=，得．取平面PAD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣PD﹣A的大小为60°；〔3〕解：，平面BDP的一个法向量为．∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos＜＞|=||=||=．7．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，