弹性地基梁理论

会计学1弹性地基梁理论3.1概述弹性地基梁：

是指搁置在具有一定弹性的地基上、各点与地基紧密相贴的梁。

例如：铁路枕木、钢筋混凝土条形基础梁等等。通过这种梁将作用在它上面的荷载，分不到较大面积的地基上，即使承载力较低的地基，能承受较大的荷载，又使梁的变形减小，提高刚度降低内力。地下建筑衬砌的计算，与弹性地基梁理论有密切的关系。第1页/共57页●弹性地基梁理论：

弹性地基梁是超静定结构，分布于梁上的地基反力大小及变化规律，与作用于梁上的荷载、梁的几何形状及尺寸、材料及地基的物理力学性质有关，单用静力平衡条件是不能求得的，实用上常采用一定的假定，以资简化。目前，计算弹性地基梁的理论主要有以下两种。3.1概述第2页/共57页一、以温克尔假定为基础的局部变形理论。认为地基反力的大小仅与该点的地基沉降量成正比。按照这个假定来计算弹性地基梁，是将地基看成为无限多个各自孤立的弹簧，地基沉降只发生在梁的底面范围内（实际上，临近梁四周的地基也发生沉陷）。另外，地基反力与其沉陷量间的比例系数，是与地基类别、受压面积大小、加力的大小、加力的方向与次数有关，并不是常数，很难取得准确值。所以，一般说来，温克尔假定不能很好的符合实际情况。但当硬地层上有一层较薄的松软土层，而梁放在松软土层上时，温克尔假定比较符合实际。3.1概述第3页/共57页

二、把地基假定为半无限弹性体的共同变形理论。所谓半无限弹性体，是指地基表面为无限平面，梁搁置在上面，表面以下的地基为均质、各向同性的无线弹性体。地基的沉降量，用弹性力学方法计算。地基反力，根据梁与地基的变形协调条件求的。采用这个假定，地基某点的沉降量不仅与该点的压力有关，与其他点的压力也有关；地基沉陷不仅发生在梁的底面范围，也发生在临近四周的范围内。同时反映地基性质的是用它的弹性模量和泊松比，他们与受压面积的大小和加力的大小无关。所以这个假定比温克尔假定能更好的反映实际情况。3.1概述第4页/共57页

上述两种理论，各有优缺点，工程上都在使用，但在计算上局部变形理论更简便些。由于目前对作用在衬砌结构上的主要荷载——围岩压力还没有完全认识，取值不可能准确，因此，在衬砌结构计算中，多采用局部变形理论计算围岩弹性抗力，使计算简化。此外，某些工程问题，如圆柱水池、穹顶结构，尚可比拟于局部变形理论进行求解。3.1概述第5页/共57页3.2弹性地基梁的挠度曲线微分

方程式及其参数求解

在弹性地基梁局部变形理论中，除了采用温克尔假外，还认为梁的变形与地基的变形是协调的，即梁底面与地基表面始终是相贴的，没有缝隙，地基的沉陷或隆起与梁的挠度是处处相等的。另外，由于梁与地基间的摩擦力对计算结果影响不大，可略去不计。梁的高跨比一般很小，其变形符合平面假定，因此，在分析中可直接引用材料力学有关的梁理论的若干结论。下面推导弹性地基梁局部变形理论的计算公式。第6页/共57页

设有长为l、宽为b的弹性地基等裁面宣粱，梁上作用有任意荷裁，其坐标、荷裁及内力的正方向如图5—1所示。3.2弹性地基梁的挠度曲线微分

方程式及其参数求解第7页/共57页

在以下讨论中，取粱变形前的左端截面中心为坐标原点，x轴向右为正，y轴向下为正。分布荷载q(x)及集中荷载p向下为正，集中力偶荷载M顺时针向为正。弯矩Mx。使梁上边缘受拉为正，剪力：q(x)使微段反时针转为正。挠度(沉陷)y(x)向下为正，角变位⊙x反时针转为正。地基反力p(x)向上为正。3.2弹性地基梁的挠度曲线微分

方程式及其参数求解第8页/共57页

为建立挠度曲线微分方程式，在有分布荷裁q(x)的区段，裁取一微段dx来研究，其受力图如图5—1所示。由微段平衡条件得：根据温克尔假定及地基与粱变形协调条件，地基反力p(x)与该点梁酌挠度成正比，即3.2弹性地基梁的挠度曲线微分

方程式及其参数求解第9页/共57页式中p(x)——梁单位长度上的地基反力(公斤／厘米)，

b——梁的宽度(厘米)，

k——比例系数，在地下建筑中称围岩弹性抗力系数

(公斤／厘米3。)，其物理意义为使单位面积地基沉陷单位深度时所需要的力。各种围岩的弹性抗力系数，交附表5—3及附表5—4；

y(x)——梁的挠度(厘米)。3.2弹性地基梁的挠度曲线微分

方程式及其参数求解第10页/共57页

将公式(5—1)代入微段平衡方程式，并赂去高阶微量后得由材料力学知，梁的弯矩与其挠度间有微分关系3.2弹性地基梁的挠度曲线微分

方程式及其参数求解第11页/共57页

将公式(5—3)代入公式(5—2)，并利用公式(5—4)后，得弹性地基梁的挠度曲线微分方程式中α——弹性地基梁的弹性特征值(1／厘米）

E——梁材料的弹性模量(公斤／厘米2)I——梁截面惯性矩(厘米4)。方程式(5—5)是一个四阶常系数非齐次线性常微分式，下面将根据荷裁性质及分布范围，讨论它的解。3.2弹性地基梁的挠度曲线微分

方程式及其参数求解第12页/共57页当梁跨间无荷载时q(x)＝p＝M＝o，梁的变形及内力由梁的端效应引起，例如，图5—2所示情况。这时梁的挠度曲线由微分方程式(5—5)对应的齐次方程式求得3.2弹性地基梁的挠度曲线微分

方程式及其参数求解第13页/共57页

设方程式(5—5a)的解为yx＝er(ay)(其中r为常数)，代人方程式(5—5。)后，得特征方程式它的四个根是两对共轭复数因此，齐次方程式(5—5a)的四个线性无关的解为，3.2弹性地基梁的挠度曲线微分

方程式及其参数求解第14页/共57页当利用欧拉公式及双曲线函数定义时，即这四个解可写为3.2弹性地基梁的挠度曲线微分

方程式及其参数求解第15页/共57页

§2.2.1梁跨间无荷载时的解这样齐次方程式(5—5a)的通解为式中C1~C4为积分常数由梁两端的四个边界条件确定。将通解yx代入公式(5—3)及(5—4)，并利用公式(5—6)及下列微分关系后得第16页/共57页

§2.2.1梁跨间无荷载时的解

§2.2.1梁跨间无荷载时的解不难求得路问无荷载时，梁的变位及内力为为了使用方便，用梁的起始端的初参数(物理量)替换式中的积分常数C1l—C4,如图5—2所示，取梁左端：X＝o处的挠度y。、角变位Θ。弯矩M。及剪力Q。为初参数。那么，根据这些条化并注意到：x=0时、Ф1＝1，Ф2=Ф3=Ф4=0，从公式(5—10)求得第17页/共57页

§2.2.1梁跨间无荷载时的解

§2.2.1梁跨间无荷载时的解将C1l—C4代入公式(5—10)，得梁跨间无荷哉时，变位及内力的初参数解为：第18页/共57页

3.3

梁跨间有荷载时的解第19页/共57页

3.3

梁跨间有荷载时的解首先讨论集中力P的影响:梁段上荷载挠度曲线方程:显然C点以右的挠度除初参数y。、Θ。、M。及Q。的影响按上式考虑外，还应加上因P的影响产生的附加项△yx。第20页/共57页集中力P对其作用点c以右部分的挠度影响，正如在C点增加一个初参致p时(对C点以右部分而言)所产生的挠度。考虑到这时的坐标原点应为x=ap，则P对其作用点C以右部分挠度影响的附加项为：或简写为

3.3

梁跨间有荷载时的解第21页/共57页同理，对于集中力偶M作用点D以右的部分，应考虑以D点为坐标原点增加初参数－M后的挠度影响附加项．即

3.3

梁跨间有荷载时的解第22页/共57页

分布荷载q(x)对其以右部分的挠度影响附加项应分为两种情况讨论。一是在荷载分布范围EF内，二是在荷载分布范围以外，分别在两区段]上积分，求得分布荷载q(x)在该二范围内引起的挠度附加项为：

3.3

梁跨间有荷载时的解第23页/共57页因此,梁跨间有荷载的挠曲线方程应为:

3.3

梁跨间有荷载时的解第24页/共57页运用相同的方法可导得各段角变位、弯矩及剪力的附加项。将它们汇总，最后得弹性地基等截面直梁的变位及内力一般公式为：

3.3

梁跨间有荷载时的解第25页/共57页第26页/共57页式中y。Q。——由边界条件确定的初参数，意义同前，

am,ap——集中力偶M及集中力P的作用点坐标；

3.3

梁跨间有荷载时的解第27页/共57页例:

局部梯形荷载，有

3.3

梁跨间有荷载时的解第28页/共57页当利用分部积分

3.3

梁跨间有荷载时的解第29页/共57页

3.3

梁跨间有荷载时的解第30页/共57页

3.3

梁跨间有荷载时的解第31页/共57页（F）

3.3

梁跨间有荷载时的解第32页/共57页（F）

3.3

梁跨间有荷载时的解第33页/共57页

对于全跨梯形荷载弹性地基等截面直梁

3.3

梁跨间有荷载时的解第34页/共57页第35页/共57页

3.4弹性地基短梁、长梁及刚性梁

在概述中我们提到，当地基梁的刚度很大，地基抗力近似为直线分布，地基梁的计算可退化为静定问题计算。

为了计算方便，我们将地基梁分为刚性梁、柔性梁（长梁）和弹性梁（短梁）三种。

定义换算长度：

λ=αl

第36页/共57页

3.4弹性地基短梁、长梁及刚性梁

短梁(又称有限长梁、弹性梁)：

l＜λ＜2.75

一般弹性地基梁，按上述方法计算第37页/共57页刚性梁：λ＜1

可认为梁是绝对刚性的，即EI→∞，刚性梁的地基反力呈直线分布，其变位及内力可由静力平衡条件求得。

也可以把刚性梁视为短梁的特例，直接由短粱导得计算公式。此时取α→0，作极限运算。因为

3.4弹性地基短梁、长梁及刚性梁第38页/共57页则

3.4弹性地基短梁、长梁及刚性梁第39页/共57页式{……}内为正时才值取，为负时舍去

3.4弹性地基短梁、长梁及刚性梁第40页/共57页长梁：λ>=2．75无限长梁：若荷载作用点距梁两端的换算长度均>=2．75

，可忽略该荷载对梁端的影响，这类梁称为无限长梁。无限长梁：若荷载作用点仅距梁一端的换算长度>=2．75

时，可忽略该荷载对这一端的影响，而对另一端的影响

不能忽略，这类梁称为半无限长梁。无限长梁可化为两个半无限长粱，因此，我们只讨论半无限长梁。

3.4弹性地基短梁、长梁及刚性梁第41页/共57页由于作用在梁上的荷载，组合方式甚多，计算上应分别对待，在此不作详细讨论，仅讨论与衬砌计算有关的全跨梯形荷载情形。

3.4弹性地基短梁、长梁及刚性梁第42页/共57页

3.4弹性地基短梁、长梁及刚性梁第43页/共57页

3.4弹性地基短梁、长梁及刚性梁式中因此：第44页/共57页

3.4弹性地基短梁、长梁及刚性梁第45页/共57页式中

3.4弹性地基短梁、长梁及刚性梁第46页/共57页

3.5弹性地基梁解的应用例1第47页/共57页

3.