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会计学1常微分方程(王高雄)第三版3.3考察的解对初值的一些基本性质解对初值的连续性解对初值和参数的连续性解对初值的可微性内容:第1页/共26页yxG图例分析(见右)解可看成是关于的三元函数满足

解对初值的对称性:前提解存在唯一例:初值问题的解不单依赖于自变量,同时也依赖于初值.初值变动,相应的初值问题的解也将随之变动.…………

Q:当初值发生变化时,对应的解是如何变化的?

当初始值微小变动时,方程的解变化是否也是很小？第2页/共26页证明则由解的唯一性知,即此解也可写成:且显然有:

解对初值的对称性:前提解存在唯一,)()1.3(100xyxy值的解存在区间内任取一满足在=第3页/共26页一、解对初值的连续性定义设初值问题1.解对初值的连续依赖性初值问题第4页/共26页引理

如果函数于某域G内连续，且关于y满足利普希茨条件（利普希茨常数为L），则对方程的任意两个解及,在它们的公共存在区间内成立着不等式.其中为所考虑区间内的某一值。第5页/共26页2定理1(解对初值的连续依赖性定理)条件:

I.

在G内连续且关于满足局部Lips.条件;

II.

是(1)满足的解,定义区间为[a,b].结论:

对

,

使得当时,方程(1)过点的解在[a,b]上也有定义,且方程第6页/共26页0思路分析：第7页/共26页记积分曲线段S：显然S是xy平面上的有界闭集.第一步:找区域D,使,且在D上满足Lips.条件.yxG(见下图)由已知条件,对,存在以它为中心的圆,使在其内满足Lips.条件,利普希茨常数为.根据有限覆盖定理,存在N,当时,有

对,记则以为半径的圆,当其圆心从S的左端点沿S运动到右端点时,扫过的区域即为符合条件的要找区域Dba第8页/共26页0第9页/共26页0第二步:证明在[a,b]上有定义.第10页/共26页注：饱和解反证(引理)对连续令从而，可再延拓。第11页/共26页第三步:证明第12页/共26页根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性,显然有:3定理2(解对初值的连续性定理)条件:

在G内连续且关于满足局部Lips.条件;方程结论:在它的存在范围内是连续的.,作为的函数第13页/共26页二、解对初值的可微性第14页/共26页1解对初值和参数的连续依赖定理,,,),()1.3(),,,(,),,(,,),,(000000000bxabxayxyxxyGyxLipschitzyGGyxf££££=Î其中义上有定在区间的解通过点方程条件局部满足内一致地关于且在连续在区域设lllljll为第15页/共26页2解对初值和参数的连续性定理3解对初值可微性定理.,,),,()1.3(,),(0000在范围内是连续可微的的函数在它们的存作为的解则方程内连续都在区域以及若函数yxxyxxyGyfyxfj=¶¶第16页/共26页证明因此,解对初值的连续性定理成立,即第17页/共26页即和于是第18页/共26页设即是初值问题的解,则第19页/共26页的解,不难求得根据解对初值和参数的连续性定理第20页/共26页即和于是第

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