D连续性间断点等习题课

会计学1D连续性间断点等习题课continue若在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数

.例如,在上连续.(有理整函数)又如,

有理分式函数在其定义域内连续.在闭区间上的连续函数的集合记作只要都有第1页/共45页对自变量的增量有函数的增量左连续右连续当时,有函数在点连续有下列等价命题:

第2页/共45页例.

证明函数在内连续.证:即这说明在内连续.同样可证:函数在内连续.第3页/共45页在在二、函数的间断点(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一,函数f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点

.在无定义

;第4页/共45页间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点

.为跳跃间断点

.为无穷间断点

.为振荡间断点

.第5页/共45页为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如:第6页/共45页显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.第7页/共45页P65题*8

提示:

作业

P654;5第8页/共45页一、连续函数的运算法则第九节二、初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性

第一章

第9页/共45页定理2.

连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.在其定义域内连续一、连续函数的运算法则定理1.

在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明)商(分母不为0)

运算,结果仍是一个在该点连续的函数.例如,例如,在上连续单调递增，其反函数(递减)(证明略)在[1,1]上也连续单调(递减)递增.第10页/共45页定理3.

连续函数的复合函数是连续的.分析:

设函数于是故复合函数且即第11页/共45页例如,是由连续函数链因此在上连续.复合而成,第12页/共45页例1.设均在上连续,证明函数也在上连续.证:根据连续函数运算法则,可知也在上连续.第13页/共45页二、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如,的连续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为的定义域为因此它无连续点而第14页/共45页例2.

求解:原式例3.

求解:

令则原式说明:

由此可见当时,有第15页/共45页例4.

求解:原式说明:

若则有第16页/共45页练习.

设解:讨论复合函数的连续性.故此时连续;而故x=1为第一类间断点.在点x=1

不连续,第17页/共45页第十节一、最值定理二、介值定理*三、一致连续性闭区间上连续函数的性质

第一章

第18页/共45页注意:

若函数在开区间上连续,结论不一定成立.一、最值定理定理1.在闭区间上连续的函数即:设则使值和最小值.或在闭区间内有间断

在该区间上一定有最大(证明略)点

,第19页/共45页例如,无最大值和最小值也无最大值和最小值又如,

第20页/共45页二、介值定理由定理1可知有证:

设上有界.定理2.

(零点定理)至少有一点且使(证明略)推论

在闭区间上连续的函数在该区间上有界.

第21页/共45页定理3.(

介值定理)设且则对A

与B

之间的任一数C,一点证:

作辅助函数则且故由零点定理知,至少有一点使即推论:在闭区间上的连续函数使至少有必取得介于最小值与最大值之间的任何值.第22页/共45页例.证明方程一个根.证:显然又故据零点定理,至少存在一点使即说明:内必有方程的根;取的中点内必有方程的根;可用此法求近似根.二分法在区间内至少有则则第23页/共45页*三.一致连续性已知函数在区间

I

上连续,即:一般情形,就引出了一致连续的概念.定义:对任意的都有在I

上一致连续.显然:第24页/共45页例如,但不一致连续.（证明在最后一页）定理4.上一致连续.思考:P74题*7提示:设存在,作辅助函数显然第25页/共45页内容小结1左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式第26页/共45页

内容小结2.

基本初等函数在定义区间内连续连续函数的四则运算结果仍连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续

初等函数在定义区间内连续说明:

分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性.第27页/共45页内容小结3.在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4.当时,使必存在上有界;在在第28页/共45页练习1.讨论函数x=2是第二类无穷间断点.间断点的类型.2.设时提示:3.P65题3为连续函数.答案:x=1是第一类可去间断点,第29页/共45页4.

续?反例

x

为有理数

x

为无理数处处间断,处处连续.反之是否成立?

作业P693(5),(6),(7);4(4)，(6);

6提示:“反之”不成立.第30页/共45页1.

任给一张面积为A

的纸片(如图),证明必可将它思考一刀剪为面积相等的两片.提示:建立坐标系如图.则面积函数因故由介值定理可知:第31页/共45页则证明至少存在使提示:

令则易证2.

设一点第32页/共45页3.

确定函数间断点的类型.解:

间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.第33页/共45页例如,但不一致连续.因为取点则可以任意小但这说明在(0,1]上不一致连续.思考:P74题*7提示:设存在,作辅助函数显然第34页/共45页二、连续与间断一、函数三、极限习题课函数与极限

第一章

第35页/共45页思考与练习1.下列各组函数是否相同?为什么?相同相同相同第36页/共45页2.

已知,求解:3.

设求解:第37页/共45页4.

设函数在x=0连续,则

a=

,b=

.提示:第38页/共45页有无穷间断点及可去间断点解:为无穷间断点,所以为可去间断点,极限存在5.

设函数试确定常数a

及b.第39页/共45页6.

无穷小常用等价无穷小:

两个重要极限或注:

代表相同的表达式第40页/共45页6.

求极限：提示:无穷小有界第41页/共45页7.

确定常数a,b,

使解:原式可变形为故于是而第42页/共45页