D格林公式及其应用

会计学1D格林公式及其应用证明:1)若D既是X-型区域,又是

Y-

型区域,且则定理1第1页/共34页即同理可证①②①、②两式相加得:定理1第2页/共34页2)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割为有限个上述形式的区域,如图证毕定理1第3页/共34页推论:格林公式例如,所围面积定理1正向闭曲线L所围区域D的面积椭圆第4页/共34页例1

设L是一条分段光滑的闭曲线,证明证则利用格林公式,得

令第5页/共34页例2其中L为上半从O(0,0)到A(4,0).解它与L所围原式圆周区域为D,则计算为了使用格林公式,添加辅助线段第6页/共34页例3其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解设L所围区域为D,由格林公式知计算令第7页/共34页在D内作圆周取逆时针方向,,对区域应用格记L和

l¯

所围的区域为林公式,得第8页/共34页例4其中D是以O(0,0),A(1,1),

B(0,1)为顶点的三角形闭域.解,则利用格林公式,有计算令第9页/共34页二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理2在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线L,有(2)对D中任一分段光滑曲线

L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关,函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即设D是单连通域

,只与起止点有关.第10页/共34页(1)沿D中任意光滑闭曲线

L,有(2)对D中任一分段光滑曲线

L,曲线积分与路径无关,只与起止点有关.说明:证明(1)(2)设为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1))定理2积分与路径无关时,曲线积分可记为第11页/共34页(2)对D中任一分段光滑曲线

L,曲线积分(3)与路径无关,只与起止点有关.在D内是某一函数的全微分,即证明(2)(3)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B(x,y),与路径无关,有函数定理2第12页/共34页(4)在D内每一点都有(3)在D内是某一函数的全微分,即证明

(3)

(4)设存在函数

u(x,y)使得则P,Q在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有定理2第13页/共34页证明

(4)(1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得所围区域为证毕(1)沿D中任意光滑闭曲线L,有(4)在D内每一点都有定理2第14页/共34页说明:根据定理2,若在某区域D内则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求du=Pdx+Qdy在域D内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;定理2第15页/共34页4)若已知du=

Pdx+Qdy,则对D内任一分段光滑曲定理2线AB,有注:

此式称为曲线积分的基本公式(P211定理4).

它类似于微积分基本公式:第16页/共34页例5是某个函数的全微分,并求出这个函数.证则由定理2可知,存在函数u(x,y)使

验证

设第17页/共34页例6在右半平面(x>0)内存在原函数,并求出它.证则由定理2

可知存在原函数

验证

令第18页/共34页或第19页/共34页

例7其中为抛物线上从到的一段弧．在整个所以积分解面内都成立，与路径无关．故有计算因为第20页/共34页例8作用下沿曲线L:由移动到求力场所作的功W解令则有可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.设质点在力场第21页/共34页思考:取圆弧为什么？注意,本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关!转内容小结积分路径是否可以取第22页/共34页判别:

P,Q

在某单连通域D内有连续一阶偏导数,③为全微分方程则求解步骤:方法1凑微分法;方法2利用积分与路径无关的条件.1.求原函数

u(x,y)2.由du=0知通解为

u(x,y)=C.*三、全微分方程则称为全微分方程.③第23页/共34页例9.求解解:因为故这是全微分方程.则有因此方程的通解为法1第24页/共34页法2此全微分方程的通解为,则有两边对y求导得④⑤由④得与⑤比较得因此方程的通解为第25页/共34页例10.求解解:∴这是一个全微分方程.用凑微分法求通解.将方程改写为即故原方程的通解为或第26页/共34页思考如何解方程这不是一个全微分方程,就化成例9的方程.使为全微分方程,在简单情况下,可凭观察和经验根据微分倒推式得到为原方程的积分因子.但若在方程两边同乘注:若存在连续可微函数积分因子.第27页/共34页内容小结1.格林公式2.等价条件在

D

内与路径无关.在

D

内有对D

内任意闭曲线L有在D

内有设P,Q

在D

内具有一阶连续偏导数,则有为全微分方程第28页/共34页思考与练习1.设且都取正向,问下列计算是否正确?提示:第29页/共34页2.设提示:第四节第30页/共34页

练习题1

从点依逆时针的半圆,计算解利用格林公式.原式=到点设

C

为沿添加辅助线如图,第31页/共34页2.

质点M沿着以AB为直径的半圆,从A(1,2)运动到点B(3,4),到原点的距离,解故所求功为锐角,其方向垂直于OM,且与