D定积分几何应用

会计学1D定积分几何应用例1.

计算两条抛物线在第一象限所围所围图形的面积.解:

由得交点机动目录上页下页返回结束第1页/共50页例2.

计算抛物线与直线的面积.解:

由得交点所围图形为简便计算,选取

y

作积分变量,则有机动目录上页下页返回结束第2页/共50页例3.求椭圆解:

利用对称性,所围图形的面积.有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当a=b

时得圆面积公式机动目录上页下页返回结束第3页/共50页一般地,当曲边梯形的曲边由参数方程

给出时,按顺时针方向规定起点和终点的参数值则曲边梯形面积机动目录上页下页返回结束第4页/共50页例4.求由摆线的一拱与x

轴所围平面图形的面积.解:机动目录上页下页返回结束第5页/共50页2.极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为机动目录上页下页返回结束第6页/共50页对应

从0变例5.计算阿基米德螺线解:点击图片任意处播放开始或暂停机动目录上页下页返回结束到2

所围图形面积.第7页/共50页例6.计算心形线所围图形的面积.解:(利用对称性)心形线目录上页下页返回结束第8页/共50页1/18/2023心形线(外摆线的一种)即点击图中任意点动画开始或暂停

尖点:

面积:

弧长:参数的几何意义第9页/共50页例7.

计算心形线与圆所围图形的面积.解:

利用对称性,所求面积机动目录上页下页返回结束第10页/共50页例8.

求双纽线所围图形面积.解:

利用对称性,则所求面积为思考:用定积分表示该双纽线与圆所围公共部分的面积.机动目录上页下页返回结束答案:第11页/共50页二、平面曲线的弧长定义:

若在弧

AB

上任意作内接折线,当折线段的最大边长→0时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧AB

的弧长,即并称此曲线弧为可求长的.定理:

任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)机动目录上页下页返回结束则称第12页/共50页(1)曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长(P168)机动目录上页下页返回结束第13页/共50页(2)曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长机动目录上页下页返回结束第14页/共50页(3)曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长则得弧长元素(弧微分):(自己验证)机动目录上页下页返回结束第15页/共50页例9.

两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量,成悬链线.求这一段弧长.解:机动目录上页下页返回结束下垂悬链线方程为第16页/共50页例10.

求连续曲线段解:的弧长.机动目录上页下页返回结束第17页/共50页例11.

计算摆线一拱的弧长.解:机动目录上页下页返回结束第18页/共50页例12.

求阿基米德螺线相应于0≤≤2一段的弧长.解:(P349公式39)小结目录上页下页返回结束第19页/共50页三、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x

轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为机动目录上页下页返回结束上连续,第20页/共50页特别,当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕y

轴旋转一周围成的立体体积时,有机动目录上页下页返回结束第21页/共50页例13.

计算由椭圆所围图形绕x

轴旋转而转而成的椭球体的体积.解:方法1

利用直角坐标方程则(利用对称性)机动目录上页下页返回结束第22页/共50页方法2

利用椭圆参数方程则特别当b=a

时,就得半径为a的球体的体积机动目录上页下页返回结束第23页/共50页例14.

计算摆线的一拱与y＝0所围成的图形分别绕x

轴,y

轴旋转而成的立体体积.解:

绕x

轴旋转而成的体积为利用对称性机动目录上页下页返回结束第24页/共50页绕

y

轴旋转而成的体积为注意上下限!注注目录上页下页返回结束第25页/共50页分部积分注(利用“偶倍奇零”)第26页/共50页柱壳体积说明:

柱面面积机动目录上页下页返回结束第27页/共50页偶函数奇函数机动目录上页下页返回结束第28页/共50页例15.

设在

x≥0时为连续的非负函数,且形绕直线x＝t

旋转一周所成旋转体体积,证明:证:利用柱壳法则机动目录上页下页返回结束故第29页/共50页例16.

一平面经过半径为R

的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,解:

如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x

轴的截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.机动目录上页下页返回结束第30页/共50页思考:

可否选择y

作积分变量?此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积?提示:机动目录上页下页返回结束第31页/共50页垂直x

轴的截面是椭圆例17.

计算由曲面所围立体(椭球体)解:它的面积为因此椭球体体积为特别当

a=b=c

时就是球体体积.机动目录上页下页返回结束的体积.第32页/共50页例18.

求曲线与x

轴围成的封闭图形绕直线y＝3旋转得的旋转体体积.(94考研)解:

利用对称性,故旋转体体积为在第一象限机动目录上页下页返回结束第33页/共50页四、旋转体的侧面积

(补充)设平面光滑曲线求积分后得旋转体的侧面积它绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.取侧面积元素:机动目录上页下页返回结束第34页/共50页侧面积元素的线性主部.若光滑曲线由参数方程给出,则它绕

x

轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积△S的机动目录上页下页返回结束注意:侧面积为第35页/共50页例19.

计算圆x

轴旋转一周所得的球台的侧面积S.解:

对曲线弧应用公式得当球台高h＝2R

时,得球的表面积公式机动目录上页下页返回结束第36页/共50页例20.

求由星形线一周所得的旋转体的表面积S.解:

利用对称性绕

x

轴旋转星形线目录上页下页返回结束第37页/共50页星形线星形线是内摆线的一种.点击图片任意处播放开始或暂停大圆半径

R＝a小圆半径参数的几何意义(当小圆在圆内沿圆周滚动时,小圆上的定点的轨迹为是内摆线)第38页/共50页内容小结1.平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2.平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程弧微分:直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意:求弧长时积分上下限必须上大下小机动目录上页下页返回结束第39页/共50页3.已知平行截面面面积函数的立体体积旋转体的体积绕

x

轴:4.旋转体的侧面积侧面积元素为(注意在不同坐标系下ds的表达式)绕

y

轴:(柱壳法)机动目录上页下页返回结束第40页/共50页思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积A

及边界长s.提示:

交点为弧线段部分直线段部分机动目录上页下页返回结束以x

为积分变量,则要分两段积分,故以

y为积分变量.第41页/共50页2.试用定积分求圆绕x

轴上半圆为下求体积:提示:方法1

利用对称性机动目录上页下页返回结束旋转而成的环体体积

V

及表面积S.第42页/共50页方法2

用柱壳法说明:上式可变形为机动目录上页下页返回结束上半圆为下此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示).第43页/共50页求侧面积:利用对称性机动目录上页下页返回结束上式也可写成上半圆为下它也反映了环面微元的另一种取法.第44页/共50页作业P2792(1),(3);3;4;5(2),(3);8(2);9;10;

22;

25;27;30第三节目录上页下页返回结束面积及弧长部分：

体积及表面积部分：P27913;14;15(1),(4);17;18补充题:

设有曲线过原点作其切线,求由此曲线、切线及x轴围成的平面图形绕x

轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.第45页/共50页1/18/2023备用题解：1.

求曲线所围图形的面积.显然面积为同理其它.机动目录上页下页返回结束又故在区域第46页/共50页1/18/2023分析曲线特点2.

解:与x

轴所围面积由图形的对称性,也合于所求.

为何值才能使与x

轴围成的面积等机动目录上