2021-2022学年山东省青岛市黄岛区第一中学高三数学理期末试卷含解析

2021-2022学年山东省青岛市黄岛区第一中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图所示，三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积（单位：cm2）等于（）A．75π B．77π C．65π D．55π参考答案：B【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】作出几何体的三视图，建立空间坐标系，求出外接球的球心坐标，从而可得外接球的半径，进而求出外接球的表面积．【解答】解：作出三棱锥的三视图如图所示：由三视图可知AB，AC，AD两两垂直，且AB=6，AC=5，AD=h，∴VD﹣ABC==20，∴h=4．以A为原点，以AC，AB，AD为坐标轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，6，0），C（5，0，0），D（0，0，4）．设三棱锥的外接球的球心为M（x，y，z），则MA=MB=MC=MD，∴x2+y2+z2=x2+（y﹣6）2+z2=（x﹣5）2+y2+z2=x2+y2+（z﹣4）2，解得x=，y=3，z=2，∴外接球的半径r=MA==，∴外接球的表面积S=4πr2=77π．故选：B．【点评】本题考查了棱锥的三视图，棱锥的体积计算，球与棱锥的位置关系，属于中档题．2.（5分）已知O为坐标原点，A、B为曲线y=上的两个不同点，若?=6，则直线AB与圆x2+y2=的位置关系是（）A．相交B．相离C．相交或相切D．相切或相离参考答案：A【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：直线与圆．【分析】：根据点A，B在曲线y=上不同两点，从而设出A，B坐标：A（），，而由?=6可得到x1x2=4，能够写出直线AB的方程，从而求出圆心即原点到直线AB的距离和圆半径比较即可判断出直线和圆的位置关系．解：设A（），；∴由得：，设，则：t2+t﹣6=0，解得t=2，或t=﹣3（舍去）；∴x1x2=4；直线AB的斜率为k=；∴直线AB的方程为：；∴原点到该直线的距离为=；∴直线AB与圆的位置关系为相交．故选A．【点评】：考查根据曲线方程设出曲线上点的坐标的方法，数量积的坐标运算，解一元二次方程，以及由两点坐标写直线方程，点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系．3.集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={-4，0，1，2，16}，则a的值为（）A．1 B．2 C．-4 D．4参考答案：C略4.已知集合，集合，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A5.函数f（x）=2x+log2|x|的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意可得，本题即求函数y=﹣2x的图象和函数y=log2|x|的图象的交点个数，数形结合可得结论．【解答】解：函数f（x）=2x+log2|x|的零点个数，即为函数y=﹣2x的图象和函数y=log2|x|的图象的交点个数．如图所示：数形结合可得，函数y=﹣2x的图象和函数y=log2|x|的图象的交点个数为2，故选C．【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．6.已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A．8

B．

C．

D．参考答案：C7.下列函数中既是奇函数，又在区间[－1，1]上单调递减的函数是A．

B．

C．

D．参考答案：D8.椭圆（m＞1）与双曲线（n＞0）有公共焦点F1，F2．P是两曲线的交点，则=（）A．4 B．2 C．1 D．参考答案：C【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题设中的条件，设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2m，双曲线的实轴长为2n，由它们有相同的焦点，得到m2﹣n2=2，根据双曲线和椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2m，|PF1|﹣|PF2|=2n，△PF1F2中，由三边的关系得出其为直角三角形，由△PF1F2的面积公式即可运算得到结果．【解答】解：由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2m，双曲线的实轴长为2n，由它们有相同的焦点，得到m2﹣1=n2+1，即m2﹣n2=2．不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2n，①由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2m，②①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=2n2+2m2，∴|PF1|?|PF2|=m2﹣n2=2，∴cos∠F1PF2|==0，∴△F1PF2的形状是直角三角形△PF1F2的面积为?PF1?PF2=×2=1．故选C．【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，求出焦点三角形的边长来．9.设集合，集合，则（）A．

B．

C．

D．参考答案：A，选A.10.平面上动点满足，，,则一定有（

）

参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，=，=______.参考答案：略12.已知，函数，若存在，使得，则实数a的最大值是____.参考答案：【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究入手，令，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得，使得令，则原不等式转化为存在，由折线函数，如图只需，即，即的最大值是【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.

13.已知向量，向量，且，则实数x等于______________.参考答案：9因为，又，所以，解得14.已知函数是定义在上的偶函数.当时，，则当时，

.参考答案：略15.lg22+lg2lg5+lg5=．参考答案：1考点： 对数的运算性质．专题： 计算题．分析： 利用lg2+lg5=1即可求得答案．解答： 解：∵lg2+lg5=lg10=1，∴lg22+lg2lg5+lg5=lg2（lg2+lg5）+lg5=lg2+lg5=lg10=1．故答案为：1．点评： 本题考查对数的运算性质，注意lg2+lg5=1的应用，属于基础题．16.若(x∈R)，则________.参考答案：-1略17.若实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为．参考答案：﹣2【考点】简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x﹣y对应的直线进行平移，可得当x=3，y=5时，z=x﹣y取得最小值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，1），B（7，1），C（3，5）设z=F（x，y）=x﹣y，将直线l：z=x﹣y进行平移，当l经过点C时，目标函数z达到最小值∴z最小值=F（3，5）=﹣2故答案为：﹣2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知数列{an}满足：a1=0且=1．（1）求{an}的通项公式；（2）令bn=（n∈N+），数列{bn}的前n项和为Sn，证明：Sn＜1．参考答案：【考点】：数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）根据条件构造等差数列，利用等差数列的通项公式即可求{an}的通项公式；（2）求出数列{bn}的通项公式，利用裂项法进行求和．【解答】：解：（1）∵=1．∴{}是公差为1的等差数列，又，则=1+n﹣1=n，故an=1﹣．（2）由（1）得bn===，则Sn=b1+b2+…+bn=1﹣=1﹣＜1．【点评】：本题主要考查数列的通项公式以及数列求和，利用构造法以及裂项法是解决本题的关键．19.(本小题满分16分)已知椭圆的左顶点为A，左、右焦点分别为，且圆C：过两点．学科网（1）求椭圆标准的方程；（2）设直线的倾斜角为α，直线的倾斜角为β，当β－α＝时，证明：点P在一定圆上；（3）设椭圆的上顶点为Q，在满足条件（2）的情形下证明：+．参考答案：20.(本题12分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.

①；

②；

③；

④；

⑤.

(1)从上述五个式子中选择一个,求出常数；

(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.参考答案：解:(1)选择②式计算:.……4分(2)猜想的三角恒等式为:.……………6分

证明:

.…………12分

略21.已知函数的极小值为1.（1）求a的值；（2）当b＞0时，对任意，有f(x)＜6成立，求整数b的最大值。参考答案：（1）详见解析；（2）2.【分析】（1）求导，根据的不同取值，进行分类讨论，根据极值，求出的值；（2）由（1）可知，对函数进行求导，求出函数在的最大值，即，比较的大小，作差，设新函数，求导，最后可求出的最大值为，对任意，有成立，只需.设函数，求导，最后求出整数b的最大值.【详解】解：（1）函数的定义域为，.①当时，，在上单调递增，所以无极值；②当时，由，得，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，所以的极小值为，解得（2）当时，，由（1）知，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，所以，令，所以时，，在上单调递增，所以，故，因此的最大值为，而对任意，有成立，只需.令，则，所以，，在上单调递增.由于，又由于b为正数，所以.【点睛】本题考查了已知函数的极值，求参数问题，考查了函数在闭区间恒成立时，求参问题，解决问题的关键就是构造新函数，利用新函数的单调性进行求解证明.22.如图，圆与圆相交于A、B两点，AB是圆的直径，过A点作圆的切线交圆于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别