2023年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)

2023年全国初中数学联赛试卷〔第一试〕一、选择题1．设a2＋1＝3a，b2＋1＝3b，且a≠b，那么代数式eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)的值为〔〕(A)5.(B)7.(C)9.(D)11.2．如图，设AD，BE，CF为三角形ABC的三条高，假设AB＝6，BC＝5，EF＝3，那么线段BE的长为〔〕(A)eq\f(18,5).(B)4.(C)eq\f(21,5).(D)eq\f(24,5).3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中依次取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，那么所组成的数是3的倍数的概率是〔〕(A)eq\f(1,5).(B)eq\f(3,10).(C)eq\f(2,5).(D)eq\f(1,2).4．在△ABC中，∠ABC＝12°，∠ACB＝132°，BM和CN分别是这两个角的外角平分线，且点M,N分别在直线AC和直线AB上，那么〔〕(A)BM＞CN.(B)BM＝CN.(C)BM＜CN.(D)BM和CN的大小关系不确定.5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，假设干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r，那么r的最小值为〔〕(A)(eq\f(9,8))3.(B)(eq\f(9,8))4.(C)(eq\f(9,8))5.(D)eq\f(9,8).6．实数x，y满足(x－eq\r(\s\do1(x2－2023)))(y－eq\r(\s\do1(y2－2023)))＝2023，那么3x2－2y2＋3x－3y－2007的值为〔〕(A)-2023.(B)2023.(C)-1.(D)1.二、填空题1．设a＝eq\f(eq\r(\s\do1(5))－1,2)，那么eq\f(a5＋a4－2a3－a2－a＋2,a3－a)＝_________.2．如图，正方形ABCD的边长为1，M,N为BD所在直线上的两点，且AM＝EQ\R(\S\DO(),5)，∠MAN＝135°，那么四边形AMCN的面积为___________.3．二次函数y＝x2＋ax＋b的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m，n，且│m│＋│n│＜1.设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p，q，那么│p│＋│q│＝__________.4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2023个位置的数字是___________.第二试一、a2＋b2＝1，对于满足条件0≤x≤1的一切实数x，不等式a(1－x)(1－x－ax)－bx(b－x－bx)≥0恒成立.当乘积ab取最小值时，求a，b的值.二、如图，圆O与圆D相交于A，B两点，BC为圆D的切线，点C在圆O上，且AB＝BC.〔1〕证明：点O在圆D的圆周上.〔2〕设△ABC的面积为S，求圆D的的半径r的最小值.三、设a为质数，b为正整数，且9(2a＋b)2＝509(4a＋511b)求a，b的值.参考答案第一试选择题1.B2.D3.C4.B5.B6.D填空题.1.-22.eq\f(5,2)3.eq\f(1,2)4.1第二试一、，对于满足条件的一切实数，不等式恒成立.当乘积取最小值时，求的值.解：设，那么==当时，，当时，，故.假设，那么，，不恒大于等于0，故即，同理.当时，当，即时，，故，即.当，即时，综上所述，最小值是，此时或.二、如图，圆与圆相交于两点，为圆的切线，点在圆上，且.〔1〕证明：点在圆的圆周上.〔2〕设△的面积为，求圆的的半径的最小值.解：(1)连接，那么，又，故等腰，.由于为圆的切线，故弦切角所夹劣弧长为所夹劣弧长的2倍，即半径所在直径通过弧的中点，即点在圆上.〔2〕连接，那么，故，又，故，即，且当为圆的直径时可以取等号，故的最小值是.三、设为质数，为正整数，且求，的值.解：将原等式整理为关于的一元二次方程：，由于为正整数，那么方程判别式是完全平方数，即为完全平方数，设，那么，即，由于，故同为奇数或者同为偶数，且不同是