《生活中的优化问题举例》同步练习 名师获奖

《生活中的优化问题举例》同步练习一、选择题1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是()[答案]A[解析]加速过程，路程对时间的导数逐渐变大，图象下凸；减速过程，路程对时间的导数逐渐变小，图象上凸，故选A．2．若商品的年利润y(万元)与年产x(百万件)的函数关系式y＝－x3＋27x＋123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为()A．1百万件 B．2百万件C．3百万件 D．4百万件[答案]C[解析]依题意得，y′＝－3x2＋27＝－3(x－3)(x＋3)，当0<x<3时，y′>0；当x>3时，y′<0.因此，当x＝3时，该商品的年利润最大．3．某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)＝x2·(eq\f(60－x,2))(0<x<60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为()A．30 B．40C．50 D．35[答案]B[解析]V′(x)＝(30x2－eq\f(x3,2))′＝60x－eq\f(3,2)x2，x∈(0,60)．令V′(x)＝0，得x＝40.∴当x＝40时，箱子的容积有最大值．4．甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图所示．现有下列四种说法：①前四年该产品产量增长速度越来越快；②前四年该产品产量增长速度越来越慢；③第四年后该产品停止生产；④第四年后该产品年产量保持不变．其中说法正确的有()A．①④ B．②④C．①③ D．②③[答案]B[解析]由图象可知，②④是正确的．5．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x>0)；生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，则应生产()A．6千台 B．7千台C．8千台 D．9千台[答案]A[解析]设利润为y(万元)，则y＝y1－y2＝17x2－2x3＋x2＝18x2－2x3(x>0)，y′＝36x－6x2，令y′>0，得0<x<6，令y′<0，得x>6，∴当x＝6时，y取最大值，故为使利润最大，则应生产6千台．6．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为()A．eq\r(3,V) B．eq\r(3,2V)C．eq\r(3,4V) D．2eq\r(3,V)[答案]C[解析]如图，设底面边长为x(x>0)，则底面积S＝eq\f(\r(3),4)x2，∴h＝eq\f(V,S)＝eq\f(4V,\r(3)x2).S表＝x·eq\f(4V,\r(3)x2)×3＋eq\f(\r(3),4)x2×2＝eq\f(4\r(3)V,x)＋eq\f(\r(3),2)x2，S′表＝eq\r(3)x－eq\f(4\r(3)V,x2)，令S′表＝0得x＝eq\r(3,4V)，因为S表只有一个极值，故x＝eq\r(3,4V)为最小值点．二、填空题7．把长为60cm的铁丝围成矩形，长为________，宽为________时，矩形的面积最大．[答案]15cm15cm[解析]设长为xcm，则宽为(30－x)cm，此时S＝x·(30－x)＝30x－x2，S′＝30－2x＝0，所以x＝15.所以长为15cm，宽为15cm时，矩形的面积最大．8．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最小，则圆柱的底面半径为________.[答案]3[解析]设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，∴L＝eq\f(27,R2)，要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小，∴S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋eq\f(54π,R)，∴S′(R)＝2πR－eq\f(54π,R2)＝0，令S′＝0得R＝3，∴当R＝3时，S表最小．9．用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，该长方体的最大体积是________.[答案]3m[解析]设长方体的宽为x，则长为2x，高为eq\f(9,2)－3x(0<x<eq\f(3,2))，故体积为V＝2x2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)－3x))＝－6x3＋9x2，V′＝－18x2＋18x，令V′＝0得，x＝0或1，∵0<x<eq\f(3,2)，∴x＝1.∴该长方体的长、宽、高各为2m、1m、1.5m时，体积最大，最大体积Vmax＝3m3三、解答题10．用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱．问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？[解析]设水箱底边长为xcm，则水箱高为h＝60－eq\f(x,2)(cm)．水箱容积V＝V(x)＝60x2－eq\f(x3,2)(0<x<120)(cm3)．V′(x)＝120x－eq\f(3,2)x2.令V′(x)＝0得，x＝0(舍)或x＝80.当x在(0,120)内变化时，导数V′(x)的正负如下表：x(0,80)80(80,120)V′(x)＋0－因此在x＝80处，函数V(x)取得极大值，并且这个极大值就是函数V(x)的最大值．将x＝80代入V(x)，得最大容积V＝802×60－eq\f(803,2)＝128000(cm3)．答：水箱底边长取80cm时，容积最大，最大容积为128000cm3.一、选择题1．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－eq\f(x3,900)＋400x,0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是()A．150 B．200C．250 D．300[答案]D[解析]由题意可得总利润P(x)＝－eq\f(x3,900)＋300x－20000，0≤x≤390.由P′(x)＝0，得x＝300.当0≤x≤300时，p′(x)>0；当300<x≤390时，P′(x)<0，所以当x＝300时，P(x)最大，故选D．2．三棱锥O－ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC＝2x，OA＝x，OB＝y，且x＋y＝3，则三棱锥O－ABC体积的最大值为()A．4 B．8C．eq\f(4,3) D．eq\f(8,3)[答案]C[解析]V＝eq\f(1,3)×eq\f(2x2,2)·y＝eq\f(x2y,3)＝eq\f(x23－x,3)＝eq\f(3x2－x3,3)(0<x<3)，V′＝eq\f(6x－3x2,3)＝2x－x2＝x(2－x)．令V′＝0，得x＝2或x＝0(舍去)．∴x＝2时，V最大为eq\f(4,3).3．某工厂需要建一个面积为512m2A．16m,16m B．32m,16mC．32m,8m D．16m,8m[答案]B[解析]如图所示，设场地一边长为xm，则另一边长为eq\f(512,x)m.因此新墙总长度L＝2x＋eq\f(512,x)(x>0)，L′＝2－eq\f(512,x2).令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．∵L在(0，＋∞)上只有一个极值点，∴x＝16必是最小值点．∵x＝16，∴eq\f(512,x)＝32.故当堆料场的宽为16m，长为32m时，可使砌墙所用的材料最省．4．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,，若使银行获得最大效益，则x的取值为()A． B．C． D．[答案]B[解析]依题意，存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，贷款的收益是，其中x∈(0,．所以银行的收益是y＝－kx3(0<x<，则y′＝－3kx2.令y′＝0，得x＝或x＝0(舍去)．当0<x<时，y′>0；当<x<时，y′<0.所以当x＝时，y取得最大值，即当存款利率为时，银行获得最大收益．二、填空题5．做一个容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时最省料．[答案]4[解析]设底面边长为x，则高为h＝eq\f(256,x2)，其表面积为S＝x2＋4×eq\f(256,x2)×x＝x2＋eq\f(256×4,x)，S′＝2x－eq\f(256×4,x2)，令S′＝0，则x＝8，则当高h＝eq\f(256,64)＝4时S取得最小值．6．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，要使利润最大每件定价为________元．[答案]85[解析]设每件商品定价x元，依题意可得利润为L＝x(200－x)－30x＝－x2＋170x(0＜x＜200)．L′＝－2x＋170，令－2x＋170＝0，解得x＝eq\f(170,2)＝85.因为在(0,200)内L只有一个极值，所以以每件85元出售时利润最大．三、解答题7．某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2500元，已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本C(x)＝200x＋eq\f(1,36)x3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？[解析]设该厂生产x件这种产品利润为L(x)则L(x)＝500x－2500－C(x)＝500x－2500－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(200x＋\f(1,36)x3))＝300x－eq\f(1,36)x3－2500(x∈N)令L′(x)＝300－eq\f(1,12)x2＝0，得x＝60(件)又当0≤x<60时，L′(x)>0x>60时，L′(x)<0所以x＝60是L(x)的极大值点，也是最大值点．所以当x＝60时，L(x)＝9500元．答：要使利润最大，该厂应生产60件这种产品，最大利润为9500元．8.已知圆柱的表面积为定值S，求当圆柱的容积V最大时圆柱的高h的值．[分析]将容积V表示为高h或底半径r的函数，运用导数求最值．由于表面积S＝2πr2＋2πrh，此式较易解出h，故将V的表达式中h消去可得V是r的函数．[解析]设圆柱的底面半径为r，高为h，则S圆柱底＝2πr2，S圆柱侧