上海民办扬波中学2023年高一数学理期末试题含解析

上海民办扬波中学2023年高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.南北朝数学家祖暅在推导球的体积公式时构造了一个中间空心的几何体，经后继学者改进后这个中间空心的几何体其三视图如图所示.现用一与下底面平行且与下底面距离为的平面去截该几何体，则截面面积是（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由题意，首先得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，得到截面为圆环，明确其半径求面积．【详解】由已知得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，底面半径为2高为2，截面为圆环，小圆半径为，大圆半径为2，设小圆半径为，则，得到，所以截面圆环的面积.故选：．【点睛】本题考查了几何体得到三视图以及截面面积的求法；关键是明确几何体形状，然后得到截面的性质以及相关的数据求面积．2.将两个数a=2,

b=-6交换，使a=-6,b=2，下列语句正确的是(

)参考答案：B略3.（5分）已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列命题中正确的是（） A． 若m∥α，n?α，则m∥n B． 若α∩β=m，m⊥n，则n⊥α C． 若m∥α，n∥α，则m∥n D． 若m∥α，m?β，α∩β=n，则m∥n参考答案：D考点： 空间中直线与平面之间的位置关系．专题： 证明题．分析： D为线面平行的判定定理，故正确．而A、B、C可在熟悉的几何体如正方体中举反例即可．解答： A中m∥α，m与α无公共点，故l与α内的直线平行或异面，故A错误；B中n与α可以是任意的位置关系，故B错误；C中m与n可以是任意的位置关系，故C错误；D为线面平行的判定定理，故正确．故选D点评： 本题考查空间的位置关系，考查逻辑推理能力和空间想象能力．4.已知，则为

A.

2

B.

3

C.

4

D.

5参考答案：A5.取第一象限内的两点P（）、P（），使1，，，2，依次成等差数列，1，，，2依次成等比数列，则点P、P与射线l：y=x(x≥0)的关系为

A、点P、P都在l的上方

B、点P、P都在l上C、点P、P都在l的下方

D、点P在l的下方，点P在l的上方。参考答案：C6.若角的终边经过点且，则m的值为（

）A． B.

C.

D.参考答案：B7.设a＞1，函数f（x）=logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=(

)A． B．2 C． D．4参考答案：D【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】因为a＞1，函数f（x）=logax是单调递增函数，最大值与最小值之分别为loga2a、logaa=1，所以loga2a﹣logaa=，即可得答案．【解答】解．∵a＞1，∴函数f（x）=logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之分别为loga2a，logaa，∴loga2a﹣logaa=，∴，a=4，故选D【点评】本题主要考查对数函数的单调性与最值问题．对数函数当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减．8.设有直线m、n和平面、，下列四个命题中，正确的是

A．若m∥，n∥，则m∥nB．若，，m∥，n∥，则∥C．若，，则D．若，，，则m∥参考答案：D9.函数f（x）=的图象大致为（）A． B． C．

D．参考答案：A【考点】函数的图象．【分析】由题意，x＜0时，函数单调递增，x≥0时，函数单调递减，即可得出结论．【解答】解：由题意，x＜0时，函数单调递增，x≥0时，函数单调递减，故选A．10.若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为A

B

C

D参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数在区间上具有单调性，则的取值范围为_________参考答案：12.已知圆（x﹣1）2+y2=4上一动点Q，则点P（﹣2，﹣3）到点Q的距离的最小值为．参考答案：﹣2【考点】点与圆的位置关系．【分析】求出圆心与P的距离，减去半径，可得结论．【解答】解：由题意，圆心与P的距离为=3，∴点P（﹣2，﹣3）到点Q的距离的最小值为﹣2，故答案为：﹣2．13.已知函数在区间上为偶函数，则__________．参考答案：∵在上为偶函数，∴．，，∴，∴．14.如果幂函数f（x）=xn的图象经过点，则f（4）=

．参考答案：8【考点】函数解析式的求解及常用方法；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】求出函数的解析式然后求解函数值即可．【解答】解：幂函数f（x）=xn的图象经过点，可得2=2n，可得n=，幂函数的解析式为：f（x）=．f（4）==8．故答案为：8．【点评】本题考查幂函数的解析式的求法，函数值的求法，考查计算能力．15.已知幂函数的图像经过点（2，32）则它的解析式是

.参考答案：略16.设实数x，y满足，，则的取值范围是

.参考答案：[2,27]因为，,所以.

17.已知角α的终边经过点P（4，﹣3），则2sinα+3cosα=．参考答案：【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得sinα和cosα的值，可得2sinα+3cosα的值．【解答】解：∵角α的终边经过点P（4，﹣3），∴x=4，y=﹣3，r=|OP|=5，∴sinα==﹣，cosα==，∴2sinα+3cosα=2?（﹣）+3?=，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（19）（本小题满分12分）P是平行四边形ABCD外的一点，Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ．参考答案：证明：如图，连结AC交BD于O∵ABCD是平行四边形，∴AO＝OC连结OQ，则OQ平面BDQ，且OQ是△APC的中位线∴PC∥OQ，又PC在平面BDQ外∴PC∥平面BDQ．略19.已知非零向量a,b,c满足a+b+c=0,向量a,b的夹角为120°,且|b|=2|a|求向量a与c的夹角。

参考答案：

由题意可画出右边的图示,在平行四边形OABC中,因为∠OAB=60°,|b|=2|a|,所以∠AOB=30°,即AB⊥OB,即向量a与c的夹角为90°.略20.（14分）一个三棱柱的三视图及直观图如图所示，E，F，G分别是A1B，B1C1，AA1的中点，AA1⊥底面ABC．（1）求证：B1C⊥平面A1BC1；（2）求证：EF∥平面ACC1A1；（3）在BB1上是否存在一点M，使得GM+MC的长最短．若存在，求出这个最短值，并指出点M的位置；若不存在，请说明理由．参考答案：考点： 直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题： 空间位置关系与距离．分析： （1）利用直三棱柱的性质，只要证明B1C垂直与平面A1BC1的两条相交直线；（2）连接A1C，AC1交于点O，连接OE，利用中位线的性质得到四边形OEFG为平行四边形，再由线面平行的判定定理可得；（3）在BB1上存在一点M，使得GM+MC的长最短．通过勾股定理求得．解答： （1）证明：∵AA1⊥平面ABC，AA1∥CC1，∴CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥AC，∵AC⊥BC，∴AC⊥平面BC，…（2分）∵AC∥A1C1，∴A1C1⊥平面BC，∴A1C1⊥B1C…（3分）又B1C⊥BC1，A1C1∩BC1=C1，∴B1C⊥平面A1BC1…（5分）（2）连接A1C，AC1交于点O，连接OE…（6分）由题意可得，O为A1C中点，因为E为A1B中点，∴OE∥并且OE=因为F为C1B1的中点中点，∴，∴OE∥C1F，OE=C1F∴四边形OEFG为平行四边形…（8分）∴FE∥OC1…（9分）∵FE?平面ACC1A1，OC1?平面ACC1A1，∴FE∥平面ACC1A1…（10分）（3）在BB1上存在一点M，使得GM+MC的长最短，此时沿CC1展开，时G，M，C在一条直线上．最短值为GC=此时BM=…（14分）点评： 本题考查了直三棱柱的性质、线面平行的判定定理以及线段最短问题，属于中档题．21.(本题满分10分)一个盒子中有2个红球和1个白球，每次取一个。(1)若每次取出后放回，连续取两次，记A=“取出两球都是红球”，B=“第一次取出红球，第二次取出白球”，求概率P(A)，P(B)；(2)若每次取出后不放回，连续取2次，记C=“取出的两球都是红球”，D=“取出的两个球中恰有1个是红球”，求概率P(C)，P(D)。参考答案：解：(1)取出后放回，连续取两次，两个红球分别记为红1和红2，列树状图如下：红1

红2

白

即共有9种，其中“取出两球都是红球”有4种，“第一次取出红球，第二次取出白球”有2种，所以P（A）=．

………………3分P（B）=．

………………5分22.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD＝CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点．(1)证明：PA∥平面BDE；(2)证明：平面PAC