上海朱行中学2021-2022学年高二数学理模拟试题含解析

上海朱行中学2021-2022学年高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间有（

）．确定性关系

．相关关系

．函数关系

．无任何关系参考答案：B2.设函数，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：C略3.（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】由题意，根据复数的乘法运算，化简、运算，即可求解。【详解】由题意，根据复数的运算，故选A。【点睛】本题考查复数的四则运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查运算求解能力.4.已知抛物线的准线与圆相切，则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略5.如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为（

）A．

B.

C.

D.参考答案：A略6.已知函数，则的极大值点为(

)A. B.1 C.e D.2e参考答案：D【分析】先对函数求导，求出，再由导数的方法研究函数的单调性，即可得出结果.【详解】因为，所以，所以，因此，所以，由得：；由得：；所以函数在上单调递增，在上单调递减，因此的极大值点.故选D【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，根据导数判断出函数的单调性，进而可确定其极值，属于常考题型.7.已知集合A={1，3，5，7}，B={2,3,6,7,8}，则A∩B= （

） A．{2，3，6} B.{1，3，5} C．{3，7} D．{2，5}参考答案：C略8.执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】循环结构．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，s的值，当k=8时不满足条件k＜8，退出循环，输出s的值为．【解答】解：模拟执行程序框图，可得s=0，k=0满足条件k＜8，k=2，s=满足条件k＜8，k=4，s=+满足条件k＜8，k=6，s=++满足条件k＜8，k=8，s=+++=不满足条件k＜8，退出循环，输出s的值为．故选：D．9.甲船在岛B的正南方A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（

）A．小时

B．小时 C．小时 D．小时参考答案：C10.曲线在点处的切线方程为(

)

A．x-y-2=0

B．x+y-2=0

C．x+4y-5=0

D．x-4y-5=0参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线l、m，平面α、β且l⊥α,mβ给出下列四个命题，其中正确的是①若α∥β则l⊥m

②若α⊥β则l∥m

③若l⊥m则α∥β④若l∥m则α⊥β参考答案：①④12.函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0，3]上的最大值是

．参考答案：5【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】对函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5求导，利用导数研究函数在区间[0，3]上的单调性，根据函数的变化规律，确定函数在区间[0，3]上最大值的位置，求值即可．【解答】解：由题意y′=6x2﹣6x﹣12令y′＞0，解得x＞2或x＜﹣1故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在（0，2）单调递减，在（2，3）上单调递增，因为f（0）=﹣12，f（2）=﹣15，f（3）=5故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[0，3]上最大值是5，故答案为：5．13.若直线与抛物线交于、两点，则线段的中点坐标是______。参考答案：（4，2）略14.已知中，角，,所对的边分别为，，，外接圆半径是,且满足条件,则的面积的最大值为

.参考答案：由正弦定理，则，带入题中条件得，化简得，由余弦定理解得.又，即（基本不等式）.15.已知函数是定义在R上的奇函数，，，则不等式

的解集是

.参考答案：略16.已知函数,其中是实数.设,为该函数图象上的两点,且.若函数的图象在点处的切线重合,则的取值范围是

参考答案：17.将三位老师分配到4所学校实施精准帮扶，若每位老师只去一所学校，每所学校最多去2人，则不同的分配方法有_____________种（用数字作答）.参考答案：60【分析】分2种情况讨论:三位老师去三所学校；两位老师一所学校，另一位老师去一所学校，分别求出每一种情况的分配方法数目，由加法原理计算可得结果.【详解】根据题意,分2种情况讨论：若三位老师去三所学校，则有种分配方法；若两位老师一所学校，另一位老师去一所学校，则有种分配方法，所以共有种不同的分配方法，故答案为60.【点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于中档题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ax3+3x+2（a∈R）的一个极值点是1．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣2，3]上的最大值和最小值．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（I）由于函数f（x）=ax3+3x+2（a∈R）的一个极值点是1．可得f′（1）=0，即可得到a．再利用导数的几何意义即可得出切线的斜率，进而得出切线方程．（II）利用导数研究函数的单调性极值，再计算出区间端点的函数值即可比较出最值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ax3+3x+2，∴f'（x）=3ax2+3．∵函数f（x）的一个极值点是1，∴f'（1）=3a+3=0．解得：a=﹣1．经检验，a=﹣1满足题意．∴f（x）=﹣x3+3x+2，∴f（2）=0，f'（2）=﹣9．∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程是y=﹣9（x﹣2），即9x+y﹣18=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f'（x）=﹣3x2+3．令f'（x）=0，得x1=﹣1，x2=1．当x在[﹣2，3]上变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表x﹣2（﹣2，﹣1）﹣1（﹣1，1）1（1，3）3f'（x）

﹣0+0﹣

f（x）4↘0↗4↘﹣16∴函数f（x）在[﹣2，3]上的最大值为4，最小值为﹣16．19.某创业投资公司拟投资某种新能源产品，研发小组经过初步论证，估计能获得10万元到100万元的投资效益，现准备制定一个对研发小组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过投资收益的20%且不超过9万元，设奖励y是投资收益x的模型为y=f（x）．（1）试验证函数y=+1是否符合函数x模型请说明理由；（2）若公司投资公司采用函数模型f（x）=，试确定最小的正整数a的值．参考答案：（1）判断y=的单调性，求出函数的最大值与9的大小关系，判断﹣x≤0在[10，100]上是否恒成立；（2）令f（x）﹣≤0在[10，100]上恒成立，解出a的范围，再令f函数y=+1是增函数，当x=100时，y=＜9，∴奖金y随投资收益x的增加而增加，且奖金不超过9万元，令g（x）=≤0得x≥，∴当10≤x≤100时，奖金不超过投资收益的20%，综上，函数y=+1符合函数x模型．（2）f（x）==10﹣，显然，当a＞0时，f（x）是增函数，令f﹣x=﹣≤0在[10，100]上恒成立，得15a≥﹣x2+48x，令h（x）=﹣x2+48x，则h（x）在[10，24]上单调递增，在（24，100]上单调递减，∴h（x）的最大值为h（24）=576，∴15a≥576，即a≥综上，a≥，∴最小的正整数a的值为38．20.已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求函数的解析式；（2）过点能作几条直线与曲线相切？说明理由.参考答案：解（1），由题知…………………（1分）∴…………（5分）（2）设过点（2,2）的直线与曲线相切于点，则切线方程为：即……………………（7分）由切线过点（2,2）得：过点（2,2）可作曲线的切线条数就是方程的实根个数……（9分）令，则由得当t变化时，、的变化如下表t0(0,2)2+0-0+↗极大值2↘极小值-2↗由知，故有三个不同实根可作三条切线…………（13分）略21.（本小题满分12分）

如图所示，在矩形中，，点是的中点，将沿折起到的位置，使二面角是直二面角。（1）证明：（2）求二面角的余弦值。参考答案：（Ⅰ），是的中点，，是等腰直角三角形，易知,，即.又平面平面，面∩面面，又面,；…………………分（2）法一：设是线段的中点，过作垂足为，连接，，则 平面平面,平面, 是在平面上的射影，由三垂线定理得： 是二面角的平面角. 在中，，,二面角的余弦值为.………………分 法二：分别以，所在的直线为轴、轴，过垂直于平面的射线为轴，建立如图空间直角坐标系.则，，, 设平面的法向量为；平面的法向量为

二面角的余弦值为.………分22.已知椭圆C的对称中心为坐标原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F，F，左右顶点分别为A，B，且|F1F2|=4，|AB|=4（1）求椭圆的方程；（2）过F1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，若△MF2N的面积为，求直线l的方程．参考答案：【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程．【分析】（1）由|F1F2|=4，|AB|=4，建立方程组，求出a=2，c=2，b=2，由此能求出椭圆的方程．（2）由F1（﹣2，0），设过F1的直线l的方程为：x+2=my，由，得（m2+2）y2﹣4my﹣4=0，利用韦达定理、弦长公式、三角形面积公式，能求出m=±1，由此能求出直线l的方程．【解答】解：（1）∵椭圆