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上海徐泾中学2022年高一数学理期末试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是(
)
①正方体
②圆锥
③三棱台
④正四棱锥A、①②
B、①③
C、①③
D、②④参考答案:D略2.(5分)f(x)=是R上的增函数,则a的范围是() A. (﹣∞,2] B. (﹣∞,1] C. [1,+∞) D. [2,+∞)参考答案:B考点: 函数单调性的性质.专题: 函数的性质及应用.分析: 根据分段函数单调性的性质进行求解即可.解答: ∵f(x)是R上的增函数,∴0+a≤20=1,即a≤1,故选:B.点评: 本题主要考查函数单调性的应用,利用分段函数端点处的大小关系是解决本题的关键.3.在中,已知,,,那么角等于
A.
B.
C.
D.参考答案:C4.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是()A. B.C. D.参考答案:A试题分析:由题意得,函数和函数在区间上为减函数;函数在区间上先减后增的函数,故选A.考点:函数的单调性.5.参考答案:D略6.观察下列数表规律则发生在数2012附近的箭头方向是(
)
A.
B.
C.
D.参考答案:D7.集合,,则A.B.C.D.参考答案:D略8.已知圆C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=5,直线l:x﹣y=0,则C关于l的对称圆C′的方程为()A.(x+1)2+(y+2)2=5 B.(x﹣2)2+(y﹣1)2=5 C.(x﹣2)2+(y+1)2=5 D.(x﹣1)2+(y+2)2=5参考答案:B【考点】关于点、直线对称的圆的方程.【分析】求出已知圆的圆心和半径,设出对称圆的圆心C′(a,b),由CC′⊥l,且CC′的中点在直线l上,可得×1=﹣1,且﹣=0,解得a、b的值,即可得到对称圆的方程.【解答】解:∵圆C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=5,故圆心C(1,2),半径等于.设C′(a,b),则有CC′⊥l,且CC′的中点在直线l上.故有×1=﹣1,且﹣=0,解得a=2,b=1.又对称圆和已知的圆半径相同,故对称圆的方程为(x﹣2)2+(y﹣1)2=5,故选B.9.函数的定义域是A
B.C.
D.参考答案:C由二次根式的定义可得:,解得:10.已知,若,则的值是(
)A.
B.或
C.,或
D.参考答案:D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设是定义域为R,最小正周期为的周期函数,若则________
参考答案:略12.在平面直角坐标系xOy中,圆,若圆C上存在以G为中点的弦AB,且,则实数m的取值范围为_________.参考答案:(或)由于圆存在以为中点的弦,且,所以,如图,过点作圆的两条切线,切点分别为,圆上要存在满足题意的点,只需,即,连接,,由于,,,解得.【点睛】已知圆的圆心在直线上,半径为,若圆存在以为中点的弦,且,说明,就是说圆上存在两点,使得.过点作圆的两条切线,切点分别为,圆上要存在满足题意的点,只需,即,则只需,列出不等式解出的范围.13.已知α是第二象限角,,则sin2α=.参考答案:﹣【考点】二倍角的正弦.【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα,sinα的值,进而利用二倍角的正弦函数公式可求sin2α的值.【解答】解:∵α是第二象限角,,∴cosα=﹣=﹣=﹣,可得:sinα==,∴sin2α=2sinαcosα=2×(﹣)×=﹣.故答案为:﹣.14.以间的整数为分子,以m为分母组成分数集合,其所有元素和为;以间的整数为分子,以为分母组成不属于集合的分数集合,其所有元素和为;……,依次类推以间的整数为分子,以为分母组成不属于的分数集合,其所有元素和为;则________.参考答案:【分析】先得出的规律,再根据等差数列的和求解。【详解】由题意得:【点睛】非常见数列的求和的突破在于规律,由特殊到一般是找规律的常用方法。15.sin215°﹣cos215°=.参考答案:﹣【考点】二倍角的余弦.【专题】三角函数的求值.【分析】由条件利用二倍角的余弦公式化简所给的式子可得结果.【解答】解:,故答案为:﹣.【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用,属于基础题.16.已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)﹣f(x)=2x+9,则函数f(x)的解析式为.参考答案:f(x)=x+3【考点】一次函数的性质与图象.
【专题】待定系数法;函数的性质及应用.【分析】用待定系数法,根据题意,设出f(x)的解析式,代入方程,利用多项式相等求出系数a、b即可.【解答】解:根据题意,设f(x)=ax+b,a、b∈R,且a≠0;∴f(x+1)=a(x+1)+b,∴3f(x+1)﹣f(x)=3[a(x+1)+b]﹣(ax+b)=2ax+(3a+2b)=2x+9;∴,解得a=1,b=3;∴f(x)=x+3.故答案为:f(x)=x+3.【点评】本题考查了利用待定系数法求函数解析式的应用问题,解题时应设出函数的解析式,求出未知系数,是基础题.17.已知向量a=(3,4),b=(sin,cos),且a//b,则tan的值为
.参考答案:三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(如图)某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室,在温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道,沿前侧内墙保留3米宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?
参考答案:解析:设矩形的一边为米,则另一边长为米,因此种植蔬菜的区域宽为米,长为米,由得,所以其面积S=当且仅当即时等号成立,因此当矩形温室的边长各为40米,20米时,蔬菜的种植面积最大,最大种植面积是64819.设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(Ⅰ)求B的大小;(Ⅱ)若,求的取值范围.参考答案:(1)(2)【分析】(Ⅰ)由条件利用正弦定理求得sinB的值,可得B的值(Ⅱ)使用正弦定理用sinA,sinC表示出a,c,得出a+c关于A的三角函数,根据A的范围和正弦函数的性质得出a+c的最值.【详解】解(Ⅰ)锐角又,,由正弦定理得,∴.
∴的取值范围为【点睛】本题主要考查正弦定理,余弦定理的应用,基本不等式的应用,属于基础题.20.(本小题满分14分)如图(5),已知三棱柱BCF-ADE的侧面CFED与ABFE都是边长为1的正方形,M、N两点分别在AF和CE上,且AM=EN.(1)求证:平面ABCD平面ADE;(2)求证:MN//平面BCF;
(3)若点N为EC的中点,点P为EF上的动点,试求PA+PN的最小值.参考答案:解:(1)∵四边形CFED与ABFE都是正方形∴又,
∴平面,---------------2分又∵,∴平面∵平面ABCD,∴平面ABCD平面ADE-------------------------4分(2)证法一:过点M作交BF于,过点N作交BF于,连结,------------5分∵∴又∵
∴--------------------------------7分∴四边形为平行四边形,---------------------------------------------8分----------10分[法二:过点M作交EF于G,连结NG,则-----------------------------------------------------------6分,------------7分同理可证得,又,∴平面MNG//平面BCF--------9分∵MN平面MNG,
.--------------------------------------------10分](3)如图将平面EFCD绕EF旋转到与ABFE在同一平面内,则当点A、P、N在同一直线上时,PA+PN最小,------------------------------------11分在△AEN中,∵由余弦定理得,------13分∴
即.-----------------------14分略21.(本小题满分12分)已知函数
(1)求实数a的取值范围,使函数在区间[-5,5]上是单调函数;(2)若,记的最小值为,求的表达式参考答案:(1)
∴
…………………5分(2)当,即时,;…………………7分当,即时,f(
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