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上海市松江九峰实验中学2022年高三数学理联考试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.过点(3,1)作圆的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为(
)A. B. C. D.参考答案:A2.若实数满足,则有
A.最大值
B.最小值C.最大值6
D.最小值6参考答案:B3.已知平面上不共线的四点O,A、B、C,若
A.2
B.3
C.4
D.5参考答案:C略4.已知函数在,点处取到极值,其中是坐标原点,在曲线上,则曲线的切线的斜率的最大值的最大值是A.
B.
C.
D.参考答案:A略5.若A为不等式组表示的平面区域,则当a从﹣2连续变化到1时,则直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为()A.1 B. C. D.参考答案:D【考点】简单线性规划.【分析】先由不等式组画出其表示的平面区域,再确定动直线x+y=a的变化范围,最后由三角形面积公式解之即可.【解答】解:如图,不等式组表示的平面区域是△AOB,动直线x+y=a(即y=﹣x+a)在y轴上的截距从﹣2变化到1.知△ADC是斜边为3的等腰直角三角形,△EOC是直角边为1等腰直角三角形,所以区域的面积S阴影=S△ADC﹣S△EOC=×3×﹣×1×1=故答案为:D.6.复数=()A.2+i
B.2-i
C.1+2i
D.1-2i参考答案:C略7.已知在函数()的图象上有一点,该函数的图象与x轴、直线x=-1及x=t围成图形(如图阴影部分)的面积为S,则S与t的函数关系图可表示为(
)参考答案:B由题意知,当时,面积原来越大,但增长的速度越来越慢.当时,S的增长会越来越快,故函数S图象在轴的右侧的切线斜率会逐渐增大,选B.8.,设R,若为纯虚数,则的值为A.-1
B.1
C.0
D.1参考答案:B略9.若两个非零向量,满足,则向量与的夹角为()A.
B. C.
D.参考答案:B略10.已知实数等比数列{an}的前n项和为Sn,则下列结论中一定成立的
A.若,则
B.若,则
C.若,则 D.若,则参考答案:【知识点】数列
D3C
解析:设,因为所以A,B不成立,对于C,当时,,因为同号,所以,所以C正确,对于D,取-1,1,-1,1,不满足条件,D错,故选C.【思路点拨】根据等比数列的定义可判定正确选项.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若复数是纯虚数,则实数a的值为.参考答案:1【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则求得z的值,再根据它是纯虚数,求得实数a的值.【解答】解:∵复数==为纯虚数,故有a﹣1=0,且a+1≠0,解得a=1,故答案为:1.【点评】本题主要考查复数的基本概念,两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,属于基础题.12.双曲线的左右焦点分别为F1、F2,已知线段F1F2被点(b,0)分成5:1两段,则此双曲线的离心率为
.参考答案:答案:
13.已知=(m,n﹣1),=(1,1)(m、n为正数),若⊥,则+的最小值是.参考答案:3+2【考点】7F:基本不等式;9R:平面向量数量积的运算.【分析】利用向量垂直的充要条件列出方程得到m,n满足的条件;将待求的式子+乘以m+n后展开;利用基本不等式求出最值.【解答】解:∵=(m,n﹣1),=(1,1),⊥∴?=m+n﹣1=0∴m+n=1又∵m、n为正数∴+=(+)?(m+n)=3+(+)≥3+2当且仅当2m2=n2时取等号故答案为:3+214.已知一条抛物线的焦点是直线与x轴的交点,若抛物线与直线l交两点A,B,且,则___________.参考答案:根据题意设抛物线方程为与直线方程联立方程组,化简整理得,,进一步整理,,另设,则有,则①,根据题意,直线l与x轴的焦点为,抛物线焦点为,即,,代入到①中,得,解得或(舍),即.15.设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在非零常数T,对于任意x∈D,都有f(x+T)=T?f(x),则称函数y=f(x)是“似周期函数”,非零常数T为函数y=f(x)的“似周期”.现有下面四个关于“似周期函数”的命题:①如果“似周期函数”y=f(x)的“似周期”为﹣1,那么它是周期为2的周期函数;②函数f(x)=x是“似周期函数”;③函数f(x)=2﹣x是“似周期函数”;④如果函数f(x)=cosωx是“似周期函数”,那么“ω=kπ,k∈Z”.其中是真命题的序号是.(写出所有满足条件的命题序号)参考答案:①③④考点:抽象函数及其应用.
专题:计算题;函数的性质及应用.分析:由题意,首先理解似周期函数的定义,从而解得.解答:解:①如果“似周期函数”y=f(x)的“似周期”为﹣1,则f(x﹣1)=﹣f(x),即f(x﹣1)=﹣f(x)=﹣(﹣f(x+1))=f(x+1);故它是周期为2的周期函数;故正确;②若函数f(x)=x是“似周期函数”,则存在非零常数T,使f(x+T)=T?f(x),即x+T=Tx;故(1﹣T)x+T=0恒成立;故不存在T.故假设不成立,故不正确;③若函数f(x)=2﹣x是“似周期函数”,则存在非零常数T,使f(x+T)=T?f(x),即2﹣x﹣T=T?2﹣x,即(T﹣2﹣T)?2﹣x=0;而令y=x﹣2﹣x,作图象如下,故存在T>0,使T﹣2﹣T=0;故正确;④若函数f(x)=cosωx是“似周期函数”,则存在非零常数T,使f(x+T)=T?f(x),即cos(ωx+ωT)=Tcosωx;故T=1或T=﹣1;故“ω=kπ,k∈Z”.故正确;故答案为:①③④.点评:本题考查了学生对新定义的接受与应用能力,属于中档题.16.已知正数满足,则的最大值为
,当且仅当
.参考答案:
试题分析:由题设可得,故,解之得,此时,故应填.考点:二次不等式和二次方程的解法及运用.17.观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,根据上述规律,第五个等式为______________________________.参考答案:13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212.由13+23=(1+2)2=32,13+23+33=(1+2+3)2=62,13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102,13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2=152,则第五个式子为:13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(本题12分)如图,四棱锥的底面是边长为1的正方形,侧棱底面ABCD.且,E是侧棱上的动点。(1)求三棱锥C-PBD的体积;(2)如果E是PA的中点,求证PC//平面BDE;(3)是否不论点E在侧棱PA的任何位置,都有?证明你的结论..参考答案:19.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,且其图象上相邻两对称轴之间的距离为π.(Ⅰ)求函数f(x)的表达式.(Ⅱ)若sinα+f(α)=,求的值.参考答案:【考点】三角函数的周期性及其求法;同角三角函数基本关系的运用.【专题】综合题.【分析】(I)函数是偶函数,求出?,利用图象上相邻两对称轴之间的距离为π,求出ω,即可求得函数f(x)的表达式.(II)利用两角和的正弦以及弦切互化,化简为sinαcosα,应用,求出所求结果即可.【解答】解:(I)∵f(x)为偶函数∴sin(﹣ωx+?)=sin(ωx+?)即2sinωxcos?=0恒成立∴cos?=0,又∵0≤?≤π,∴又其图象上相邻对称轴之间的距离为π∴T=2π∴ω=1∴f(x)=cosx(II)∵原式=又∵,∴即,故原式=【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法,同角三角函数基本关系的运用,考查计算能力,是基础题.20.(本小题满分13分)设椭圆:的左、右焦点分别为是椭圆上一点,,原点到直线的距离是.(1)求椭圆的离心率;(2)若的面积是,求椭圆的方程;
(3)在(2)的条件下,若直线与椭圆交于两点,问:是否存在实数使为钝角?如果存在,求出的范围;如果不存在,说明理由.参考答案:解:(1)设,,∵,不妨设,又∵点在椭圆上,∴,从而得,直线的方程为,整理可得,由题设,原点到直线的距离为,即,将代入上式化简得,∴,,.
…………5分(2)由题设,∴,所求椭圆方程为
…………8分(3)设,,将直线代入并化简得,由韦达定理知,,且,∴,由题设是钝角,即.∴,∴,∴,∴,解得,上式满足,
故存在满足条件.…………13分
略21.(本小题满分12分)设椭圆()的离心率为,圆与x轴正半轴交于点A,圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于点M,N,试判断是否为定值?若为定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.
参考答案:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为,由椭圆的离心率为知,,∴椭圆的方程可设为.易求得,∴点在椭圆上,∴,解得,∴椭圆的方程为.
…………5分(Ⅱ)当过点且与圆相切的切线斜率不存在时,不妨设切线方程为,由(Ⅰ)知,,,∴.当过点且与圆相切的切线斜率存在时,可设切线的方程为,,∴,即.联立直线和椭圆的方程得,∴,得.∵,∴,,∴.综上所述,圆上任意一点处的切线交椭圆于点,都有.在中,由与相似得,为定值.
…………12分
22.设椭圆C:=1(a>b>0)的焦点F1,F2,过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点,若△PQF1的周长为短轴长的2倍.(Ⅰ)求C的离心率;(Ⅱ)设l的斜率为1,在C上是否存在一点M,使得?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.参考答案:【考点】K4:椭圆的简单性质.【分析】(Ⅰ)由椭圆的焦点F1,F2,过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点,△PQF1的周长为短轴长的2倍,得到,由此能求出椭圆C的离心率.(Ⅱ)设椭圆方程为,直线的方程为y=x﹣c,代入椭
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