上海市松江九峰实验中学2022年高三数学理联考试题含解析

上海市松江九峰实验中学2022年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.过点(3,1)作圆的两条切线，切点分别为A,B，则直线AB的方程为（

）A． B． C． D．参考答案：A2.若实数满足，则有

A．最大值

B．最小值C．最大值6

D．最小值6参考答案：B3.已知平面上不共线的四点O，A、B、C，若

A．2

B．3

C．4

D．5参考答案：C略4.已知函数在，点处取到极值，其中是坐标原点，在曲线上，则曲线的切线的斜率的最大值的最大值是A．

B．

C．

D．参考答案：A略5.若A为不等式组表示的平面区域，则当a从﹣2连续变化到1时，则直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为（）A．1 B． C． D．参考答案：D【考点】简单线性规划．【分析】先由不等式组画出其表示的平面区域，再确定动直线x+y=a的变化范围，最后由三角形面积公式解之即可．【解答】解：如图，不等式组表示的平面区域是△AOB，动直线x+y=a（即y=﹣x+a）在y轴上的截距从﹣2变化到1．知△ADC是斜边为3的等腰直角三角形，△EOC是直角边为1等腰直角三角形，所以区域的面积S阴影=S△ADC﹣S△EOC=×3×﹣×1×1=故答案为：D．6.复数＝()A．2＋i

B．2－i

C．1＋2i

D．1－2i参考答案：C略7.已知在函数（）的图象上有一点，该函数的图象与x轴、直线x＝－1及x＝t围成图形（如图阴影部分）的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为（

）参考答案：B由题意知，当时，面积原来越大，但增长的速度越来越慢.当时，S的增长会越来越快，故函数S图象在轴的右侧的切线斜率会逐渐增大，选B．8.,设R，若为纯虚数，则的值为A．-1

B．1

C．0

D．1参考答案：B略9.若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为（）A．

B． C．

D．参考答案：B略10.已知实数等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列结论中一定成立的

A．若，则

B．若，则

C．若，则 D．若，则参考答案：【知识点】数列

D3C

解析：设，因为所以A,B不成立，对于C,当时，，因为同号，所以，所以C正确，对于D,取-1，1，-1，1，不满足条件，D错，故选C.【思路点拨】根据等比数列的定义可判定正确选项.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若复数是纯虚数，则实数a的值为．参考答案：1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则求得z的值，再根据它是纯虚数，求得实数a的值．【解答】解：∵复数==为纯虚数，故有a﹣1=0，且a+1≠0，解得a=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．12.双曲线的左右焦点分别为F1、F2，已知线段F1F2被点（b,0）分成5：1两段，则此双曲线的离心率为

.参考答案：答案：

13.已知=（m，n﹣1），=（1，1）（m、n为正数），若⊥，则+的最小值是．参考答案：3+2【考点】7F：基本不等式；9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量垂直的充要条件列出方程得到m，n满足的条件；将待求的式子+乘以m+n后展开；利用基本不等式求出最值．【解答】解：∵=（m，n﹣1），=（1，1），⊥∴?=m+n﹣1=0∴m+n=1又∵m、n为正数∴+=（+）?（m+n）=3+（+）≥3+2当且仅当2m2=n2时取等号故答案为：3+214.已知一条抛物线的焦点是直线与x轴的交点，若抛物线与直线l交两点A，B，且，则___________．参考答案：根据题意设抛物线方程为与直线方程联立方程组，化简整理得，，进一步整理，，另设，则有，则①，根据题意，直线l与x轴的焦点为，抛物线焦点为，即，，代入到①中，得，解得或（舍），即．15.设函数y=f（x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x∈D，都有f（x+T）=T?f（x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数T为函数y=f（x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数；②函数f（x）=x是“似周期函数”；③函数f（x）=2﹣x是“似周期函数”；④如果函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”．其中是真命题的序号是．（写出所有满足条件的命题序号）参考答案：①③④考点：抽象函数及其应用．

专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意，首先理解似周期函数的定义，从而解得．解答：解：①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，则f（x﹣1）=﹣f（x），即f（x﹣1）=﹣f（x）=﹣（﹣f（x+1））=f（x+1）；故它是周期为2的周期函数；故正确；②若函数f（x）=x是“似周期函数”，则存在非零常数T，使f（x+T）=T?f（x），即x+T=Tx；故（1﹣T）x+T=0恒成立；故不存在T．故假设不成立，故不正确；③若函数f（x）=2﹣x是“似周期函数”，则存在非零常数T，使f（x+T）=T?f（x），即2﹣x﹣T=T?2﹣x，即（T﹣2﹣T）?2﹣x=0；而令y=x﹣2﹣x，作图象如下，故存在T＞0，使T﹣2﹣T=0；故正确；④若函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，则存在非零常数T，使f（x+T）=T?f（x），即cos（ωx+ωT）=Tcosωx；故T=1或T=﹣1；故“ω=kπ，k∈Z”．故正确；故答案为：①③④．点评：本题考查了学生对新定义的接受与应用能力，属于中档题．16.已知正数满足，则的最大值为

，当且仅当

.参考答案：

试题分析:由题设可得,故,解之得,此时,故应填.考点：二次不等式和二次方程的解法及运用．17.观察下列等式：13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…，根据上述规律，第五个等式为______________________________.参考答案：13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212.由13+23=(1+2)2=32，13+23+33=(1+2+3)2=62，13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102，13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2=152，则第五个式子为:13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题12分）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面ABCD.且，E是侧棱上的动点。（1）求三棱锥C-PBD的体积；（2）如果E是PA的中点，求证PC//平面BDE；（3）是否不论点E在侧棱PA的任何位置，都有？证明你的结论..参考答案：19.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式．（Ⅱ）若sinα+f（α）=，求的值．参考答案：【考点】三角函数的周期性及其求法；同角三角函数基本关系的运用．【专题】综合题．【分析】（I）函数是偶函数，求出?，利用图象上相邻两对称轴之间的距离为π，求出ω，即可求得函数f（x）的表达式．（II）利用两角和的正弦以及弦切互化，化简为sinαcosα，应用，求出所求结果即可．【解答】解：（I）∵f（x）为偶函数∴sin（﹣ωx+?）=sin（ωx+?）即2sinωxcos?=0恒成立∴cos?=0，又∵0≤?≤π，∴又其图象上相邻对称轴之间的距离为π∴T=2π∴ω=1∴f（x）=cosx（II）∵原式=又∵，∴即，故原式=【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，同角三角函数基本关系的运用，考查计算能力，是基础题．20.（本小题满分13分）设椭圆：的左、右焦点分别为是椭圆上一点，，原点到直线的距离是．（1）求椭圆的离心率；（2）若的面积是，求椭圆的方程；

（3）在（2）的条件下，若直线与椭圆交于两点，问：是否存在实数使为钝角？如果存在，求出的范围；如果不存在，说明理由．参考答案：解：（1）设，，∵,不妨设，又∵点在椭圆上，∴，从而得，直线的方程为，整理可得，由题设，原点到直线的距离为,即，将代入上式化简得，∴，，．

…………5分（2）由题设，∴，所求椭圆方程为

…………8分（3）设，，将直线代入并化简得，由韦达定理知，，且，∴，由题设是钝角，即．∴，∴，∴，∴，解得，上式满足，

故存在满足条件．…………13分

略21.(本小题满分12分)设椭圆()的离心率为，圆与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于点M，N，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.

参考答案：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为，由椭圆的离心率为知，，∴椭圆的方程可设为.易求得，∴点在椭圆上，∴，解得，∴椭圆的方程为.

…………5分(Ⅱ)当过点且与圆相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为，由(Ⅰ)知，，，∴.当过点且与圆相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为，，∴，即.联立直线和椭圆的方程得，∴，得.∵，∴，，∴.综上所述，圆上任意一点处的切线交椭圆于点，都有.在中，由与相似得，为定值.

…………12分

22.设椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，若△PQF1的周长为短轴长的2倍．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设l的斜率为1，在C上是否存在一点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，△PQF1的周长为短轴长的2倍，得到，由此能求出椭圆C的离心率．（Ⅱ）设椭圆方程为，直线的方程为y=x﹣c，代入椭