上海市闸北第五中学2023年高三数学理月考试题含解析

上海市闸北第五中学2023年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）A． B．（4+π） C． D．参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是一个组合体，是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体，圆柱的底面直径和母线长都是2，四棱锥的底面是一个边长是2的正方形，做出圆锥的高，根据圆锥和圆柱的体积公式得到结果．【解答】解：由三视图知，几何体是一个组合体，是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体，圆柱的底面直径和母线长都是2，四棱锥的底面是一个边长是2的正方形，四棱锥的高与圆锥的高相同，高是=，∴几何体的体积是=，故选D．2.设函数

，若，则的取值范围是

（

）

（A）（，1）

（B）（，）

（C）（，）（0，）

（D）（，）（1，）参考答案：答案：D3.等差数列x1，x2，x3，…，x11的公差为1，若以上述数据x1，x2，x3，…，x11为样本，则此样本的方差为（）A．10 B．20 C．55 D．5参考答案：A【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】等差数列中，x1，x2，x3，…，x11的平均数是x6，由此能求出以数据x1，x2，x3，…，x11组成的样本的方差．【解答】解：∵等差数列x1，x2，x3，…，x11的公差为1，x1，x2，x3，…，x11的平均数是x6，∴以数据x1，x2，x3，…，x11为样本，则此样本的方差：S2=[（x1﹣x6）2+（x2﹣x6）2+（x3﹣x6）2+（x4﹣x6）2+（x5﹣x6）2+（x6﹣x6）2+（x7﹣x6）2+（x8﹣x6）2+（x9﹣x6）2+（x10﹣x6）2+（x11﹣x6）2]=（25+16+9+4+1+0+1+4+9+16+25）=10．故选：A．4.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当时，都有成立，设，，，则a、b、c的大小关系为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得，分析可得在上为减函数，据此分析可得答案．【详解】由于当时，都有成立，故在上为减函数，，，而，所以，即.故答案为D.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数单调性，属于中档题．5.平面上画了一些彼此相距的平行线，把一枚半径的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率是

（

）

参考答案：A6.设集合A={1,2,3,4}，，则(A){1,2,3,4}

(B){－3,－2,－1,0,1,2,3,4}

(C){1,2,3}

(D){1,2}参考答案：C7.已知双曲线的左右焦点分别为，以为直径作圆，再以为直径作圆，两圆的交点恰好在已知的双曲线上，则该双曲线的离心率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D8.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是

（

）

A.2

B.3

C.

D.参考答案：A略9.若函数只有一个极值点，则k的取值范围为A.(－∞,e) B.(0,e] C.(－∞,2) D.(0,2]参考答案：B【分析】利用函数求导函数f′（x）＝ex（x﹣2）﹣kx2+2kx＝（x﹣2）（ex﹣kx），只有一个极值点时f′（x）＝0只有一个实数解，有ex﹣kx≥0，设新函数设u（x）＝ex，v（x）＝kx，等价转化数形结合法即可得出结论，【详解】解：函数f（x）＝ex（x﹣3）﹣kx3+kx2只有一个极值点，f′（x）＝ex（x﹣2）﹣kx2+2kx＝（x﹣2）（ex﹣kx），若函数f（x）＝ex（x﹣3）﹣kx3+kx2只有一个极值点，f′（x）＝0只有一个实数解，则：ex﹣kx≥0，从而得到：ex≥kx，当k＝0时，成立．当k≠0时，设u（x）＝ex，v（x）＝kx如图：当两函数相切时，k＝e，此时得到k的最大值，但k＜0时不成立．故k的取值范围为：（0，e]综上：k的取值范围为：[0，e]故选：B．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值点、考查了不等式问题的等价转化方法，数形结合法，考查了推理能力，属于中档题．

10.设偶函数，当时，，则

A．

B．

C．

D．

参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.三视图如下的几何体的体积为

.参考答案：1由三视图知：原几何体为四棱锥，四棱锥的底面是直角梯形，上下底边长分别为2和1，高为1，四棱锥的高为2，所以该几何体的体积为。12.已知幂函数f(x)＝，若f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围是________．参考答案：（3，5）13.函数的定义域为__________．参考答案：略14.若展开式中项的系数为－12，则a=

；常数项是

.

参考答案：2，60；15.在等差数列{an}中，a4=5，a7=11，设bn=（﹣1）nan，则数列{bn}的前101项之和S101=．参考答案：﹣99

【考点】等差数列的前n项和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】设等差数列{an}的公差为d，由a4=5，a7=11，可得，解得a1，d．可得an．可得b2n﹣1+b2n=﹣a2n﹣1+a2n．即可得出数列{bn}的前101项之和S101．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a4=5，a7=11，∴，解得a1=﹣1，d=2．∴an=﹣1+2（n﹣1）=2n﹣3．∴b2n﹣1+b2n=﹣a2n﹣1+a2n=2．则数列{bn}的前101项之和S101=2×50﹣a101=100﹣（2×100﹣1）=﹣99．故答案为：﹣99．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和关系、分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.已知向量和的夹角为，，则_______参考答案：略17.已知集合，则的子集个数为

___▲____．参考答案：4集合，，则，则的子集是：，，，，共4个.故答案为：4.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.选修4-5：不等式选讲设函数，.(Ⅰ)当时，求不等式的解集；(Ⅱ)若恒成立，求实数a的取值范围.参考答案：解：(1)当时，所以或或解得或或综上，不等式的解集为.(2)，转化为令，，时，，令，得.

19..如图，在△ABC中，点D在边AB上，，，，.（1）求BC的长：（2）求△ABC的面积．参考答案：（1）；（2）【分析】（1）在中利用余弦定理可求，在中，可求.（2）在中求出边上的高为，利用面积公式可求.【详解】（1）∵在中，，．∴由余弦定理可得：，可得：，由于，∴解得，∵，∴，又∵，∴．（2）在中，，，∴点到的距离，而，∴面积．【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.20.(本题满分14分)已知函数，，是实数.（Ⅰ）若在处取得极大值，求的值；（Ⅱ）若在区间为增函数，求的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，函数有三个零点，求的取值范围．参考答案：(I)解：

……………1分由在处取得极大值，得，…2分所以（适合题意）.

…3分(II)，因为在区间为增函数，所以在区间恒成立，

…5分所以恒成立，即恒成立．

………………6分由于，得．的取值范围是．

…7分(III)，故，得或．……………8分当时，，在上是增函数，显然不合题意．…………9分当时，、随的变化情况如下表：+00+↗极大值↘极小值↗…11分要使有三个零点，故需，

…13分解得．所以的取值范围是．

…14分21.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，2Sn=（n+1）an，数列{bn}中，bn=2．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）由题意可知：两式相减2an=（n+1）an﹣nan﹣1，则=，采用“累乘法”即可求得数列{an}，bn=2=2n+1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：=﹣，即可求得Tn．【解答】解：（Ⅰ）当n≥2时，由2Sn=（n+1）an，则2Sn﹣1=nan﹣1，两式相减得：2an=（n+1）an﹣nan﹣1，整理得：=，由an=??…?=??…??1=n，（n≥2），当n=1时，a1=1，∴an=n，（n∈N*）；由bn=2=2n+1．∴{bn}的通项公式bn=2n+1；（Ⅱ）