广西壮族自治区柳州市鹿寨县雒容中学2021-2022学年高二数学理测试题含解析

广西壮族自治区柳州市鹿寨县雒容中学2021-2022学年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若向量，满足，与的夹角为60°，则等于（

）A. B. C.4 D.12参考答案：B【分析】将平方后再开方去计算模长，注意使用数量积公式.【详解】因为，所以，故选：B.【点睛】本题考查向量的模长计算，难度一般.对于计算这种形式的模长，可通过先平方再开方的方法去计算模长.2.已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是(

)A．x3＞y3 B．sinx＞sinyC．ln（x2+1）＞ln（y2+1） D．＞参考答案：A【考点】指数函数的图像与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键．【解答】解：∵实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），∴x＞y，A．当x＞y时，x3＞y3，恒成立，B．当x=π，y=时，满足x＞y，但sinx＞siny不成立．C．若ln（x2+1）＞ln（y2+1），则等价为x2＞y2成立，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＞y2不成立．D．若＞，则等价为x2+1＜y2+1，即x2＜y2，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＜y2不成立．故选：A．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．3.若双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的方程是（

）．A. B. C. D.参考答案：A【分析】先由渐近线方程，设双曲线方程为，再由题意，即可求出结果.【详解】解：因为双曲线的渐近线方程为，所以，可设双曲线标准方程为：，∵双曲线过，代入方程得，∴双曲线方程：．故选A．4.一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A5.曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化为直角坐标为（）A．x2+（y+2）2=4 B．x2+（y﹣2）2=4 C．（x﹣2）2+y2=4 D．（x+2）2+y2=4参考答案：B【考点】Q7：极坐标系和平面直角坐标系的区别；Q8：点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】曲线的极坐标方称即ρ2=4ρsinθ，即x2+y2=4y，化简可得结论．【解答】解：曲线的极坐标方程ρ=4sinθ即ρ2=4ρsinθ，即x2+y2=4y，化简为x2+（y﹣2）2=4，故选：B．6.已知a>0且a≠1，则两函数f(x)＝ax和g(x)＝loga的图象只可能是()参考答案：C略7.

执行如图所示的程序框图，输出的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C8.甲乙进行围棋比赛约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛结束，每局中甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，各局比赛相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局，则再赛2局结束这次比赛的概率为（

）A.0.36

B.0.52

C.0.24

D.0.648参考答案：B略9.已知△ABC内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若cosB=，b=2，sinC=2sinA，则△ABC的面积为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】正弦定理．

【专题】解三角形．【分析】由题意和正余弦定理可得a，c的值，由同角三角函数的基本关系可得sinB，代入三角形的面积公式计算可得．【解答】解：∵sinC=2sinA，∴由正弦定理可得c=2a，又cosB=，b=2，由余弦定理可得22=a2+（2a）2﹣2a?2a×，解得a=1，∴c=2，又cosB=，∴sinB==，∴△ABC的面积S=acsinB=×=故选：B【点评】本题考查三角形的面积，涉及正余弦定理的应用，属基础题．10.已知a,b,c?R,则下面推理中正确的是(

)A、a>bam2>bm2

B、a>b

C、a3>b3,ab>0

D、a2>b2,ab>0参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如果正整数的各位数字之和等于7，那么称为“幸运数”（如：7，25，2014等均为“幸运数”），将所有“幸运数”从小到大排成一列若，则_________．参考答案：6612.如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有__________种（用数字作答）．参考答案：630.【分析】分别计算第三个格子与第一个格子同色，以及第三个格子与第一个格子不同色，所对应的不同涂色方法，即可求出结果.【详解】用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，若第三个格子与第一个格子同色，则有种涂色方法；若第三个格子与第一个格子不同色，则有种涂色方法；综上，共有种涂色方法.故答案为630【点睛】本题主要考查排列中的涂色问题，根据分类讨论的思想，即可求解，属于常考题型.13.如图，直角梯形A1BA2C中，A1C=CA2，5A1B=4A1C，M是A1B的中点，N是BA2上的动点，将△A1CM沿MC折起，将△CNA2沿CN折起，使A1和A2重合为A点，设AC和平面CMN所成的最大角是α，则tanα=

。

参考答案：14.设函数，若，则

．参考答案：15.OX，OY，OZ是空间交于同一点O的互相垂直的三条直线，点到这三条直线的距离分别为3，4，5，则长为_______.参考答案：516.在极坐标系中，直线ρsinθ+ρcosθ=2被圆ρ=2截得的弦长为

．参考答案：4【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】36：整体思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式求出弦心距，再利用弦长公式求得弦长．【解答】解：∵直线ρsinθ+ρcosθ=2，∴直角坐标方程为x+y﹣2=0，圆ρ=2即x2+y2=8，表示以原点为圆心、半径等于2的圆．弦心距d==2，可得弦长为2=2=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题．17.已知F1,F2分别是椭圆C:的左右焦点，A是其上顶点，且是等腰直角三角形，延长AF2与椭圆C交于另一点B,若的面积是8，则椭圆C的方程是

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）如图，在边长为a的菱形ABCD中，，E,F是PA和AB的中点。（1）求证：EF||平面PBC;（2）求E到平面PBC的距离。参考答案：见解析【知识点】点线面的位置关系（1）证明：

又

故（2）解：在面ABCD内作过F作

…

又，，

又，故点E到平面PBC的距离等于点F到平面PBC的距离FH。

在直角三角形FBH中，，

…故点E到平面PBC的距离等于点F到平面PBC的距离等于。19.如图，已知中心在坐标原点的椭圆C，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，右顶点到右准线的距离为2，离心率为．过椭圆的左焦点F1任意作一条直线l与椭圆交于A，B两点．设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）当直线l的斜率k=1时，求三角形ABF2的面积；（3）当直线l绕F1旋转变化时，求三角形ABF2的面积的最大值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由=2，e==，求得a和c的值，b2=a2﹣c2，即可求得椭圆C的标准方程；（2）由（1）可知：直线l的方程为y=x+1，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式即可求得△ABF2的面积；（3）设直线l的方程为x=my﹣1，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式及函数的单调性记录求得△ABF2的面积的最大值．【解答】解：（1）由题意可知：=2，e==，解得：a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：；（2）直线l的方程为y=x+1，则，整理得：7y2﹣6y﹣9=0，则y1+y2=，y1?y2=﹣，丨y1﹣y2丨==，∴三角形ABF2的面积S=×2c×丨y1﹣y2丨=；三角形ABF2的面积；（3）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为x=my﹣1，，整理得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，由韦达定理可知：y1+y2=，y1?y2=﹣，丨y1﹣y2丨==，设t=t≥1，则m2=t2﹣1，丨y1﹣y2丨===，f（t）=3t+，f′（t）=3﹣＞0，函数f（t）单调递增，则当t=1时，丨y1﹣y2丨有最大值3，故三角形ABF2的面积的最大值为S=×2c×丨y1﹣y2丨max=3，综合可知：△ABF2的面积的最大值．20.(本题满分14分)已知直线（为参数），圆（为参数）

(1)当=时,求与的交点坐标;(2)过坐标原点O作的垂线,垂足为A,P为OA的中点.当变化时,求P点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.参考答案：解:(1)当α=时,C1的普通方程为y=

(x-1),C2的普通方程为x2+y2=1.（4分）联立方程组

（6分）(2)C1的普通方程为xsinα-ycosα-sinα=0.（7分）A点坐标为(sin2α,-cosαsinα).（9分）故当α变化时,P点轨迹的参数方程为21.（本小题满分10分）已知关于的不等式．(1)当时，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集为R，求实数的取值范围．参考答案：22.已知函数f（x）=sinx﹣2sin2（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最小值．参考答案：【考点】三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；三角函数的最值．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）=2sin（x+）﹣，由三角函数的周期性及其求法