山东省东营市陈庄镇中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析

山东省东营市陈庄镇中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数在区间上的最小值是（）A． B． C． D．0参考答案：B2.已知的实根个数是(

)A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：B略3.设是公比为q的等比数列，是它的前n项和，若是等差数列，则q的值等于（

）A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：答案：A4.已知双曲线的渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B渐近线方程化简为,顶点坐标，顶点到渐近线的距离为，解得，根据渐近线方程的斜率，可得,所以双曲线的方程为.选B.5.m是一条直线，α，β是两个不同的平面，以下命题正确的是(

)

A．若m∥α，α∥β，则m∥β B．若m∥α，∥β，则α∥β

C．若m∥α，α⊥β，则m⊥β D．若m∥α，m⊥β，则α⊥β参考答案：D略6.设，，则在上的投影的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B7.用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（

）A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+1参考答案：C【分析】考查不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为，然后判断n=k+1时增加的项数即可．【解答】解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；由n=k，末项为到n=k+1，末项为=，∴应增加的项数为2k．故选C．【点评】本题是基础题，考查数学归纳法证明问题的第二步，项数增加多少问题，注意表达式的形式特点，找出规律是关键．8.函数的图像大致为A

B

C

D参考答案：A9.已知正项等比数列{an}满足a7=a6+2a5．若存在两项am，an使得，则的最小值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】等比数列的性质．【分析】根据a7=a6+2a5，求出公比的值，利用存在两项am，an使得，写出m，n之间的关系，结合基本不等式得到最小值．【解答】解：设等比数列的公比为q（q＞0），则∵a7=a6+2a5，∴a5q2=a5q+2a5，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2，∵存在两项am，an使得，∴aman=16a12，∴qm+n﹣2=16，∴m+n=6∴=（m+n）（）=（10+）m=1，n=5时，=；m=2，n=4时，=．∴的最小值为，故选B．10.给出下列四个结论：（1）如图Rt△ABC中，|AC|=2，∠B=90°，∠C=30°．D是斜边AC上的点，|CD|=|CB|．以B为起点任作一条射线BE交AC于E点，则E点落在线段CD上的概率是；（2）设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为=0.85x﹣85.71，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg；（3）为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，应该用独立性检验最有说服力；（4）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）=0.79，则P（ξ≤﹣2）=0.21；其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】两个变量的线性相关；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】对四个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，|CD|=|CB|，∠C=30°，所以∠CBD=75°，所以E点落在线段CD上的概率是=，故不正确；（2）设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为=0.85x﹣85.71，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，正确；（3）为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，应该用独立性检验最有说服力，正确；（4）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），图象关于x=1对称，因为P（ξ≤4）=0.79，则P（ξ≤﹣2）=0.21，正确；故正确结论的个数为3，故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.圆锥底面半径为1，高为，点P是底面圆周上一点，则一动点从点P出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离是

．参考答案：12.设p：|4x－3|≤1；q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．[来源:学,科,网]参考答案：p：|4x－3|≤1?≤x≤1，q：(x－a)(x－a－1)≤0?a≤x≤a＋1由pq，得解得：0≤a≤．

13.采用系统抽样方法从600人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为001，002，…，600，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为003，抽到的50人中，编号落入区间[001，300]的人做问卷A，编号落入区间[301，495]的人做问卷B，编号落入区间[496，600]的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为．参考答案：8考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：由题意可得抽到的号码构成以3为首项、以12为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为an=12n﹣9，由496≤12n﹣9≤600，求得正整数n的个数，即为所求．解答：解：∵600÷50=12，∴由题意可得抽到的号码构成以3为首项、以12为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为an=3+12（n﹣1）=12n﹣9．落入区间[496，600]的人做问卷C，由496≤12n﹣9≤600，即505≤12n≤609解得42≤n≤50．再由n为正整数可得

43≤n≤50，∴做问卷C的人数为50﹣43+1=8，故答案为：8点评：本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，根据系统抽样的定义转化为等差数列是解决本题的关键，比较基础．14.设函数f（x）=，则方程f（x）=的解集为

．参考答案：{﹣1，}【考点】分段函数的应用；函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】结合指数函数和对数函数的性质，解方程即可．【解答】解：若x≤0，由f（x）=得f（x）=2x==2﹣1，解得x=﹣1．若x＞0，由f（x）=得f（x）=|log2x|=，即log2x=±，由log2x=，解得x=．由log2x=﹣，解得x==．故方程的解集为{﹣1，}．故答案为：{﹣1，}．【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用指数函数和对数函数的性质及运算是解决本题的关键．15.设定义在R上的函数有5个不同实数解，则的取值范围为：___。参考答案：16.将正整数1,2,3，……，n,……，排成数表如图所示，即第一行3个数，第二行6个数，且后一行比前一行多3个数，若第i行、第j列的数可用（i,j）表示，则2015可表示为

第1列第2列第3列第4列第5列第6列第7列第8列……第1行123

第2行987654

第3行1011121314151617…………

参考答案：17.函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，则的最小值为

.参考答案：9略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）设函数，函数（其中，e是自然对数的底数）．（Ⅰ）当时，求函数的极值；（Ⅱ）若在上恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设，求证：（其中e是自然对数的底数）．

参考答案：解答

（Ⅰ），函数，，当时，；当时，，故该函数在上单调递增，在上单调递减．∴函数在处取得极大值．····························································································································4分（Ⅱ）由题在上恒成立，∵，，∴，若，则，若，则恒成立，则．不等式恒成立等价于在上恒成立，·····6分令，则，又令，则，∵，．①当时，，则在上单调递减，∴，∴在上单减，∴，即在上恒成立；··7分②当时，．ⅰ）若，即时，，则在上单调递减，∴，∴在上单调递减，∴，此时在上恒成立；························8分ⅱ）若，即时，若时，，则在上单调递增，∴，∴在上也单调递增，∴，即，不满足条件．················································9分综上，不等式在上恒成立时，实数a的取值范围是．·····10分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，则，当时，，令，则，∴，∴，∴，······12分又由（Ⅰ）得，即，当x＞0时，，∴，，综上得，即．

13分19.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点P在C上且其横坐标为1，以F为圆心，|FP|为半径的圆与C的准线l相切．（1）求p的值；（2）设l与x轴交点E，过点E作一条直线与抛物线C交于A、B两点，求线段AB的垂直平分线在x轴上的截距的取值范围．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由直线和圆相切的条件：d=r，结合条件，即可求得p=2；（2）求出抛物线的方程，设出A，B的坐标，以及垂直平分线与x轴的交点的横坐标，由垂直平分线的性质，解得横坐标，再由直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，即可得到所求范围．【解答】解：（1）因为以F为圆心、|FP|为半径的圆与C的准线l相切，所以圆的半径为p，即|FP|=p，所以FP⊥x轴，又点P的横坐标为l，所以焦点F的坐标为（1，0），从而p=2；（2）由（1）知抛物线C的方程为y2=4x，设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的垂直平分线与x轴的交点D（x0，0），则由|DA|=|DB|，y12=4x1，y22=4x2，得（x1﹣x0）2+y12=（x2﹣x0）2+y22，化简得x0=+2①设直线AB的方程为x=my﹣1，代入抛物线C的方程，得y2﹣4my+4=0，由△＞0得m2＞1，由根与系数关系得y1+y2=4m，所以x1+x2=m（y1+y2）﹣2=4m2﹣2，代入①得x0=2m2+1＞3，故线段AB的垂直平分线在x轴上的截距的取值范围是（3，+∞）．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意正确设出直线方程，联立抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．20.已知函数f（x）=（x2﹣ax﹣a）ex．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若a∈（0，2），对于任意x1，x2∈[﹣4，0]，都有恒成立，求m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；根据函数的单调性求出f（x）的最大值，问题转化为m＞（e﹣2+1）恒成立，令g（x）=，x∈（0，2），根据函数的单调性求出m的范围即可．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=（x2﹣x﹣1）ex，∴f′（x）=（x2+x﹣2）ex，当f′（x）=（x2+x﹣2）ex＞0时，解得x＞1或x＜﹣2，函数单调递增，当f′（x）=（x2+x﹣2）ex＜0时，解得﹣2＜x＜1，函数单调递减，∴f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）上为增函数，在（﹣2，1）上为减函数；（2）f′（x）=（x+2）（x﹣a）ex，a∈（0，2）时，f（x）在（﹣4，﹣2）上单调递增，在（﹣2，0）单调递减，所以f（x）max=f（﹣2）=（a+4）e﹣2，f（﹣4）=（3a+16）e﹣4＞﹣a=f（0），故|f（x1）﹣f（x2）|max=|f（﹣2）﹣f（0）|=a（e﹣2+1）+4e﹣2，|f（x1）﹣f（x2）|＜4e﹣2+mea恒成立，即a（e﹣2+1）+4e﹣2＜4e﹣2+mea恒成立，即m＞（e﹣2+1）恒成立，令g（x）=，x∈（0，2），易知g（x）在其定义域上有最大值g（1）=，所以m＞．21.已知函数(m、n为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是．

(Ⅰ)求m、n的值；

(Ⅱ)求f(x)的最大值；

(Ⅲ)设(其中为f(x)的导函数)，证明：对任意x>0，都有．

(注：)参考答案：(Ⅰ)解：由，得 2分

由已知得，解得m=n 3分

又，∴n=2，m=2． 4分(Ⅱ)解：由(Ⅰ)得：

当x∈(0，1)时，