天津英华国际学校 2021-2022学年高三数学理联考试题含解析

天津英华国际学校2021-2022学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若向量＝（1，2），＝（－2，1），＝（3，－4），则＝A．(－5,0)

B．(－3,4)

C．(3,－4)

D．(－5,－4)参考答案：C2.函数f（x）=cos2x的周期是T，将f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A．最大值为1，图象关于直线x=对称B．在（0，）上单调递增，为奇函数C．在（，）上单点递增，为偶函数D．周期为π，图象关于点（，0）对称参考答案：B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性以及它的图象的对称性，得出结论．【解答】解：函数f（x）=cos2x的周期是T==π，将f（x）的图象向右平移=个单位长度后得到函数g（x）=cos2（x﹣）=sin2x的图象，可得g（x）的最大值为1，当x=时，g（x）=0，不是最值，故它的图象不关于直线x=对称，故排除A．g（x）在（0，）上单调递增，且g（x）为奇函数，故B正确．在（，）上，2x∈（﹣，），sin2x没有单调性，故g（x）没有单调性，故C错误．令x=，求得g（x）=sin2x=，不是最值，故g（x）的图象不关于点（，0）对称，故D错误，故选：B．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性以及它的图象的对称性，属于基础题．3.函数的最小值和最大值分别为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C,因为，所以当时，函数有最大值，当时，函数有最小值，选C.4.已知x，y均不为0，则的值组成的集合的元素个数为(

)A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】元素与集合关系的判断．【专题】计算题．【分析】对由x、y的正负分四种情况去绝对值讨论即可．解：xy均正或均负时，=0；x正y负时，=2；x负y正时，=﹣2，故的值组成的集合的元素个数为3个故选C．【点评】本题考查绝对值的运算，属基础知识的考查．5.设函数f（x）（xR）满足f（－x）＝f（x），f（x）＝f（2－x），且当x［0,1］时，f（x）＝x2，又函数g（x）＝｜xcos（x）｜，则函数h（x）＝g（x）－f（x）在上的零点个数为A、5B、6C、7D、8参考答案：B6.数列{an}满足,且．记数列{an}的前n项和为Sn,则当Sn取最大值时n为（

）A.11 B.12 C.11或13 D.12或13参考答案：C【分析】分的奇偶讨论数列的奇偶性分别满足的条件,再分析的最大值即可.【详解】由题,当为奇数时,,.故.故奇数项为公差为1的等差数列.同理当为偶数时,.故偶数项为公差为-3的等差数列.又即.又.所以.综上可知,奇数项均为正数,偶数项随着的增大由正变负.故当取最大值时n为奇数.故n为奇数且此时有,解得.故或.故选：C【点睛】本题主要考查了奇偶数列的应用,需要根据题意推导奇偶项数列的递推公式,再根据题意分析相邻两项之和与0的大小关系列不等式求解.属于难题.7.过椭圆C：的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于点M，若，则λ1+λ2=（）A．10 B．5 C．﹣5 D．﹣10参考答案：D【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【分析】如图所示，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，=2，可得F（2，0）．设直线l的方程为：y=k（x﹣2），则M（0，﹣2k）．利用向量相等可以得到λ1，λ2的表达式，再将直线l的方程与椭圆的方程联立，即可得到根与系数的关系，代入λ1+λ2即可．【解答】解：如图所示，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，=2，∴F（2，0）．设直线l的方程为：y=k（x﹣2），则M（0，﹣2k）．∴，，，=（2﹣x2，﹣y2）．∵，∴x1=λ1（2﹣x1），x2=λ2（2﹣x2）．（*）联立，消去y得到（1+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣5=0，∴，．由（*）可得λ1+λ2=====﹣10．故选D．8.已知是圆：内一点，现有以为中点的弦所在直线和直线：，则A．，且与圆相交

B．，且与圆相交C．，且与圆相离

D．，且与圆相离参考答案：C9.设等比数列的前项和为，满足，且，则（A）31

（B）36

(C)42

(D)48参考答案：A【知识点】等比数列及等比数列前n项和D3a3a5=a2a6=64，∵a3+a5=20，∴a3和a5为方程x2-20x+64=0的两根，

∵an＞0，q＞1，∴a3＜a5，∴a5=16，a3=4，∴q==2，

∴a1==1，∴S5==31．【思路点拨】利用等比中项的性质求得a3a5=a2a6，进而根据a3+a5=20，构造出一元二次方程求得a3和a5，则a1和q可求得，最后利用等比数列的求和公式求得答案．10.若椭圆和圆为椭圆的半焦距),有四个不同的交点,则椭圆的离心率的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.曲线所围成的封闭图形的面积为参考答案：12.已知数列满足：则=

；=

．参考答案：13.设S为复数集C的非空子集.若对任意，都有，则称S为封闭集。下列命题：①集合S＝{a＋bi|（为整数，为虚数单位）}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集.其中真命题是____________.（写出所有真命题的序号）参考答案：①②略14.已知的展开式中没有常数项,且，则

.参考答案：5略15.若实数a,b,c成等差数列，点P(－1,0)在动直线ax＋by＋c＝0上的射影为M，点N(3,3)，则线段MN长度的最大值是__________．参考答案：5＋16.过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若，，则抛物线的方程为．参考答案：y2=2x【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】判断F为A，B的中点，设出B，求出A，C坐标，利用向量的数量积求解即可．【解答】解：过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若，可知F（）是AB的中点，设B（，﹣n）n＞0，则A（），C（﹣，n），=（2p，2n，=（0，2n），，可得：4n2=12，解得n=，|BC|=2|AF|=|AC|=2p==2．所求抛物线方程为：y2=2x．故答案为：y2=2x．17.已知函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知集合，B＝{(x，y)|y＝ax＋2，x∈R，y∈R}．(1)若a＝3，求A∩B的子集个数；(2)若A∩B＝，求实数a的值．参考答案：(1)若a＝3，则B＝{(x，y)|y＝3x＋2，x∈R，y∈R}．由题意得，解得即A∩B＝，故子集个数为2.(2)由方程组得(1－a)x＝1.当a＝1时，方程组无解；当a≠1时，x＝，若＝2，即a＝，此时x＝2为增根，所以方程组也无解．从而当a＝1或a＝时，A∩B＝?.19.（本题满分15分）已知数列满足：，，（），，，分别是公差不为零的等差数列的前三项．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求证：对任意的，，，不可能成等比数列.参考答案：（Ⅰ）因为，所以，．………………

２分又因为，所以，解得或．…………5分又因为的公差不为零，所以．……

7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．……………………

10分假如，，成等比数列，则．…………

12分代入化简得：，解得．……14分

与矛盾，

故，，不可能成等比数列．……15分20.函数f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x（Ⅰ）若关于x的函数h（x）=f（x）+x﹣t在[0，2]上恰有两个不同零点，求实数t的取值范围；（Ⅱ）求证：对任意的n∈N*，不等式ln（n+2）＜1+++…++ln2都成立．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）利用导数求h（x）=f（x）+x﹣t在[0，2]上的最大值h（1），由题意可得，求解不等式组得答案；（Ⅱ）求出函数f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x在（0，+∞）上为减函数，可得x2+x≥ln（1+x），x≥0，令x=，然后利用放缩法证明不等式ln（n+2）＜1+++…++ln2．【解答】（Ⅰ）解：f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x，则函数h（x）=f（x）+x﹣t=ln（x+1）﹣x2+﹣t，∴h′（x）==．当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，于是h（x）在（0，1）上单调递增；当x∈（1，2）时，h′（x）＜0，于是h（x）在（1，2）上单调递减．依题意有，∴ln3﹣1≤t≤ln2+；（Ⅱ）证明：由f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x，得f′（x）==，当x≥0时，f′（x）≤0，则函数单调递减，则f（x）≤f（0）=0，故x2+x≥ln（1+x），x≥0，令x=，得（）2+≥ln（1+）=ln（1+n）﹣lnn，即＞≥ln（1+n）﹣lnn，从而＞ln（1+n）﹣lnn，分别令n=2，3，4，…n，则1+++…++＞ln3﹣ln2+ln4﹣ln3+…+ln（1+n）﹣lnn+ln（2+n）﹣ln（1+n）=ln（n+2）﹣ln2，故ln（n+2）＜1+++…++ln2．21.某银行柜台有从左到右编号依次为1，2，3，4，5，6的六个服务窗口，其中1，2，3，4，5号服务窗口办理A类业务，6号服务窗口办理B类业务．（1）每天12：00至14：00，由于需要办理A类业务的顾客较少，现从1，2，3，4，5号服务窗口中随机选择2个窗口暂停服务，求“1号窗口或2号窗口暂停服务”的概率；

（2）经统计，在6号窗口办理B类业务的等候人数及相应概率如下：排队人数012344人及4人以上概率0.10.160.30.30.10.04

求至少2人排队等侯的概率．参考答案：（1）由题意，有如下基本事件（(i，j)表示第i，j号窗口暂停服务）：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，

因此，共有10个基本事件．记事件A“1号窗口或2号窗口暂停服务”，事件A包括：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，因此，共有7个基本事件，故P(A)＝．答：暂停服务的三个窗口恰有两个连在一起的概率为．（2）记事件“6号窗口办理B类业务的等候人数为k”记为Bk，（k