2022年湖南省永州市大麻中学高三数学文上学期期末试卷含解析

2022年湖南省永州市大麻中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知a，b∈R，函数f（x）=tanx在x=﹣处与直线y=ax+b+相切，设g（x）=﹣bxlnx+a在定义域内（） A．极大值 B． 有极小值 C． 有极大值2﹣ D． 有极小值2﹣参考答案：考点： 正切函数的图象．专题： 三角函数的图像与性质．分析： 先求出f′（x）=，再由条件根据导数的几何意义可得a=f′（﹣）=2．再把切点（﹣，2）代入切线方程求得b，可得g（x）解析式．再根据g′（x）的符号，求出g（x）的单调区间，从而求得g（x）的极值．解答： 解：由函数f（x）=tanx，可得f′（x）=．再根据函数f（x）=tanx在x=﹣处与直线y=ax+b+相切，可得a=f′（﹣）=2．再把切点（﹣，2）代入直线y=ax+b+，可得b=﹣1，∴g（x）=xlnx+1，g′（x）=lnx+1．令g′（x）=lnx+1=0，求得x=，在（0，）上，g′（x）＜0，在（，+∞）上，g′（x）＞0，故g（x）在其定义域（0，+∞）上存在最小值为g（）=2﹣，故选：D．点评： 本题主要考查函数在某处的导数的几何意义，利用导数求函数的极值，属于基础题．2.展开式中项的系数是40，则实数m的值为（

）A． B．2 C． D．±2参考答案：C展开式中x2项是由的展开式中常数项，由的展开式中二次项与的常数项所组成的.∵的展开式的通项公式为：Tr+1=令3r﹣10=0，解得r=，不合题意，应舍去；令3r﹣10=2，解得r=4，∴的展开式中x2项的系数为2?（﹣m）4=40，即m4=4，解得m=±．故答案为：C

3.展开式中不含的项的系数绝对值的和为，不含的项的系数绝对值的和为，则的值可能为

A．

B．

C．

D．参考答案：D4.已知，，则

A． B． C． D．

参考答案：C

：因为，故；，故，，故.故，故选C.

5.抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点，若在点处的切线平行于的一条渐近线，则

A．

B．

C．

D．参考答案：C设抛物线的焦点与双曲线的右焦点及点的坐标分别为,故由题设可得在切点处的斜率为,则,即,故,依据共线可得,所以,故应选C．6.执行如图的算法程序框图，输出的结果是（）A．211﹣2 B．211﹣1 C．210﹣2 D．210﹣1参考答案：A【考点】EF：程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当k=1时，满足进行循环的条件，s=22﹣2，k=2；当k=2时，满足进行循环的条件，s=23﹣2，k=3；当k=3时，满足进行循环的条件，s=24﹣2，k=4；当k=4时，满足进行循环的条件，s=25﹣2，k=5；当k=5时，满足进行循环的条件，s=26﹣2，k=6；当k=6时，满足进行循环的条件，s=27﹣2，k=7；当k=7时，满足进行循环的条件，s=28﹣2，k=8；当k=8时，满足进行循环的条件，s=29﹣2，k=9当k=9时，满足进行循环的条件，s=210﹣2，k=10；当k=10时，满足进行循环的条件，s=211﹣2，k=11；当k=11时，不满足行循环的条件，故输出的s值为211﹣2，故选：A【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．7.下列函数中在区间上单调递增的是A. B. C. D.参考答案：B8.定积分dx的值为(

)A． B． C．π D．2π参考答案：A【考点】定积分．【专题】导数的概念及应用．【分析】根据的定积分的几何意义，所围成的几何图形的面积是的四分之一，计算即可．【解答】解：∵y=，∴（x﹣1）2+y2=1表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆，∴定积分dx所围成的面积就是该圆的面积的四分之一，∴定积分dx=，故选：A．【点评】本题主要考查了定积分的几何意义，根据数形结合的思想，属于基础题．9.函数是定义在上的可导函数，其导函数为且有，则不等式的解集为（）A．B．C．D．参考答案：A10.（2016郑州一测）已知椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．参考答案：D设，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，∴，．由椭圆的定义可知的周长为，∴，．∴．∵，∴，∴，．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查，设平均每人每天做作业的时间为分钟.有1000名小学生参加了此项调查，调查所得数据用程序框图处理，若输出的结果是680，则平均每天做作业的时间在0～60分钟内的学生的频率是

．参考答案：0.32

略12.函数的单调递减区间是

.参考答案：（）13.已知变量满足约束条件，则的最大值是

．参考答案：14.已知实数x，y满足条件，（k为常数），若得最大值为8，则k=

。参考答案：15.已知函数，则的极大值为

.参考答案：16.（5分）（2015?泰州一模）已知实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，则的取值范围为．参考答案：【考点】：基本不等式．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，化为=1，令=cosθ，=sinθ，θ∈[0，2π）．可得k===，表示点P（2，0）与圆x2+y2=1上的点连线的在的斜率．利用直线与圆的位置关系即可得出．解：∵实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，∴=1，令=cosθ，=sinθ，θ∈[0，2π）．∴k===，表示点P（2，0）与圆x2+y2=1上的点连线的直线的斜率．设直线l：y=k（x﹣2），则，化为，解得．∴的取值范围为．故答案为：．【点评】：本题考查了三角函数换元法、直线的斜率计算公式、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向左平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是．参考答案：【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】将函数f（x）化简后，根据平移变换的规律，得图象关于y轴对称，利用诱导公式可得答案．【解答】解：函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），向左平移φ个单位，可得sin（2x+2φ+），要使所得图象关于y轴对称，∴2φ+=，即φ=，（k∈Z）当k=0时，可得φ的最小正值为．故答案为：．【点评】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式的运用，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣4lnx﹣a+1（a∈R）．（1）若，求a的值；（2）若存在，使函数f（x）的图象在点（x0，f（x0））和点处的切线互相垂直，求a的取值范围；（3）若函数f（x）在区间（1，+∞）上有两个极值点，则是否存在实数m，使f（x）＜m对任意的x∈[1，+∞）恒成立？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）若，代入计算，建立方程，即可求a的值；（2）利用切线互相垂直，整理得，设f（t）=8t2﹣6at+a2+5，则f（t）在t∈（2，3）上有零点，考虑到f（2）=32﹣12a+a2+5=（a﹣6）2+1＞0，所以或，即可解得a的取值范围；（3）若函数f（x）在区间（1，+∞）上有两个极值点，g（x）在区间（1，+∞）上有两个不同零点，求出a的取值范围，即可得出结论．【解答】解：（1）由得，，解得…（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，，由题意得，即，…整理得，设，由，得t∈（2，3），则有8t2﹣6at+a2+5=0，…设f（t）=8t2﹣6at+a2+5，则f（t）在t∈（2，3）上有零点，考虑到f（2）=32﹣12a+a2+5=（a﹣6）2+1＞0，所以或，解得或8≤a＜11，所以a的取值范围是…（3），令g（x）=﹣2x2+ax﹣4，由题意，g（x）在区间（1，+∞）上有两个不同零点，则有，解得…设函数f（x）的两个极值点为x1和x2，则x1和x2是g（x）在区间（1，+∞）上的两个不同零点，不妨设x1＜x2，则①，得且关于a在上递增，因此…又由①可得②，当x∈（1，x1）时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）递减；x∈（x1，x2）时，g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）递增；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）递减，结合②可得=…设，则，所以h（x）在上递增，所以，从而，所以，又f（1）=0，所以存在m≥3﹣4ln2，使f（x）＜m，综上，存在满足条件的m，m的取值范围为[3﹣4ln2，+∞）…19.（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面，△是等边三角形，，，是线段的中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值．

参考答案：（Ⅰ）证明：因为侧面，平面，

所以.

又因为△是等边三角形，是线段的中点，所以．

因为，所以平面．而平面，所以．…………5分（Ⅱ）解：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．

则，，，．，，．设为平面的法向量．由

即令，可得．………9分设与平面所成的角为．．所以与平面所成角的正弦值为．…………………12分20.（12分）（2013?兰州一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA=AB，求棱锥C﹣PBD的高．参考答案：解：（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．又PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC．…（6分）（Ⅱ）解：∵VC﹣PBD=VP﹣CBD，设棱锥C﹣PBD的高为h，∴

…（8分）∵PA=AB，AB=2，∠BAD=60°，∴PB=PD=，BD=2∴，，…（10分）∴．即棱锥C﹣PBD的高为．…（12分）略21.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD=60，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA=2.（1）证明：平面PBE平面PAB；（2）求PC与平面PAB所成角的余弦值。参考答案：略22.如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP＝m.(1)若m＝1，求异面直线AP与BD1所成角的余弦；(2)是否存在实数m，使直线AP与平面AB1D1所成角的正弦值是？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．参考答案：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，2)，D1(0，0，2)．(2分)所以＝(－1，