2021-2022学年福建省福州市赤锡中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2021-2022学年福建省福州市赤锡中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数是偶函数，当时，，则在区间上，下列函数中与的单调性相同的是(

)（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C由已知得在上单调递减函数，所以答案为．2.已知函数，则关于a的不等式f（a﹣2）+f（a2﹣4）＜0的解集是（）A． B．（﹣3，2） C．（1，2） D．参考答案：A【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据已知中的函数解析式，先分析函数的单调性和奇偶性，进而根据函数的性质及定义域，可将不等式f（a﹣2）+f（a2﹣4）＜0化为1＞a﹣2＞4﹣a2＞﹣1，解不等式组可得答案．【解答】解：函数的定义域为（﹣1，1）∵f（﹣x）=﹣sinx=﹣f（x）∴函数f（x）为奇函数又∵f′（x）=+cosx＞0，∴函数在区间（﹣1，1）上为减函数，则不等式f（a﹣2）+f（a2﹣4）＜0可化为：f（a﹣2）＜﹣f（a2﹣4）即f（a﹣2）＜f（4﹣a2），即1＞a﹣2＞4﹣a2＞﹣1解得＜a＜2故关于a的不等式f（a﹣2）+f（a2﹣4）＜0的解集是（，2）．故选：A．3.已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是()A．(，)

B．(，)

C．(，)

D．(，)∪(π，)参考答案：D略4.在等差数列{an}中，若a2=1，a8=2a6+a4，则a5的值是（）A．﹣5 B． C． D．参考答案：B【考点】等差数列的通项公式．【分析】设等差数列{an}的公差为d，由题意可得a1和d的方程组，解方程组代入等差数列的通项公式可求．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a2=1，a8=2a6+a4，∴a1+d=1，a1+7d=2（a1+5d）+a1+3d联立解得a1=，d=﹣，∴a5=a1+4d=+4（﹣）=故选：B5.命题“?x0＜0，（x0﹣1）（x0+2）≥0”的否定是（）A．?x0＞0，（x0﹣1）（x0+2）＜0 B．?x0＜0，（x0﹣1）（x0+2）＜0C．?x＞0，（x﹣1）（x+2）≥0 D．?x＜0，（x﹣1）（x+2）＜0参考答案：D【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：∵特称命题的否定是全称命题．∴命题“?x0＜0，（x0﹣1）（x0+2）≥0”的否定是：?x＜0，（x﹣1）（x+2）＜0．故选：D．【点评】本题考查命题的否定，注意量词的变化，基本知识的考查．6.函数的图像可能是参考答案：7.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是

(

)

A.

B.

C.

D.

参考答案：B略8.已知变量x、y满足条件则x+y的最大值是A.2

B.5

C.6

D.820080531

参考答案：C9.已知为等差数列，为其前项和，公差为，若，则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B试题分析：因为，所以，所以，故选B.考点：等差数列的前项和公式与性质.10.从{2，3，4，5，6}中随机选取一个数为a，从{1，2，3，5}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】几何概型．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×4种结果，而满足条件的事件是a=2，b=3；a=2，b=5；a=3，b=5；a=4，b=5共有4种结果，即可求出概率．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×4种结果，而满足条件的事件是a=2，b=3；a=2，b=5；a=3，b=5；a=4，b=5共有4种结果，∴由古典概型公式得到P==，故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知等差数列的前n项和为，并且，若对n∈N*恒成立，则正整数的值为____________参考答案：512.已知x为正实数，且xy＝2x＋2，则的最小值为＿＿参考答案：213.的外接圆圆心为，且，则等于__________．参考答案：∵的外接圆圆心为，且，∴，，∴，∴，∴，外接圆中，∴为中点，∵，∴．14.已知向量的夹角为,，,则

．参考答案：

15.已知幂函数在上为减函数，则=__________．参考答案：-1略16.已知数列{an}是等比数列，若，则a10=．参考答案：96【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知求得等比数列的公比的3次方，然后代入等比数列的通项公式求得a10．【解答】解：在等比数列{an}中，由，得，∴．故答案为：96．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．17.中国古代数学瑰宝《九章算术》中有这样一道题：“今有堑堵（底面为直角三角形的直棱柱）下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为直角三角形的直棱柱，底面的直角边长宽为2丈，长为18丈6尺，高为2丈5尺，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，则题中的堑堵的外接球的表面积为

平方尺．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）班主任统计本班50名学生平均每天放学回家后学习时间的数据用图5所示条形图表示．（1）求该班学生每天在家学习时间的平均值；（2）假设学生每天在家学习时间为18时至23时，已知甲每天连续学习2小时，乙每天连续学习3小时，求22时甲、乙都在学习的概率．参考答案：解：（Ⅰ）平均学习时间为.

……………（6分）（Ⅱ）设甲开始学习的时刻为x，乙开始学习的时刻为y，试验的全部结果所构成的区域为Ω={(x，y)|18≤x≤21，18≤y≤20}，面积SΩ=2×3=6.事件A表示“22时甲、乙都在学习”，所构成的区域为A={(x，y)|20≤x≤21，19≤y≤20}，面积为，这是一个几何概型，所以P(A).

………（12分）

19.已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，设直线l的参数方程是（t为参数）．（1）将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）设直线l与x轴的交点是M，N为曲线C上一动点，求|MN|的最大值．参考答案：考点：直线和圆的方程的应用；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．专题：转化思想．分析：（1）极坐标直接化为直角坐标，可求结果．（2）直线的参数方程化为直角坐标方程，求出M，转化为两点的距离来求最值．解答： 解：（1）曲C的极坐标方程可化为：ρ2=2ρsinθ，又x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ．所以，曲C的直角坐标方程为：x2+y2﹣2y=0．（2）将直线L的参数方程化为直角坐标方程得：．令y=0得x=2即M点的坐标为（2，0）又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为（0，1）半径，∴．点评：本题考查极坐标和直角坐标的互化，直线的参数方程化为直角坐标方程，转化的数学思想的应用，是中档题．20.（12分）等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{an}的通项公式；（2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm=63，求m．参考答案：解：（1）设的公比为q，由题设得.由已知得，解得（舍去），或.故或.（2）若，则.由得，此方程没有正整数解.若，则.由得，解得.综上，.

21.（本小题满分13分）设，函数，函数，.（Ⅰ）当时，写出函数零点个数，并说明理由；（Ⅱ）若曲线与曲线分别位于直线的两侧，求的所有可能取值.参考答案：（Ⅰ）不存在零点（Ⅱ）.

当变化时，与的变化如下表所示：0↗

↘

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

当变化时，与的变化如下表所示：0↗

↘

……………7分

当变化时，与的变化如下表所示：0↘

↗

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

解得.

所以的取值集合为.

……………13分考点：根据导数研究函数单调性，利用导数研究函数最值22.已知椭圆C1：+x2=1（a＞1）与抛物线C：x2=4y有相同焦点F1．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知直线l1过椭圆C1的另一焦点F2，且与抛物线C2相切于第一象限的点A，设平行l1的直线l交椭圆C1于B，C两点，当△OBC面积最大时，求直线l的方程．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求出抛物线的F1（0，1），利用椭圆的离心率，求出a、b即可求解椭圆方程．（Ⅱ）F2（0，﹣1），由已知可知直线l1的斜率必存在，联立方程组，利用相切求出k，然后利用直线的平行，设直线l的方程为y=x+m联立方程组，通过弦长公式点到直线的距离求解三角形的面积，然后得到所求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线x2=4y的焦点为F1（0，1），∴c=1，又b2=1，∴∴椭圆方程为：+x2=1．

…（Ⅱ）F2（0，﹣1），由已知可知直线l1的斜率必存在，设直线l1：y=kx﹣1由消去y并化简得x2﹣4kx+4=0∵直线l1与抛物线C2相切于点A．∴△=（﹣4k）2﹣