2021-2022学年湖南省长沙市宁乡县第十三中学高一数学理期末试题含解析

2021-2022学年湖南省长沙市宁乡县第十三中学高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设全集为R，若M=

，N=，则（CUM）∪（CUN）是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B2.（5分）已知cos（60°+α）=，且α为第三象限角，则cos（30°﹣α）+sin（30°﹣α）的值为（） A． B． C． D． 参考答案：C考点： 两角和与差的余弦函数．专题： 三角函数的求值．分析： 由题意和同角三角函数基本关系可得sin（60°+α）=﹣，由诱导公式可得原式=cos+sin=sin（30°﹣α）+cos（30°﹣α），代值计算即可．解答： ∵cos（60°+α）=，且α为第三象限角，∴sin（60°+α）=﹣=﹣，∴cos（30°﹣α）+sin（30°﹣α）=cos+sin=sin（30°﹣α）+cos（30°﹣α）=故选：C点评： 本题考查三角函数求值，涉及同角三角函数基本关系和诱导公式，属基础题．3.下列函数中哪个与函数相同（

）

A．

B．C．

D．参考答案：B4.若函数f（x）满足f（x+1）=2x+3，则f（0）=(

)A．3 B．1 C．5 D．﹣参考答案：B【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】方法1：直接根据函数表达式式，令x=﹣1，即可得到结论，方法2：利用配凑法求出函数f（x）的表达式，即可得到结论．方法3：利用换元法求出函数f（x）的表达式，即可得到结论．【解答】解：法1：∵f（x+1）=2x+3，∴令x=﹣1，则f（0）=f（﹣1+1）=﹣2+3=1．法2：∵f（x+1）=2x+3=2（x+1）+1，∴f（x）=2x+1，∴f（0）=1．法3：换元法，设t=x+1，则x=t﹣1，则f（t）=2（t﹣1）+3=2t+1，即f（x）=2x+1，∴f（0）=1．故选：B．【点评】本题主要考查函数值的计算，求出函数的表达式是解决本题的关键，常用的方法有直接代入法，配凑法，换元法．5.在空间给出下面四个命题(其中m，n为不同的两条直线，α，β为不同的两个平面)：①m⊥α，n∥α?m⊥n②m∥n，n∥α?m∥α③m∥n，n⊥β，m∥α?α⊥β④m∩n＝A，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β?α∥β.其中正确的命题个数有()A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：C6.若0＜m＜n，则下列结论正确的是（）A． B．2m＞2nC． D．log2m＞log2n参考答案：C【考点】不等关系与不等式．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据指数函数与对数函数的底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减的性质进行做题．【解答】解：观察B，D两个选项，由于底数2＞1，故相关的函数是增函数，由0＜m＜n，∴2m＜2n，log2m＜log2n，所以B，D不对．又观察A，C两个选项，两式底数满足0＜＜1，故相关的函数是一个减函数，由0＜m＜n，∴，所以A不对，C对．故答案为C．【点评】指数函数与对数函数的单调性是经常被考查的对象，要注意底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减的性质．7.（4分）已知函数f（x）=，g（x）=asin（x+）﹣2a+2（a＞0），给出下列结论，其中所有正确的结论的序号是（）①直线x=3是函数g（x）的一条对称轴；

②函数f（x）的值域为；③若存在x1，x2∈，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是；④对任意a＞0，方程f（x）=g（x）在内恒有解． A． ①② B． ①②③ C． ①③④ D． ①②④参考答案：B考点： 分段函数的应用．专题： 计算题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析： 运用三角函数的对称轴的定义，即可判断①；分别运用一次函数和分式函数的单调性，即可判断得到值域，再求并集即可判断②；由f（x）的值域和g（x）的值域的关系，解不等式即可判断③；由f（x）的值域和g（x）的值域的包含关系，令a=10，即可判断④．解答： 对于①，g（x）=asin（x+）﹣2a+2=﹣acosx﹣2a+2，由g（3）=﹣acosπ﹣2a+2=2﹣a，取得最大值，故①对；对于②，当0时，f（x）=﹣x∈；当≤1时，f（x）=═2﹣8而＜x+2≤3，令z=x+2，则z∈（，3]，双钩型函数h（z）=2（z+）﹣8在z∈（，3]上单调递增，∴h（）=﹣8=，h（z）max=h（3）=，∴当x∈（，1）时，f（x）的值域为（，]；∴函数f（x）的值域为，故②对；对于③，若存在x1，x2∈，使得f（x1）=g（x2）成立，则0≤2﹣3a≤或0≤2﹣a≤，解得≤a≤或≤a≤，由于＜，∴∪=．故③对；对于④，g（x）=asin（x+）﹣2a+2=﹣acosx﹣2a+2（a＞0），∵0≤x≤1，∴0≤x≤，∵y=cosx在上单调递减，∴y=﹣cosx在上单调递增，又a＞0，∴g（x）=﹣acosx﹣2a+2（a＞0）在上是增函数，由g（x）=﹣acosx﹣2a+2（a＞0）知，当0≤x≤1时，0≤x≤，≤cosx≤1，又a＞0，∴﹣a≤﹣acosx≤﹣，∴2﹣3a≤﹣acosx﹣2a+2≤2﹣a．不妨令a=10，g（x）∈（﹣28，﹣23），而f（x）的值域为，显然f（x）≠g（x），故④错．故选B．点评： 本题考查复合三角函数的单调性，考查函数的值域，考查三角函数的诱导公式及综合应用，属于难题．8.若数列{an}满足，，，记数列{an}的前n项积为Tn，则下列说法错误的是（

）A.Tn无最大值 B.an有最大值 C. D.参考答案：A【分析】先求数列周期，再根据周期确定选项.【详解】因为，所以因此数列为周期数列，，有最大值2，，因为,所以为周期数列，，有最大值4，,综上选A.【点睛】本题考查数列周期，考查基本分析求解能力，属中档题.9.定义在R上的函数满足当（

）

A.335

B.338

C.1678

D.2012参考答案：B略10.函数（其中A＞0，|?|＜）的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将的图象（

）.A．向右平移个长度单位

B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位

D．向左平移个长度单位参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数,若存在实数,使的定义域为时,值域为,则实数的取值范围是

.参考答案：12.在空间直角坐标系中,点关于原点的对称点的坐标为

.参考答案：13.已知f(x)是定义在(–∞，+∞)上的函数，m、n∈(–∞，+∞)，请给出能使命题：“若m+n＞0，则f(m)+f(n)＞f(–m)+f(–n)”成立的一个充分条件是__________.注：答案不唯一.参考答案：函数f(x)在(–∞，+∞)上单调递增14.如图所示，正方体的棱长为1,分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱、交于，设，，给出以下四个命题：（1）平面平面；（2）当且仅当时，四边形的面积最小；（3）四边形周长，，则是偶函数；（4）四棱锥的体积为常函数；以上命题中真命题的序号为_____________.

参考答案：（1）（2）（3）（4）略15.若函数,分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则从小到大的顺序为_______________________.

参考答案：略16.已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是________。参考答案：（-8，-6]17.实数项等比数列的前项的和为，若，则公比等于---________-参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.己知数列{an}的前n项和为Sn且.（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{bn}的前100项和.参考答案：（Ⅰ）

（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）当时，利用得出的通项公式，当时，验证是否满足。（Ⅱ）利用数列求和的裂项相消法得到数列的前100项和。【详解】（Ⅰ）当时，两式相减得：当时，满足（Ⅱ）由（Ⅰ）可知所以数列的前100项和【点睛】已知来求时，可利用数列的前项和及其与通项公式的关系来求。19.（本小题满分13分）如图，在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面，且,设、分别为、的中点．(Ⅰ)求证：//平面；(Ⅱ)求证：面平面；(Ⅲ)求二面角的正切值．参考答案：(Ⅰ)证明：为平行四边形连结，为中点，为中点∴在中，//

且平面，平面

∴

………4分(Ⅱ)证明：面面，平面面又为正方形，且平面平面∴

又是等腰直角三角形，

又，且、面面

又面面面

………8分(Ⅲ)解：设的中点为,连结,,则,由(Ⅱ)知面面

，是二面角的平面角

在中，故所求二面角的正切值为

………13分20.（本小题满分12分）求值：（Ⅰ）已知，是第三象限角，求的值；（Ⅱ）求值：．参考答案：解：（Ⅰ）因为所以，即，…………3分又是第三象限角，所以所以

…………6分（Ⅱ）＝＝

…………12分21.已知α