(山东专版)2019版中考数学总复习-第六章-空间与图形-6.2-图形的相似(试卷部分)课件

§6.2图形的相似中考数学

(山东专用)A组2014—2018年山东中考题组考点一相似的有关概念五年中考1.(2017临沂,16,3分)已知AB∥CD,AD与BC相交于点O.若

=

,AD=10,则AO=

.

答案4解析∵AB∥CD,∴OA∶OD=OB∶OC=2∶3.又∵AD=10,∴OA=

×10=4.2.(2016临沂,17,3分)如图,在△ABC中,点D,E,F分别在AB,AC,BC上,DE∥BC,EF∥AB.若AB=8,

BD=3,BF=4,则FC的长为

.

答案

解析由已知易得AD=AB-BD=8-3=5.由DE∥BC得

=

,由EF∥AB得

=

,∴

=

,即

=

,解得BC=

,∴FC=BC-BF=

-4=

.考点二相似三角形的性质与判定1.(2018临沂,6,3分)如图,利用标杆BE测量建筑物的高度.已知标杆BE高1.2m,测得AB=1.6m,

BC=12.4m.则建筑物CD的高是

()

A.9.3m

B.10.5m

C.12.4m

D.14m答案

B由题意知BE∥CD,∴△ABE∽△ACD,∴

=

,即

=

,解得CD=10.5m.2.(2017枣庄,6,3分)如图,在△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下

的阴影三角形与原来三角形不相似的是

()

答案

C选项A与B中剪下的阴影三角形分别与原三角形有两组角对应相等,可得阴影三角

形与原三角形相似;选项D中剪下的阴影三角形与原三角形有两边之比都是2∶3,且两边的夹

角相等,所以两个三角形也是相似的,故选C.思路分析

根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可.易错警示

本题容易出错的地方是两组对应边的比相等,必须要求夹角也相等才能相似,选项

C中不满足后者,故不能判断相似.3.(2016东营,10,3分)如图,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BE⊥AC,垂足为点F,连接DF,分析

下列四个结论:①△AEF∽△CAB;②CF=2AF;③DF=DC;④tan∠CAD=

.其中正确的结论有

()

A.4个

B.3个

C.2个

D.1个答案

B∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,AD∥BC,∴∠EAF=∠ACB.∵BE⊥AC,∴∠AFE=90°,∴∠ABC=∠AFE,∴△AEF∽△CAB,故①正确;∵AD∥BC,∴△AEF∽△CBF.∴

=

=

.∴CF=2AF,故②正确;延长BE交CD的延长线于M,易证△ABE≌△DME,∴AB=DM,∴DC=DM.又∵MF⊥AC,∴DF=DC,故③正确;

在Rt△CAD中,易知CD<AD,∴tan∠CAD=

<1,故④错误.一题多解

③取BC的中点M,连接DM,FM,∴FM=CM.∵E是AD的中点,∴DE=

AD=

BC=BM,又∵DE∥BM,∴四边形BMDE是平行四边形,∴DM∥BE,∴DM⊥CF,∴DM垂直平分CF,∴DF=DC.4.(2016菏泽,7,3分)如图,△ABC与△A'B'C'都是等腰三角形,且AB=AC=5,A'B'=A'C'=3,若∠B+∠

B'=90°,则△ABC与△A'B'C'的面积比为

()

A.25∶9

B.5∶3

C.

∶

D.5

∶3

答案

A分别作AD⊥BC于点D,A'D'⊥B'C'于点D',则∠ADB=∠A'D'B'=90°,∴∠B+∠BAD=90

°.又∵∠B+∠B'=90°,∴∠BAD=∠B',∴△ABD∽△B'A'D',∴S△ABD∶S△B'A'D'=AB2∶A'B'2=25∶9,∴

S△ABD=

S△B'A'D'.∵AB=AC,A'B'=A'C',∴∠B=∠C,∠B'=∠C',∴∠C+∠C'=90°.同理,可得△ACD∽△C'A'D',∴S△ACD∶S△C'A'D'=AC2∶A'C'2=25∶9,∴S△ACD=

S△C'A'D'.于是S△ABC=S△ABD+S△ACD=

S△B'A'D'+

S△C'A'D'=

S△A'B'C',∴S△ABC∶S△A'B'C'=25∶9,故选择A.

思路分析

①由等腰△ABC与等腰△A'B'C'的底角互余,启发我们作出它们底边上的高,可得

两对相似三角形;②利用相似三角形的性质分别求所构造的两对相似三角形的面积关系;③把

两个小三角形的面积分别相加,计算△ABC与△A'B'C'的面积比.5.(2018泰安,18,3分)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,在“勾股”章中有这样一个

问题:“今有邑方二百步,各中开门,出东门十五步有木,问:出南门几步而见木?”用今天的话

说,大意是:如图,DEFG是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城,东门H位

于GD的中点,南门K位于ED的中点,出东门15步的A处有一树木,求出南门多少步恰好看到位于

A处的树木(即点D在直线AC上).请你计算KC的长为

步.

答案

解析由题意,可得Rt△CDK∽Rt△DAH,则

=

,又DH=

DG=100步,KD=

DE=100步,AH=15步,∴

=

,解得KC=

步.6.(2017莱芜,17,4分)如图,在矩形ABCD中,BE⊥AC分别交AC、AD于点F、E,若AD=1,AB=CF,

则AE=

.

答案

解析连接CE.

∵AB=CF,AB=CD,∴CF=CD.又∵CE=CE,∠EFC=∠EDC=90°,∴△EFC≌△EDC.∴DE=EF.设AB=CD=CF=a,则AC2=AD2+CD2=12+a2=1+a2.设AE=x,则DE=EF=1-x.易证△ABE∽△DAC,∴

=

.∴

=

.∴x=a2,①易证△AEF∽△ACD,∴

=

.∴

=

.∴

=

.②由①②可解得x=

(舍负),∴AE=

.7.(2017东营,24,10分)如图,在等腰三角形ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=2,点D是BC边上的一个

动点(不与B、C重合),在AC上取一点E,使∠ADE=30°.(1)求证:△ABD∽△DCE;(2)设BD=x,AE=y,求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围;(3)当△ADE是等腰三角形时,求AE的长.

解析(1)证明:∵在等腰△ABC中,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°,又∠ADE=30°,∴∠ABD=∠ADE.∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB,∴∠EDC=∠DAB,又∠B=∠C,∴△ABD∽△DCE.(2)由AB=AC=2,∠BAC=120°,求得BC=2

,则DC=2

-x.∵△ABD∽△DCE,∴

=

.∴

=

.化简得y=

x2-

x+2(0<x<2

).(3)当AD=DE时,由(1)可得△ABD≌△DCE,则AB=CD,即2=2

-x.∴x=2

-2,代入y=

x2-

x+2得y=4-2

,即AE=4-2

.当AE=ED时,∠EAD=∠EDA=30°,∠AED=120°,∴∠DEC=60°,∠EDC=90°,则ED=

EC,则有y=

(2-y),解得y=

,即AE=

.当AD=AE时,∠AED=∠EDA=30°,∠EAD=120°.此时点D与点B重合,与题目不符,此情况不存在.∴当△ADE是等腰三角形时,AE=4-2

或

.8.(2017济宁,22,11分)定义:点P是△ABC内部或边上的点(顶点除外),在△PAB,△PBC,△PCA

中,若至少有一个三角形与△ABC相似,则称点P是△ABC的自相似点.例如:如图1,点P在△ABC的内部,∠PBC=∠A,∠PCB=∠ABC,则△BCP∽△ABC,故点P为△

ABC的自相似点.请你运用所学知识,结合上述材料,解决下列问题:在平面直角坐标系中,点M是曲线C:y=

(x>0)上的任意一点,点N是x轴正半轴上的任意一点.(1)如图2,点P是OM上一点,∠ONP=∠M,试说明点P是△MON的自相似点;当点M的坐标是(

,3),点N的坐标是(

,0)时,求点P的坐标;(2)如图3,当点M的坐标是(3,

),点N的坐标是(2,0)时,求△MON的自相似点的坐标;(3)是否存在点M和点N,使△MON无自相似点?若存在,请直接写出这两点的坐标;若不存在,请

说明理由.解析(1)在△ONP和△OMN中,∵∠ONP=∠OMN,∠NOP=∠MON,∴△ONP∽△OMN.∴点P是△MON的自相似点.由题意知MN⊥x轴.过点P作PD⊥x轴于点D.

tan∠POD=tan∠MON=

=

.∴∠MON=60°.∵△ONP∽△OMN,∴∠OPN=90°.在Rt△OPN中,OP=ONcos60°=

.∴在Rt△POD中,OD=OPcos60°=

×

=

,PD=OPsin60°=

×

=

,∴P

.(2)如图,过点M作MH⊥x轴于点H,则MH=

,∴MN=2.

∵M(3,

),N(2,0),∴OM=2

,直线OM的表达式为y=

x,ON=2.∵P1是△MON的自相似点,∴△P1ON∽△NOM.∴

=

=

,即

=

=

,∴P1O=P1N=

.过点P1作P1Q⊥x轴于点Q,∴OQ=

ON=1.∴P1的横坐标为1,∴P1的纵坐标为

×1=

.∴P1

.如图,△P2NM∽△NOM,

∴

=

=

,∴P2N=P2M=

.∴OP2=

,在△P2ON中,∵O

=ON2+P2N2,∴△P2ON是直角三角形,且∠P2NO=90°,∴P2的纵坐标为

,∴

=

x,∴x=2,∴P2

.综上所述,自相似点的坐标为

或

.(3)存在.M(

,3),N(2

,0).考点三位似1.(2018潍坊,8,3分)在平面直角坐标系中,点P(m,n)是线段AB上一点,以原点O为位似中心把△

AOB放大到原来的两倍,则点P的对应点的坐标为

()A.(2m,2n)B.(2m,2n)或(-2m,-2n)C.

D.

或

答案

B当放大后的△A'OB'与△AOB在原点O同侧时,点P的对应点的坐标为(2m,2n),当放

大后的△A'OB'与△AOB在原点O两侧时,点P的对应点的坐标为(-2m,-2n),故选B.方法规律

位似图形是特殊的相似图形,它有以下性质:(1)任意一对对应点到位似中心的距离

之比都等于相似比;(2)当以坐标原点为位似中心时,若原图形上点的坐标为(x,y),位似图形与原

图形的相似比为k,则位似图形上的对应点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky).2.(2018滨州,6,3分)在平面直角坐标系中,线段AB两个端点的坐标分别为A(6,8)、B(10,2).若以

原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩短为原来的

后得到线段CD,则点A的对应点C的坐标为

()A.(5,1)

B.(4,3)

C.(3,4)

D.(1,5)答案

C根据位似图形的性质,结合将线段AB缩短为原来的

后得到线段CD,得出点C的坐标为点A的坐标的

.3.(2016烟台,7,3分)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似

中心的位似图形,且相似比为

,点A,B,E在x轴上,若正方形BEFG的边长为6,则C点坐标为

(

)

A.(3,2)

B.(3,1)

C.(2,2)

D.(4,2)答案

A因为正方形BEFG的边长为6,正方形ABCD与正方形BEFG的相似比为

,所以正方形ABCD的边长为2,设OA=x.易知△OBC∽△OEF,所以

=

=

,所以

=

,解得x=1,所以点C的坐标为(3,2),故选A.4.(2018菏泽,13,3分)如图,△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形,相似比为3∶4,∠

OCD=90°,∠AOB=60°,若点B的坐标是(6,0),则点C的坐标是

.

答案(2,2

)解析由△OAB与△OCD位似,相似比为3∶4,B(6,0),得OD=6×

=8.在Rt△COD中,OC=

OD=4.作CE⊥OD于点E,在Rt△OCE中,OE=

OC=2,CE=2

,∴C(2,2

).

5.(2017烟台,16,3分)如图,在直角坐标系中,每个小方格的边长均为1.△AOB与△A'OB'是以原

点O为位似中心的位似图形,且相似比为3∶2,点A,B都在格点上,则点B'的坐标是

.

答案

解析由题意,知将点B的横、纵坐标分别乘-

,得点B'的坐标.由B的坐标为(3,-2),得B'的坐标为

.6.(2017滨州,15,4分)在平面直角坐标系中,点C、D的坐标分别为C(2,3)、D(1,0).现以原点为位

似中心,将线段CD放大得到线段AB,若点D的对应点B在x轴上且OB=2,则点C的对应点A的坐

标为

.答案(4,6)或(-4,-6)解析∵OB=2,B在x轴上,∴点B的坐标为(2,0)或(-2,0).∵CD与AB关于原点位似,点D的对应点为点B,D(1,0),∴AB与CD的位似比为2或-2.∵点C的对应点为点A,C(2,3),∴A(4,6)或(-4,-6).思路分析

根据OB长确定B点的坐标,从而求出两图形的位似比k,然后根据C点的坐标求得A

点的坐标.易错警示

本题易漏掉点B在x轴负半轴上的情况,导致结果漏掉一个.7.(2017枣庄,21,8分)如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2,2),B(4,

0),C(4,-4).(1)请在图中,画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1;(2)以点O为位似中心,将△ABC缩小为原来的

,得到△A2B2C2,请在图中y轴的右侧画出△A2B2C2,并求出∠A2C2B2的正弦值.

解析(1)如图所示.(2)如图所示.

设直线AC的解析式为y=ax+b,a≠0,把A(2,2),C(4,-4),代入得

解得

∴直线AC的解析式为y=-3x+8,设直线AC与x轴交于点D,则D的坐标为

,∵∠CBD=90°,∴CD=

=

,∴sin∠DCB=

=

=

.∵∠A2C2B2=∠DCB,∴sin∠A2C2B2=sin∠DCB=

.思路分析

(1)将A、B、C三点分别向左平移6个单位即可得到的△A1B1C1;(2)连接OA、OC,分别取OA、OB、OC的中点即可画出△A2B2C2,求出直线AC与OB的交点,求

出∠ACB的正弦值即可解决问题.B组2014—2018年全国中考题组考点一相似的有关概念1.(2017浙江杭州,3,3分)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC.若BD=2AD,则

()

A.

=

B.

=

C.

=

D.

=

答案

B利用平行线分线段成比例可得

=

=

,此题选B.2.(2017黑龙江哈尔滨,9,3分)如图,在△ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DE∥BC,点F为

BC边上一点,连接AF交DE于点G.则下列结论中一定正确的是

()

A.

=

B.

=

C.

=

D.

=

答案

C根据平行线分线段成比例定理可知

=

,

=

,

=

,

=

,所以选项A、B、D错误,选项C正确.故选C.3.(2016湖南湘潭,13,3分)如图,直线a∥b∥c,点B是线段AC的中点,若DE=2,则EF=

.

答案2解析∵a∥b∥c,∴

=

.又∵点B是线段AC的中点,DE=2,∴

=

,解得EF=2.4.(2018四川成都,13,4分)已知

=

=

,且a+b-2c=6,则a的值为

.答案12解析设

=

=

=k(k≠0),则a=6k,b=5k,c=4k,∵a+b-2c=6,∴6k+5k-8k=6.解得k=2.∴a=6k=12.5.(2015贵州六盘水,14,4分)已知

=

=

≠0,则

的值为

.答案

解析由题意可设a=6k,b=5k,c=4k,k≠0,则

=

=

.考点二相似三角形的性质与判定1.(2018重庆A卷,5,4分)要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5

cm,6cm和9cm,另一个三角形的最短边长为2.5cm,则它的最长边为

()A.3cmB.4cmC.4.5cmD.5cm答案

C设所求最长边为xcm,由题意知两个三角形相似,根据相似三角形的三边对应成比

例,可列等式

=

,解得x=4.5,故选C.2.(2018新疆乌鲁木齐,7,4分)如图,在▱ABCD中,E是AB的中点,EC交BD于点F,则△BEF与△

DCB的面积比为

()

A.

B.

C.

D.

答案

D∵四边形ABCD是平行四边形,E是AB的中点,∴

=

=

,∴

=

,

=

,∴

=

.3.(2017四川雅安,12,3分)如图,四边形ABCD中,AB=4,BC=6,AB⊥BC,BC⊥CD,E为AD的中点,F

为线段BE上的点,且FE=

BE,则点F到边CD的距离是

()A.3

B.

C.4

D.

答案

C延长BE交CD的延长线于点G,过点F做FH⊥CD于H,∵AB⊥BC,BC⊥CD,∴AB∥CD,∴∠ABE=∠DGE,∠A=∠EDG,又∵E为AD的中点,∴AE=DE,∴△ABE≌△DGE(AAS),∴BE=GE,又∵FE=

BE,∴

=

.又∵BC∥FH,∴△GFH∽△GBC,∴

=

=

,∴FH=

BC=

×6=4.

4.(2017重庆A卷,8,4分)若△ABC∽△DEF,相似比为3∶2,则对应高的比为

()A.3∶2

B.3∶5

C.9∶4

D.4∶9答案

A相似三角形对应高的比等于相似比,所以选A.5.(2018云南,5,3分)如图,已知AB∥CD,若

=

,则

=

.

答案

解析∵AB∥CD,∴∠A=∠C,∠B=∠D,∴△AOB∽△COD.∴

=

=

.6.(2017浙江杭州,15,4分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=15,AC=20,点D在边AC上,AD=5,

DE⊥BC于点E,连接AE,则△ABE的面积等于

.

答案78解析∵DE⊥BC,∴∠BAC=∠DEC,又∵∠C=∠C,∴△ABC∽△EDC,∴

=

,在Rt△BAC中,∵AC=20,AB=15,∴BC=

=25,又∵AD=5,∴CD=15,∴EC=

=12,∴BE=13,∴S△ABE=

S△ABC=

×

×15×20=78.思路分析△ABC的面积是很容易求出来的,只要知道BE与BC的比值即可解决问题,又BC容

易求得,故将问题转化为求BE的长度,由△ABC∽△EDC可得

=

,从而求出EC,由此即可得出BE.7.(2017云南,3,3分)如图,在△ABC中,D、E分别为AB、AC上的点,若DE∥BC,

=

,则

=

.

答案

解析∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴

=

=

.8.(2015广西柳州,18,3分)如图,AD是△ABC的高,矩形EFGH内接于△ABC,且边FG落在BC上,

若BC=3,AD=2,EF=

EH,那么EH的长为

.

答案

解析设EH与AD交于点M,则AM⊥EH,∵四边形EFGH是矩形,∴EH∥BC,∴△AEH∽△ABC,

∴

=

,设EH=3x,则有EF=2x,AM=AD-EF=2-2x,∴

=

,解得x=

,则EH=

.9.(2018湖北武汉,23,10分)在△ABC中,∠ABC=90°.(1)如图1,分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线,垂足分别为M、N,求证:△ABM∽△BCN;(2)如图2,P是边BC上一点,∠BAP=∠C,tan∠PAC=

,求tanC的值;(3)如图3,D是边CA延长线上一点,AE=AB,∠DEB=90°,sin∠BAC=

,

=

,直接写出tan∠CEB的值.

解析(1)证明:∵∠M=∠N=∠ABC=90°,∴∠MAB+∠MBA=∠NBC+∠MBA=90°,∴∠MAB=∠NBC,∴△ABM∽△BCN.(2)如图,过点P作PM⊥AP交AC于点M,过点M作MN⊥PC交BC于点N,则△PMN∽△APB.∴

=

=tan∠PAC=

,设PN=2t,则AB=

t.∵∠BAP+∠APB=∠MPC+∠APB=90°,∠BAP=∠C,∴∠MPC=∠C,∴CN=PN=2t.易得△ABP∽△CBA,∴AB2=BP·BC,∴(

t)2=BP·(BP+4t),∴BP=t,∴BC=5t,∴tanC=

.

(3)在Rt△ABC中,sin∠BAC=

=

,∴tan∠BAC=

=

.过点A作AG⊥BE于点G,过点C作CH⊥BE交EB的延长线于点H,∵∠DEB=90°,∴CH∥AG∥DE,∴

=

=

,同(1)的方法得,△ABG∽△BCH,∴

=

=

=

,设BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,∴GH=BG+BH=4m+3n,∵AB=AE,AG⊥BE,∴EG=BG=4m,∴

=

=

,∴n=2m,∴EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m,在Rt△CEH中,tan∠CEB=

=

.

思路分析

(1)利用同角的余角相等判断出∠MAB=∠NBC,即可得出结论;(2)作PM⊥AP,MN⊥PC,先判断出△PMN∽△APB,得出

=

=

,设PN=2t,则AB=

t,再判断出△ABP∽△CBA,设PN=2t,根据相似三角形的性质可求得BP=t,则BC=5t,即可得出结论;(3)作AG⊥BE,CH⊥BE,先判断出

=

=

,同(1)的方法得,△ABG∽△BCH,所以

=

=

=

,设BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,进一步得出关于m,n的等式,解得n=2m,最后得出结论.方法指导

几何中的类比探究关键在于找到解决每一问的通法,本题涉及的相似三角形,要寻

找的比例关系或添加的辅助线均类似.同时要注意挖掘题干中不变的几何特征,根据特征寻方

法.10.(2017江苏宿迁,24,8分)如图,在△ABC中,AB=AC,点E在边BC上移动(点E不与点B、C重合),

满足∠DEF=∠B,且点D、F分别在边AB、AC上.(1)求证:△BDE∽△CEF;(2)当点E移动到BC的中点时,求证:FE平分∠DFC.

证明(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠B+∠BDE+∠BED=∠DEF+∠FEC+∠BED=180°,∠DEF=∠B,∴∠BDE=∠CEF,∴△BDE∽△CEF.(2)∵△BDE∽△CEF,∴

=

.∵点E是BC的中点,∴BE=CE.∴

=

.又∵∠DEF=∠B=∠C,∴△DEF∽△ECF,∴∠EFD=∠CFE,∴FE平分∠DFC.考点三位似1.(2018湖南邵阳,8,3分)如图所示,在平面直角坐标系中,已知点A(2,4),过点A作AB⊥x轴于点B.

将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的

,得到△COD,则CD的长度是

()

A.2

B.1

C.4

D.2

答案

A根据位似图形的性质,对应边的比等于位似比,可得

=

,因为AB=4,所以CD=2.故选A.2.(2017四川成都,8,3分)如图,四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形,若OA∶

OA'=2∶3,则四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比为

()

A.4∶9

B.2∶5

C.2∶3

D.

∶

答案

A由位似图形的性质知

=

=

,所以

=

=

.故选A.3.(2017湖南长沙,16,3分)如图,△AOB三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(6,0),C(0,0),以原点O为位

似中心,把这个三角形缩小为原来的

,可以得到△A'B'O,已知点B'的坐标是(3,0),则点A'的坐标是

.

答案(1,2)解析∵以原点O为位似中心,点B和点B'是对应点,∴位似图形位于第一象限,∵点A的坐标为

(2,4),位似比为1∶2,∴点A'(1,2).4.(2017甘肃兰州,17,4分)如图,四边形ABCD与四边形EFGH位似,位似中心是点O,

=

,则

=

.

答案

解析∵四边形ABCD与四边形EFGH位似,∴△OEF∽△OAB,△OFG∽△OBC,∴

=

=

,

=

=

.C组教师专用题组考点一相似的有关概念1.(2017甘肃兰州,1,4分)已知2x=3y(y≠0),则下列结论成立的是

()A.

=

B.

=

C.

=

D.

=

答案

A在等式左右两边同时除以2y(y≠0),可得

=

,故选A.2.(2016浙江杭州,2,3分)如图,已知直线a∥b∥c,直线m分别交直线a,b,c于点A,B,C;直线n分别交

直线a,b,c于点D,E,F.若

=

,则

=

()

A.

B.

C.

D.1答案

B∵a∥b∥c,∴

=

,又∵

=

,∴

=

,故选B.3.(2017辽宁阜新,14,3分)如图,在△ABC中,若DE∥BC,

=

,DE=4,则BC的长是

.

答案10解析∵DE∥BC,∴

=

,又∵

=

,∴

=

,又∵DE=4,∴

=

,∴BC=10.4.(2017吉林长春,11,3分)如图,直线a∥b∥c,直线l1、l2与这三条平行线分别相交于点A、B、C

和点D、E、F.若AB∶BC=1∶2,DE=3,则EF的长为

.

答案6解析∵直线a∥b∥c,直线l1、l2与这三条平行线分别相交于点A、B、C和点D、E、F,∴

=

.∵AB∶BC=1∶2,DE=3,∴

=

,∴EF=6.5.(2015甘肃兰州,17,5分)如果

=

=

=k(b+d+f≠0),且a+c+e=3(b+d+f),那么k=

.答案3解析由题意得a=bk,c=dk,e=fk,则a+c+e=k(b+d+f)=3(b+d+f),故k=3.考点二相似三角形的性质与判定1.(2017江苏连云港,4,3分)如图,已知△ABC∽△DEF,AB∶DE=1∶2,则下列等式一定成立的是

()

A.

=

B.

=

C.

=

D.

=

答案

D根据相似三角形对应线段的比等于相似比,得

=

=

;根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,得

=

;根据相似三角形的周长比等于相似比,得

=

;根据相似三角形对应角相等,得∠A=∠D.故选D.2.(2017湖南永州,8,3分)如图,在△ABC中,点D是AB边上的一点,若∠ACD=∠B,AD=1,AC=2,△

ADC的面积为1,则△BCD的面积为

()

A.1

B.2

C.3

D.4答案

C∵∠A=∠A,∠ACD=∠B,∴△ACB∽△ADC,∴

=

=

=2,∴△ACB和△ADC的相似比为2,面积比为4,∴△ACB的面积为4,△BCD的面积为3.3.(2017内蒙古通辽,7,3分)志远要在报纸上刊登广告,一块10cm×5cm的长方形版面要付广告

费180元,他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍,在每平方厘米版面广告费相同的情况下,他

该付广告费

()A.540元

B.1080元

C.1620元

D.1800元答案

C∵他要把版面的边长扩大为原来的3倍,即所得长方形与原长方形相似,且相似比为

3,∴新长方形的面积为30×15,∴该付广告费为(30×15)÷(10×5)×180=1620(元).4.(2018安徽,14,5分)矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足△

PBE∽△DBC.若△APD是等腰三角形,则PE的长为

.答案3或

解析在矩形ABCD中,AD=BC=8,在△ABD中,由勾股定理可得BD=

=10,∵AB<AD,∴根据△PBE∽△DBC可知P点在线段BD上,当AD=PD=8时,由相似可得

=

=

⇒PE=

;当AP=PD时,P点为BD的中点,∴PE=

CD=3,故答案为3或

.思路分析

根据AB<AD及已知条件先判断P点在线段BD上,再根据等腰三角形腰的情况分两

种情况:①AD=PD=8;②AP=PD,再由相似三角形中对应边的比相等求解即可.难点突破

判断P点在线段BD上是解答本题的突破口.5.(2017内蒙古包头,20,3分)如图,在△ABC与△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点D

在AB上,点E与点C在AB的两侧,连接BE,CD,点M,N分别是BE,CD的中点,连接MN,AM,AN.

下列结论:①△ACD≌△ABE;②△ABC∽△AMN;③△AMN是等边三角形;④若点D是AB的中

点,则S△ACD=2S△ABE.其中正确的结论是

.(填写所有正确结论的序号)答案①②解析∵AB=AC,∠BAC=∠DAE,AD=AE,∴△ACD≌△ABE,故①正确;∵△ABE≌△ACD,∴

∠ABE=∠ACD,BE=CD,∵M、N分别是BE,CD的中点,∴BM=CN.又∵AB=AC,∴△ABM≌△

ACN.∴AM=AN,即△AMN为等腰三角形.故③错误;∵△ABM≌△ACN,∴∠BAM=∠CAN,∴∠

BAM+∠NAD=∠CAN+∠NAD,即∠CAB=∠NAM,∵

=

=1,∴△ABC∽△AMN,故②正确;∵D是AB的中点,∴AD=

AB,∵△ACD和△ABC在AB上的高相等,∴S△ABC=2S△ACD,∵△ACD≌△ABE,∴S△ABC=2S△ABE.故④错误.综上,正确的结论是①②.6.(2015广东梅州、汕尾,14,5分)已知:△ABC中,点E是AB边的中点,点F在AC边上,若以A,E,F为

顶点的三角形与△ABC相似,则需要增加的一个条件是

.(写出一个即可)答案

F是AC的中点(或EF∥BC或∠AEF=∠B或∠AEF=∠C或∠AFE=∠B或∠AFE=∠C)解析答案不唯一,根据三角形相似的判定方法相应添加条件即可.7.(2016泰安,23,3分)如图,矩形ABCD中,已知AB=6,BC=8,BD的垂直平分线交AD于点E,交BC于

点F,则△BOF的面积为

.

答案

解析在矩形ABCD中,AB=CD=6,BC=8,∠C=90°,∴BD=10.∵EF垂直平分BD,∴BO=DO=5.∵∠DBC=∠FBO,∠C=∠FOB=90°,∴△DBC∽△FBO.∴

=

.∴

=

,∴OF=

.∴S△BOF=

×

×5=

.8.(2017贵州铜仁,20,10分)如图,已知∠BAC=∠EAD,AB=20.4,AC=48,AE=17,AD=40.求证:△ABC∽△AED.

证明∵AB=20.4,AC=48,AE=17,AD=40,∴

=

=1.2,

=

=1.2,∴

=

,∵∠BAC=∠EAD,∴△ABC∽△AED.9.(2017湖南株洲,22,8分)如图,正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上,EF与

BC相交于点G,连接CF.(1)求证:△DAE≌△DCF;(2)求证:△ABG∽△CFG.

证明(1)∵∠EDF=∠ADC=90°,∴∠EDF-∠ADF=∠ADC-∠ADF,即∠EDA=∠FDC,又∵ED=FD,AD=CD,∴△DAE≌△DCF(SAS).(2)∵△DAE≌△DCF,∴∠CFD=∠AED=∠AFD=45°,∴∠CFD+∠DFG=90°,∠CFG=∠ABG=90°.又∵∠AGB=∠CGF,∴△ABG∽△CFG.10.(2017江苏泰州,20,10分)如图,△ABC中,∠ACB>∠ABC.(1)用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM,使∠ACM=∠ABC(不要求写作法,保留作图痕迹);(2)若(1)中的射线CM交AB于点D,AB=9,AC=6,求AD的长.

解析(1)如图所示:

(2)∵∠ACM=∠ABC,∠A=∠A,∴△ACD∽△ABC,∴

=

,又AB=9,AC=6,∴

=

,∴AD=4.11.(2017新疆乌鲁木齐,23,10分)如图,AB是☉O的直径,CD与☉O相切于点C,与AB的延长线交

于点D.(1)求证:△ADC∽△CDB;(2)若AC=2,AB=

CD,求☉O的半径.

解析(1)证明:连接CO.∵CD是☉O的切线,∴∠OCD=90°.

(1分)

又∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,

(2分)∵OA=OC,∴∠CAO=∠ACO.∵∠ACO=90°-∠OCB,∠DCB=90°-∠OCB,∴∠ACO=∠DCB,∴∠CAD=∠BCD,又∠ADC=∠CDB,∴△ADC∽△CDB.

(5分)(2)设CD=x,则AB=

x,OC=OB=

x,∵∠OCD=90°,∴OD=

=

=

x,∴BD=OD-OB=

x.

(6分)由(1)知△ADC∽△CDB,∴

=

,即

=

,∴CB=1,

(8分)在Rt△ACB中,AB=

=

,∴☉O的半径为

.

(10分)12.(2016福建福州,25,12分)如图,在△ABC中,AB=AC=1,BC=

,在AC边上截取AD=BC,连接BD.(1)通过计算,判断AD2与AC·CD的大小关系;(2)求∠ABD的度数.

解析(1)∵AD=BC=

,∴AD2=

=

.∵AC=1,∴CD=1-

=

,∴AD2=AC·CD.(2)∵AD2=AC·CD,AD=BC,∴BC2=AC·CD,即

=

.又∠C=∠C,∴△ABC∽△BDC.∴

=

.又AB=AC,∴BD=BC=AD.∴∠A=∠ABD,∠ABC=∠C=∠BDC.设∠A=∠ABD=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,∴∠ABC=∠C=∠BDC=2x,由∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°解得x=36°.∴∠ABD=36°.13.(2016淄博,24,9分)如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,点M,N分别是边BC,CD上的动点

(不与点B,C,D重合),AM,AN分别交BD于点E,F,且∠MAN始终保持45°不变.(1)求证:

=

;(2)求证:AF⊥FM;(3)请探索:在∠MAN的旋转过程中,当∠BAM等于多少度时,∠FMN=∠BAM?写出你的探索结

论,并加以说明.

解析(1)证明:由题意得∠DBC=∠MAN=45°.又∠AEF=∠BEM,∴△AEF∽△BEM.∴

=

,又∠AEB=∠FEM,∴△AEB∽△FEM.∴∠EMF=∠EBA=45°.∴∠AFM=90°.∴

=sin45°=

.(2)证明:由(1)知∠AFM=90°,∴AF⊥FM.(3)当∠BAM=22.5°时,∠FMN=∠BAM.理由:∵∠MAN=45°,∠BAM=22.5°,∠BAD=90°,∴∠DAN=∠BAM=22.5°.∵AB=AD,∠ABM=∠AND=90°,∴△ABM≌△ADN.∴BM=DN.∵CB=CD,∴CM=CN.∵∠MCN=90°,∴∠NMC=∠DBC=45°.∴MN∥BD.∴∠BFM=∠FMN.又由(1)得∠BAM=∠BFM,∴∠FMN=∠BAM.14.(2016四川成都,20,10分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以CB为半径作☉C,交AC于点D,交

AC的延长线于点E,连接BD、BE.(1)求证:△ABD∽△AEB;(2)当

=

时,求tanE;(3)在(2)的条件下,作∠BAC的平分线,与BE交于点F,若AF=2,求☉C的半径.

解析(1)证明:∵DE为☉C的直径,∴∠DBE=90°,∵∠ABC=90°,∴∠ABD=∠CBE,∵BC=CE,∴∠CBE=∠E,∴∠ABD=∠E,又∵∠BAD=∠EAB,∴△ABD∽△AEB.(2)过B作BH⊥AE交AE于点H.由

=

,设AB=4x,BC=3x,∴在Rt△ABC中,AC=

= =5x,∵S△ABC=

AC·BH=

AB·BC,∴AC·BH=AB·BC,∴BH=

=

x,∴AH=

=

=

x,∴HE=AC+CE-AH=5x+3x-

x=

x,∴tanE=

=

.(3)过F作FM⊥AE交AE于点M.

∵AF平分∠BAC,∴

=

=

=2,∴

=

,∵BH∥FM,∴△EFM∽△EBH,∴

=

=

=

,∴EM=

EH=

x,FM=

BH=

x,∴AM=AE-ME=

x,在Rt△AFM中AM2+FM2=AF2,即

+

=22,解得x=

,∴☉C的半径r=3x=

.考点三位似1.(2017黑龙江绥化,6,3分)如图,△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的,若△

A'B'C'的面积与△ABC的面积比是4∶9,则OB'∶OB为

()

A.2∶3

B.3∶2

C.4∶5

D.4∶9答案

A由位似变换的性质可知,△A'B'C'∽△ABC.∵△A'B'C'的面积与△ABC的面积比是4∶9,∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2∶3,∴

=

=

,故选择A.2.(2016东营,8,3分)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-3,6)、B(-9,-3),以原点O为位似中心,相

似比为

,把△ABO缩小,则点A的对应点A'的坐标是

()

A.(-1,2)

B.(-9,18)C.(-9,18)或(9,-18)

D.(-1,2)或(1,-2)答案

D因为相似比为

,所以应将点A的坐标除以3或-3,则点A'的坐标为(-1,2)或(1,-2).故选D.3.(2015辽宁辽阳,9,3分)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,建立平面直角坐标系,△

ABO与△A'B'O'是以点P为位似中心的位似图形,它们的顶点均在格点(网格线的交点)上,则点

P的坐标为

()

A.(0,0)

B.(0,1)

C.(-3,2)

D.(3,-2)答案

C如图,连接B'B、O'O并延长交于点P,则点P就是位似中心,易得点P的横坐标为-3,点

P的纵坐标为2,∴点P的坐标为(-3,2),故选C.

4.(2016辽宁铁岭,17,3分)如图,正方形ABCD的顶点A、B的坐标分别为(-2,0),(-1,0),顶点C、D

在第二象限内.以原点O为位似中心,将正方形ABCD放大为正方形A'B'C'D',若点B'的坐标为(2,

0),则点D'的坐标为

.

答案(4,-2)解析∵A、B的坐标分别为(-2,0),(-1,0),∴AB=1.∵CB⊥x轴,C'B'⊥x轴,∴CB∥C'B'.∴△BOC∽△B'OC'.∴BC∶B'C'=BO∶B'O=1∶2.∴大正方形的边长为2.同理,易知△OAD∽△OA'D'.∴AO∶A'O=AD∶A'D'=1∶2.又∵OA=2,∴OA'=4.∴点D'的坐标为(4,-2).5.(2016湖南郴州,14,3分)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点坐标分别为O(0,0),A(2,

0),B(2,1),C(0,1).以坐标原点O为位似中心,将矩形OABC放大为原图形的2倍,记所得矩形为OA1

B1C1.B的对应点为B1,且B1在OB的延长线上,则B1的坐标为

.

答案(4,2)解析∵矩形为OA1B1C1与矩形OABC关于原点位似,且位似比为2,∴

=

=2,∵B(2,1),且B1在OB的延长线上,∴B1(4,2).6.(2015辽宁沈阳,14,4分)如图,△ABC与△DEF位似,位似中心为点O,且△ABC的面积等于△

DEF面积的

,则AB∶DE=

.

答案2∶3解析∵△ABC与△DEF位似,∴△ABC∽△DEF,∴

=

.∵S△ABC=

S△DEF,∴

=

.∴

=

,∴

=

(舍负),即AB∶DE=2∶3.7.(2017四川凉山州,21,8分)如图,在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系,已知△ABC

三个顶点分别为A(-1,2)、B(2,1)、C(4,5).(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;(2)以原点O为位似中心,在x轴的上方画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且位似比为2,并

求出△A2B2C2的面积.

解析(1)如图所示,△A1B1C1即为所求作的三角形.

(2)如图所示,△A2B2C2即为所求作的三角形.S△ABC=4×5-

×1×3-

×2×4-

×3×5=7,∵△A2B2C2∽△ABC,且相似比为2,∴

∶S△ABC=4,∴

=4×7=28.8.(2017四川雅安,20,9分)如图,△ABC中,A(-4,4),B(-4,-2),C(-2,2).

(1)请画出将△ABC向右平移8个单位长度后的△A1B1C1;(2)求出∠A1B1C1的余弦值;(3)以O为位似中心,将△A1B1C1缩小为原来的

,得到△A2B2C2,请在y轴右侧画出△A2B2C2.解析(1)如图所示:

(2)如图,过点C1作C1D⊥A1B1于D,在Rt△B1C1D中,B1D=4,C1D=2,∴由勾股定理,得B1C1=

=2

,∴cos∠A1B1C1=

=

=

.

(3)将△A1B1C1以O为位似中心,缩小为原来的

,在y轴右侧得到A2(2,2),B2(2,-1),C2(3,1),如图.A组2016—2018年模拟·基础题组考点一相似的有关概念三年模拟1.(2016德州一模,10)如图,在平行四边形ABCD中,EF∥AB交AD于E,交BD于F,DE∶EA=3∶4,

EF=3,则CD的长为

()A.4

B.7

C.3

D.12答案

B∵DE∶EA=3∶4,∴DE∶DA=3∶7.∵EF∥AB,∴

=

,∵EF=3,∴AB=7.∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB=7.故选B.2.(2018潍坊五县期中,15)如图,AB∥CD∥EF,AF与BE相交于点G,且AG=2,GD=1,DF=5,则

的值为

.

答案

解析∵AG=2,GD=1,∴AD=AG+GD=3,∵AB∥CD∥EF,DF=5,∴

=

=

.考点二相似三角形的性质与判定1.(2017菏泽曹县二模,7)如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别是BC,AC,AB上的点,且DE⊥AC,EF

⊥AB,FD⊥BC,则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于

()

A.1∶3

B.2∶3

C.

∶2

D.

∶3答案

A∵△ABC是正三角形,∴∠B=∠C=∠A=60°,又∵DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,∴∠CED=∠AFE=∠BDF=90°,∴∠CDE=∠BFD=∠AEF=30°,∴∠DFE=∠FED=∠EDF=60°,

=

,∴△DEF是正三角形,BD∶DF=1∶

①,BD∶AB=1∶3②,△DEF∽△ABC,由①÷②得,

=

,∴DF∶AB=1∶

,∴△DEF的面积与△ABC的面积之比等于1∶3.2.(2018菏泽东明一模,12)如图,△ABC中,∠AED=∠B,AD=2,DB=4,AE=3,则EC=

.

答案1解析∵∠A=∠A,∠AED=∠B,∴△ADE∽△ACB,∴

=

,又∵AD=2,DB=4,AE=3,∴AB=AD+BD=6,∴

=

,∴AC=4,∴CE=AC-AE=1.3.(2017济南天桥一模,19)如图,△ABC中,∠ACB=90°,若CD⊥AB于D,且BD=4,AD=9,则tanA=

.

答案

解析∵∠BCD+∠DCA=∠DCA+∠A=90°,∴∠BCD=∠A,又∠BDC=∠CDA=90°,∴△BDC∽△CDA,∴

=

,∴CD2=BD·AD=4×9=36,∴CD=6,∴tanA=

=

=

.4.(2016泰安泰山模拟,26)如图,在△ABC中,AD是高,矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上,

Q、M在边BC上.BC=8cm,AD=6cm.(1)若PN=2PQ,求矩形PQMN的周长;(2)当PN为多少时,矩形PQMN的面积最大?最大面积为多少?

解析(1)由题意得PQ∶AD=BP∶AB,PN∶BC=AP∶AB.∴

+

=

+

=

=

=1,又∵PN=2PQ,BC=8cm,AD=6cm,∴

+

=1,∴PQ=2.4cm.则PN=4.8cm,∴矩形PQMN的周长=2×(2.4+4.8)=14.4(cm).(2)∵四边形PQMN是矩形,∴PN∥BC,∠PQM=90°,∠QPN=90°,∵AD是高,∴∠ADB=90°,∴四边形PQDE是矩形,∴∠AEN=90°,PQ=DE,∵PN∥BC,∴△PAN∽△BAC,∴

=

.设AE=xcm(0<x<6),矩形PQMN的面积为Scm2,则

=

,DE=6-x,∴PN=

x,PQ=6-x,∴S=-

x2+8x=-

(x2-6x+9)+12=-

(x-3)2+12.∴当x=3时,S取最大值,为12.即当AE=3cm时,矩形PQMN的面积最大,最大面积是12cm2.考点三位似1.(2018德州禹城等五县一模,8)如图,已知点E(-4,2),F(-2,-2),以O为位似中心,按比例尺1∶2,把

△EFO缩小,则点E的对应点E'的坐标为

()

A.(2,-1)

B.(8,-4)C.(2,-1)或(-2,1)

D.(8,-4)或(-8,-4)答案

C以O为位似中心,按比例尺1∶2把△EFO缩小,易知点E的对应点E'的坐标为(-2,1)或

(2,-1).方法规律

本题考查的是位似变换的性质,平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似

中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.2.(2016聊城阳谷二模,5)如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点,边OA在x轴上,

OC在y轴上,如果矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似,且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC

面积的

,那么点B'的坐标是

()

A.(-2,3)

B.(2,-3)C.(3,-2)或(-2,3)

D.(-2,3)或(2,-3)答案

D∵矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似,∴矩形OA'B'C'∽矩形OABC,∵矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC的面积的

,∴位似比为1∶2,∵点B的坐标为(-4,6),∴点B'的坐标是(-2,3)或(2,-3).故选D.3.(2018济南历城一模,14)如图,将△AOB以O为位似中心,扩大得到△COD,其中B(3,0),D(4,0),

则△AOB与△COD的相似比为

.

答案3∶4解析∵△AOB与△COD关于点O成位似图形,∴△AOB∽△COD,∴△AOB与△COD的相似比等于OB∶OD=3∶4.4.(2016聊城模拟,15)如图,正方形ABDC和正方形OEFG中,点C和点F的坐标分别为(-3,2),(1,-1),

则两个正方形的位似中心的坐标是

.

答案(-1,0)解析∵四边形ABDC和四边形OEFG是正方形,点C和点F的坐标分别为(-3,2),(1,-1),∴A(-5,2),B(-5,0),E(1,0),G(0,-1).易知直线AF与直线CG的交点为位似中心,求得直线AF的解析式为y=-

x-

,直线CG的解析式为y=-x-1,由

解得

即位似中心的坐标为(-1,0).B组2016—2018年模拟·提升题组(时间:40分钟分值:50分)一、选择题(每小题3分,共9分)1.(2017