数字信号处理第3章 离散傅里叶变换

第三章DFTDiscreteFourierTransform各种傅里叶变换的关系、意义非周期连续时间信号的频谱~傅里叶变换(FT)周期连续时间信号的频谱~傅里叶级数(FS)非周期离散时间信号的频谱~离散时间序列的傅里叶变换(DTFT)周期离散时间信号的频谱~离散傅里叶级数(DFS)有限长序列的频谱~离散傅里叶变换(DFT)§3.1几种形式的傅里叶变换及应用一、非周期的连续时间、连续频率的傅里叶变换矩形脉冲矩形脉冲频谱二、连续时间、离散频率的傅里叶变换——连续时间周期函数的傅里叶级数周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号离散频谱三角形式的FS展开：任意连续的周期时间信号可以展开为FS：意义：连续周期信号可分解为无穷多正弦信号三、非周期的离散时间、连续频率的傅里叶变换(DTFT)(1.4)x(n)=anu(n),|a|=0.8指数序列的幅度频谱四、离散时间、离散频率的傅里叶变换前面三种傅里叶变换对,都不适用在计算机上运算，因为至少在一个域（时域或频域）中，函数是连续的。对于周期离散时间信号：周期性时间信号可以产生离散频谱离散时间信号可以产生周期性频谱得出其频谱为周期离散的。DFS正变换：反变换：0kx(nT)=x(n)0T2T(t)nNT§3.2周期序列的离散傅里叶级数（DFS）由周期连续时间信号的FS得到周期离散时间信号的DFS：DFS的推导：对上式进行抽样，得：由连续时间的周期信号的复数形式的傅立叶级数开始：则上式变成：的k次谐波系数的求法推导离散傅氏级数的习惯表示法正变换：反变换：其它推导方法1：DTFT其频谱为周期连续的，对其频域进行采样，使其成为周期离散频谱函数。设在一个周期内采样N个点，则两采样点间距为则各抽样频点频率为：非周期离散时间信号x(n)的DTFT为(单位圆上的Z变换)其它推导方法2：Z变换1234567(N-1)k=0例：得：下一页作业：习题3.2，3.3一、线性：§3.3离散傅里叶级数的性质其中a,b为任意常数，所得到的频域序列也是周期序列，周期为N。二、时域移位三、频域移位：（调制特性）证明略，变量代换，周期性下一页四、周期卷积特性：1、时域卷积称为周期卷积周期卷积和线卷积的区别：周期卷积：参与卷积的两个序列均是周期为N的周期序列，卷积的结果也是以N为周期的周期序列，卷积求和的过程也只限于在一个周期内进行。线性卷积：参与卷积的两个序列不是周期序列，长度任意，卷积的结果长度为N+M-1，卷积求和的过程在(-，

)进行。

周期卷积的过程：①变量代换②反折③对应位置相乘,在一个周期内求和④平移，即依次改变n的值，再求和⑤周期延拓（卷积后的序列仍然是一个周期为N的周期序列）例1：m计算区mm0123将向右移一位、得到，m计算区mm0123以此类推，n1344计算区31例2：列表05…054321…432154…543210…321043…432105…210532…321054…105421…210543…054310…105432…543212…123450…345011…111100…110067…012345…-4-3-2-110861014122、频域卷积返回DFT是一种重要的变换由于有限长序列，引入DFT，它是分析有限长序列的有用工具。DFT在信号处理的理论上有重要意义。由于存在着计算机DFT的有效快速算法--FFT，使DFT在各种数字信号处理的算法中起着核心的作用。谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上实现。§3.4离散傅里叶变换有限个有意义的量值问题：实际处理的信号是有限长时间信号，所以要建立周期离散信号和有限时间信号的联系。周期序列本身只有有限个量值有意义；周期序列的DFS也只有N个独立的量值；因此，可以得到有限长序列的离散傅立叶变换DFT有限长序列和周期序列的关系1x(n)是周期序列的一个周期，主值序列x(n)N-1n0......n0N-1主值区间余数运算表达式即表示n被N除，商为m，余数为n1。(n1)是((n))N的解，或称作取余数，或说作n对N取模值，或简称为取模值，n模N。“n模N”例周期延拓(1)N=5时2310.5nx(n)(2)N=6时，补零加长x(n)21310.5n120.53120.53x(n)n2310.521130.51130.5①N的选取对结果的影响：(3)N<5时，先截断再延拓②在((-n))N，((n-m))N的情况下，图像如何表示？((-n))N：先反折，序列长度<N时，再补零，以新序列进行延拓((n-m))N：先平移，序列长度<N时，再补零，以新序列进行延拓作业：习题3.1有限长序列X(k)与周期序列的关系2周期序列是有限长序列X(k)的周期延拓。有限长序列X(k)是周期序列的主值序列。把DFS的定义式的两边（时域、频域）各取主值区间，就得到关于有限长序列的时域频域的对应变换对，即离散傅里叶变换(DFT)。有限长序列DFT变换对的表达式或者：在离散傅里叶变换关系中，有限长序列都作为周期序列的一个周期来表示,都隐含有周期性意义。如何对DFT进行解析运算？1、如果x(n)给出的是表达式，则直接带入应用等比序列求和公式即可2、若x(n)给出的是具体值或图像，则把展开，代入每个样值点，逐点计算。

例：已知序列x(n)=R4(n)，求序列的N点DFT1、N=8类比R4(n)的DTFTN=16应注意的问题：1、N的含义b、N确定则表达式确定，计算结果即可得出a、N点的DFT指频域中的样点数，因此N不一定和原来时域序列的长度相同，但在实际计算时求和是对n进行，因此求和符号中的N受原来序列长度限制。但可以看成是对原序列进行补零加宽或截断后再进行N点的DFT。作业：习题3.6(1)(3)(5)，3.8下一页2、有关频谱的几个概念：a、最小频率间隔：0=2/T0

，称为频谱的分辨力。T0为截取的信号的长度。频谱分析中希望提高分辨力，唯一办法就是增加T0，即增加实际的信号量，而与N无关。b、频谱中的最高频率：X(k)以N/2为对称，即N/2＋1~N-1对应负频端频谱，所以频谱分析时只画到N/2即可；横坐标k表现的是频率一、线性：§3.5离散傅里叶变换(DFT)的性质二、圆周移位：以其长度N为周期，延拓成周期序列，再对周期序列进行移位，然后取主值区间。得到的仍是长度为N的有限长序列，且不会损失信号的信息，只是引起相位的变化。图形n0N-1x(n)n0周期延拓n0左移2n0取主值N-1由于我们取主值序列，即只观察n=0到N-1这一主值区间，当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同值的抽样又从此区间的另一端进来。如果把x(n)排列在一个N等分的圆周上，序列的移位就相当于x(n)在圆上旋转，故称作圆周移位。1、时移：2、频移（调制定理）：返回三、对称性（只讨论实序列）1、实偶序列的DFT仍为实偶序列2、实奇序列的DFT为虚奇序列

3、实序列的DFT：实部为偶对称，虚部为奇对称k=0,1,2…N/2，为奇对称。k=N/2＋1,…N-1对应负频端。k=0,1,2…N/2，为偶对称；频谱分析通常取对数：20log10|X(k)|频谱对称的意义：只有N/2＋1个量值有意义，频谱分析只需取到0～N/2即可，其余全为对称。

返回四、圆周卷积和

卷积的过程和周期卷积一样，只是结果取周期卷积结果的主值区间。

返回几种傅立叶变换的性质：变换名称性质DTFTDFSDFT线性a1x1+a2x2a1X1+a2X2对称实序列实序列奇偶对称时移x(n-n0)e-jX

注意！频移(调制)ejxX(/k-m)卷积时域、频域周期卷积(时频)圆周卷积(时频)帕斯瓦尔了解了解一、圆周卷积和线性卷积的关系

§3.6用DFT计算线性卷积线卷积中的两序列没有限制，长度分别为N、M，卷积的过程在（-∞,∞）进行，卷积的结果长度为N+M-1；而圆周卷积两序列的长度经补零后必须相等，卷积的过程在主值区间(0,L-1)内进行，结果为？

LinearConvolutionCircularConvolution例：

N=6的圆周卷积圆周卷积和线性卷积的关系

对x1(n)和x2(n)补零，使其长度均为L对x2(n)进行周期延拓：上式表明圆周卷积是线性卷积y(n)以L为周期延拓后得到的周期序列的主值序列。

结论：圆周卷积是线性卷积y(n)以L为周期延拓后得到的周期序列的主值序列。如