初中数学专题训练-圆-垂直于弦的直径1

精品设计精品设计垂直弦的直径一、圆是轴对称（有无数条对称轴，过圆心的任一条直线都是对称轴）；又是中心对称，对称中心是圆心.二、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.符号语言：TCD为OO的直径，AB为OO的弦，且CD丄AB,垂足为E厂、厂、、厂、二AE=BE,丄匸■=三匚■,一1一二=二一|.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧•••CD为OO的直径，AB为OO的弦（不是直径），且AE=BE.厂、C、厂、:.CD丄AB，d=m匚，2Zj=三二.弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE）考点分析：垂径定理及推论的应用，证明.典型例题分析类型1.垂径定理及推论概念例1．下面四个命题中正确的一个是（）A•平分一条直径的弦必垂直于这条直径B.平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C.弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D.在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心例2.如图1-2,如果AB为。0直径，弦CD丄AB,垂足为E，那么下列结论中错误的是（）A.CE=DEB.刃打C.ZBAC=/BADD.AC>AD例3.如图1一3在OO中，弦CD垂直平分半径OA，且CD=6cm,则半径OA的长为（）B.D.8cmB.D.8cm添加条件：写出一个即可），就可得例4.如图1一4，。0的直径CD与弦AB交于点M，添加条件：写出一个即可），就可得到M是AB的中点•类型2.垂径定理的运用在垂径定理的运用中，通常的是要利用定理构建直角三角形，利用勾股定理进行运算.例5.过00内一点M的最长的弦长为10cm，最短的弦长为8cm，那么。O的半径等于cm，OM的长为cm类型2.垂径定理分类讨论例1.如图2—1,00的直径为10,弦AB的长为8,M是弦AB上的动点,则OM的长的取值范围是（）A.3<OM<5B.4<OM<5C.3<OM<5D.4<OM<5例2.已知：AB、CD为0O的两条弦，且AB//CD,0O的半径为5cm,AB=8cm,CD=6cm，求AB、CD之间的距离.

例3.已知：AABC内接于OO,AB=AC，半径OB=5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求AB的长.类型3.利用垂径定理求线段长度，角度例1.如图3一1，在圆O中，直径AB垂直于弦CD，并且交CD于E，直径MN交CD于F，且FO二FD二2OE，求ZCOD.图3-1例2.如图3-2,AB为OO的直径，且AB丄弦CD于E，CD=16,AE=4,求OE的长.图3一2例3.如图3-3,在Rt^ABC中，上C=9Oo,AC=5cm,BC=12cm，以C为圆心、AC为半径的圆交斜边例4.如图3—4,已知：AB是OO的直径，弦CD交AB于E点，BE=1,AE=5,/AEC=3Oo,求CD的长.AA图3-4例5.如图3—5,0是两个同心圆的圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点,OE丄CD于E,若AB=2CD=4OE求：大圆半径R与小圆半径r之比.类型4.垂径定理相关证明例1.如图4—1,BF,CE是。0的直径，盒=&=S5.求证：ZOBN=/OCN.图4一1例2・如图4一2,F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任一点，A是妾的中点，AD丄BC于D.求证：AD求证：AD=1BF.例3•已知：如图4—3,00的弦AB,CD相交于点P,P0是AAPC的平分线，点M,N分别是?,&的中点，MN分别交AB,CD于点E,F.求证：MN丄P0.例4.如图，00的直径AB例4.如图，00的直径AB和弦CD相交于点M,AE丄CD,BF丄CD，垂足分别是E,F.(1)求证：CE丄DF.求AE-BF的值.类型5.垂径定理的综合应用例1.一水平放置的圆柱型水管的横截面如图5一1所示，如果水管横截面的半径是13cm，水面宽AB=24，则水管中水深cm.图5一1例2.如图5一2，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一艘宽3米，船仓顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里.问货船能否顺利通过这座拱桥？例3.如图5—3，在某养殖场A处发现高致病性禽流感，为防止禽流感蔓延，政府规定离疫点3千米范围内为捕杀区；离疫点3至5千米范围内为免疫区•现有一条笔直的公路EB通疫区，若在捕杀区内CD=4千米，问这条公路在改免疫区内多少千米？

【拓展提升】例1.如图6-1,已知在0O中，弦AB二CD，且AB丄CD，垂足为H,OE丄AB于E,OF丄CD于F.(1)求证：OEHF是正方形.⑵若CH二3,DH二9，求圆心O到弦AB和CD的距离.例2.如图6-2,AB是0O的直径,P是AB上一动点，C、D是0O的两点，有ZCPB=/DPB.例3.已知：如图6-3,A,B是半圆O上的两点，CD是。0的直径，上AOD=800,B是中点.(1)在CD上求作一点P,使得AP+PB最短；⑵若CD=4cm,求AP+PB的最小值.例4.如图6—4,AB是OO的直径，CD是弦，AE丄CD于E,BF丄CD于F求证：CE=DF;OE=OF.图6-4变式题1.如图6-5,00的直径AB和弦CD相交于点M,AE丄CD,