概率论与数理统计课件

概率论与数理统计Probability&MathematicalStatistics第一章随机事件及其概率

1.3条件概率与全概率公式(1)

1.3条件概率与事件的独立性实例:考察有两个孩子的家庭,假定男女出生率一样,则两个孩子(从大到小排列)的性别为(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)且可能性是一样的A=“该家庭有一男一女”B=“该家庭至少有一个女孩”(男,女),(女,男)(男,女),(女,男),(女,女)P(A)=1/2若已知该家庭至少有一个女孩,即B已发生,此时A发生的概率?P(B)=3/4P(A|B)=2/3=2/3这类概率问题称之为条件概率满足条件即B发生的样本空间:(男,女),(女,男),(女,女)已知B发生的条件下A发生的有利场合:(男,女),(女,男)已知B发生的条件下A发生的概率(记为P(A|B))为P(A)=1/2P(B)=3/4巧合吗？一、条件概率定义1.

对任意两个事件A,B,若P(B)>0,则称P(A|B)=P(AB)P(B)为已知事件B发生的条件下事件A发生的条件概率同样，若P(A)>0,则有P(B|A)=P(AB)P(A)因而，可以得到P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)这个公式被称为乘法公式或乘法定理例题：课本P39例2说明：条件概率的三种解法：

1、试验法:根据条件概率的直观意义求概率

2、缩减样本空间法：在缩减后的样本空间中求事件的概率

3、公式法：条件概率公式例1.甲乙两个城市都位于长江下游，根据100多年来的气象记录，知道一年中的雨天的比例甲市占20%,乙市占18%,两地同时下雨占12%.若以事件A记甲市出现雨天，事件B记乙市出现雨天.求已知某市下雨，另一城市下雨的概率和至少一个城市下雨的概率.解:根据已知条件,有P(A)=0.2P(B)=0.18P(AB)=0.12已知甲市下雨时乙市下雨的概率P(B|A)=P(AB)/P(A)=0.12/0.2=0.6至少有一个城市下雨的概率=0.2+0.18-0.12=0.26从以上的结果来看，在下雨这个方面，两个城市是有联系的P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)已知乙市下雨时甲市下雨的概率P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.12/0.18=0.67P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)乘法公式也可推广到有限多个事件的情形：定理1.广义乘法公式则是一个有限事件序列，若,0)(,,,12121>-nnAAAPAAALL二、条件概率的性质首先，不难验证条件概率P(A|B)具有概率的三个基本性质，即三条公理：同样,类似于概率，对条件概率也可以由三条公理推导出其余的一些性质:=0=0课本：P40例题4注意：问题（2）第一次检测到正品后，第二次检测是正品的概率。区别于问题：第二次检测到正品的概率？例2.一袋中有同样大小的硬币10枚,其中7个面值为1角,3个面值为5角.采用不放回取样（即每次取一枚,取后不放回),求:(1)第三次才取到面值为5角的硬币的概率;(2)前三次中至少有一次取到面值为5角的硬币的概率.硬币10枚,其中7枚面值为1角,3枚面值为5角,取3次前三次中至少有一次取到面值为5角的硬币为解:第三次才取到5角的硬币为(1)根据乘法公式(2)根据对偶律例3.(鲍耶(Pólya)模型)一罐中装有a只白球和b只黑球,每次从中任取一球,记下颜色后放回并加入c只与之同颜色的球,如此进行n次，求前m次都取到黑球、后n-m次都取到白球的概率.解:所求事件为根据广义乘法公式注:c=0即为有放回取球模型;c=-1即为不放回取求模型从一副扑克中(52张)依次随机抽取3张,已知其中有一张A，求其中恰有2张A的概率思考:三、事件的独立性从条件概率可知，在一般情况下P(B|A)=P(B)但在一定条件下，它们也可以相等，即P(B|A)=P(B)事件A是否发生不影响事件B发生的概率。定义3.对任意两个事件A,B,如果P(AB)=P(A)P(B)则称事件A与事件B相互独立.事实上如果P(B|A)=P(B)则A,B相互独立两个事件相互独立的定义定理1.如果事件A与事件B相互独立,则下列三对事件也分别相互独立证明:实际问题中,往往从事件的实际关系去分析独立性.四对有一对相互独立，则其余三对也相互独立例8.甲乙两人同时独立向同一目标射击,已知甲乙击中目标的概率分别为0.8和0.7,求目标被击中的概率.解:设A为甲击中目标

B为乙击中目标C为目标被击中显然，两人是否击中目标的概率不受对方影响所以,A与B相互独立所以P(C)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)根据不同的概率公式，本问题还有许多种解法例9.已知P(A)>0,P(B)>0,(1)如果事件A,B相互独立，那么A,B是否互不相容?(2)反之，如果A,B互不相容,那么AB是否相互独立?解:(1)如果A,B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B)>0所以A,B不是互不相容的,即A,B相容.(2)反之,如果A,B互不相容,则P(AB)=0因而P(B|A)=P(AB)/P(A)=0但P(B)>0P(B|A)=P(B)所以故,事件A,B不相互独立在例9中,如果没有条件P(A)>0,P(B)>0,情况会怎样?如果P(A)=0，P(AB)=P(B)P(A|B)=0P(A)P(B)=0所以,P(AB)=P(A)P(B)=0A,B互不相容且相互独立一般来说,互不相容和相互独立不是一回事另外,不可能事件与任意事件相互独立并且互斥必然事件与任意事件相互独立但不互斥定义4.设A,B,C为随机事件,若P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)则称事件A,B,C两两相互独立定义5.设A,B,C为随机事件,若P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)则称事件A,B,C相互独立P(ABC)=P(A)P(B)P(C)注意:事件的两两相互独立和相互独立的区别例10.有一个质地均匀的正四面体的骰子,四面颜色分别为红色、黑色、白色、红黑白三色,随机将骰子抛出,试分析朝下一面的结果.解:设A分别表示骰子朝下的一面有红色、.、B白色、C和黑色.则P(A)=1/2P(B)=1/2P(C)=1/2P(AB)=1/4P(AC)=1/4P(BC)=1/4P(ABC)=1/4P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)所以事件A,B,C两两独立,但不相互独立定义5.两个、三个事件的相互独立也可推广到n个事件的情形成立则称相互独立四、独立试验和Bernoulli试验模型在n次试验中,如果任何一次试验中事件A发生的概率不受其他各次试验结果的影响,则称这n次试验为相互独立试验,简称独立试验.如果一个试验在给定的条件下独立重复n次,且满足:(1)每次试验只有两个可能的结果:(2)每次试验中事件发生的概率相等,且则称这样的试验为n重贝努里(Bernoulli)试验如果某批产品有a件次品和b件正品,我们采用有放回和不放回抽样方式从中抽n件产品，问正好有k件是次品的概率是多少?(以前出现过该题）解:只考虑有放回抽样场合假设在一次抽样中抽到次品为事件显然,从这批产品中有放回抽取n个产品的试验为n重Bernoulli试验在一次试验中例11.在n次试验中,事件A恰好发生k次的概率为可记为总结在n重Bernoulli试验中,假设A表示“成功”,每次实验成功的概率为p,那么在n次试验中,恰好成功k次的概率为上述概率模型称为二项分布记为例：一醉汉在漆黑的夜晚开门,他共有n把钥匙,其中只有一把是开这门的,他每次随机地取一把钥匙,即在每次试开时每一把钥匙都等可能被使用,求他在第k次才开门成功的概率.解:根据题意,这是重复试验,每次试验的条件相同每次试验成功的概率为总结:在Bernoulli重复试验中,成功的概率为p,则在第k次才取得首次成功的概率为即前k-1次失败,最后一次成功.上述概率模型称为几何分布记为应用于首次成功的情形.例：在Bernoulli试验中,成功的概率为