第三节函数极限

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第三节函数极限的定义和性质

一、自变量趋向无穷大时函数的极限当|x|无限增大时，无限接近0问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.定义1.

设函数大于某一正数时有定义,若则称常时的极限,几何解释:记作直线y=A

为曲线的水平渐近线.数A

为函数无论正数ε为何值，函数图形在x=1/ε进入并留在该带形区域

无论正数ε为何值函数图形在x=-1/ε进入并留在该带形区域例1证注:直线y=A仍是曲线

y=f(x)

的渐近线.当时,有当时,有几何意义:例如，都有水平渐近线两种特殊情况:例2证注:定理二、自变量趋向有限值时函数的极限x越接近1，(x2-1)/(x-1)越接近2x取1上下的值f(x),g(x)及h(x)当x无限接近1时都无限接近2，但仅有h(1)=2定义2.

设函数在点的某去心邻域内有定义,若当时,有则称常数

为函数当时的极限,记作或称作注意：几何解释:对此处所有不等于x0的xf(x)落在此处A+εA-εA例3证例4证例5证且而可用保证

.例6证可以证明，若f(x)是基本初等函数，x0是其定义域内一点，则单侧极限:左极限右极限A+εA+εA对此处所有不等于x0的xf(x)落在此处A+εAA+εf(x)落在此处对此处所有不等于x0的x左右极限存在但不相等,例7证定理讨论时的极限是否存在.

解:

因为显然所以不存在.例8.设函数三、函数极限的性质1.局部有界性2.唯一性定理1

若极限存在，则当时，有界。定理1’

若极限存在，则当时，有界。定理2

若存在，则极限唯一。定理33.局部保号性定理3’类似地可以证明推论推论推论局部保序性定理4提示:4.函数极限与数列极限的关系定理5证例如,(在第五节证明）说明:

此定理常用于判断函数极限不存在

.法1

找一个数列不存在.法2

找两个趋于的不同数列及使例9证:

取两个趋于0的数列及有二者不相等,内容小结1.函数极限的或定义及应用2.函数极限的性质思考与练习

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