材料力学6梁的应力

第六章梁的应力材料力学

6.1、梁的正应力6.2、梁的正应力强度条件及其应用6.3、梁的合理截面形状及变截面梁6.4、矩形截面梁的切应力6.5、工字形截面及其他形状截面的切应力6.6、梁的切应力强度条件回顾与比较内力应力公式及分布规律FAyFSM均匀分布线形分布一、纯弯曲梁段CD上，只有弯矩，没有剪力梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力6.1、梁的正应力－－纯弯曲－－横力弯曲FsFFFa二、纯弯曲梁横截面上的正应力公式（一）变形几何关系：

由纯弯曲的变形规律→纵向线应变的变化规律。1、观察实验：abcdabcdMM2、变形规律：⑴、横向线：仍为直线，只是相对转动了一个角度且仍与纵向线正交。⑵、纵向线：由直线变为曲线，且靠近上部的纤维缩短，靠近下部的纤维伸长。3、假设：（1）弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转动了一个角度。凹入一侧纤维缩短突出一侧纤维伸长

根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层--------称为中性层

。中间层与横截面的交线－－中性轴（2）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维之间无挤压。

梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。ＢAabcdＢ１A１4、线应变的变化规律：dxyoo1在弹性范围内，（二）物理关系：由纵向线应变的变化规律→正应力的分布规律。abcd应力的分布图：MZyσmaxσmax中性轴的位置？为梁弯曲变形后的曲率yxMZ（中性轴Z轴为形心轴）（y轴为对称轴，自然满足）yzAσ——弯曲变形计算的基本公式（三）、静力方面：

由横截面上的弯矩和正应力的关系→正应力的计算公式。弯曲正应力计算公式。

弯矩可代入绝对值，应力的符号由变形来判断。当M>0时，下拉上压；当M<0时，上拉下压。梁的抗弯刚度。ÞzEIyxMZyzAσ将上式代入式得：——弯曲变形计算的基本公式Wz

——截面的抗弯截面系数最大正应力的确定⑴截面关于中性轴对称⑵截面关于中性轴不对称几种常见截面的IZ和WZ圆截面矩形截面空心圆截面空心矩形截面工程中常见的平面弯曲是横力弯曲三、正应力公式的推广6-2

实验和弹性力学理论的研究都表明：当跨度l与横截面高度h之比l/h>5（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。弯曲正应力公式可推广应用于横力弯曲和小曲率梁1m2mBA截面关于中性轴对称截面关于中性轴不对称(最大拉应力、最大压应力可能发生在不同的截面内)横力弯曲梁上的最大正应力注意（1）计算正应力时，必须清楚所求的是哪个截面上的应力，（3）特别注意正应力沿高度呈线性分布；从而确定该截面上的弯矩及该截面对中性轴的惯性矩；（2）必须清楚所求的是该截面上哪一点的正应力，（4）中性轴上正应力为零，并确定该点到中性轴的距离，而在梁的上下边缘处分别是最大拉应力和最大压应力。以及该点处应力的符号（6）熟记矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩的计算式。（5）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压;注意正应力的正负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状态来确定。FAYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1m30zy180120K1.C截面上K点正应力2.C截面上最大正应力3.全梁上最大正应力4.已知E=200GPa，C截面的曲率半径ρFSx90kN90kN1.求支反力（压应力）解：xM2.C

截面上K点正应力例BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1m30zy180120KFSx90kN90kN3.C截面最大正应力C

截面弯矩xMBAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1m30zy180120KFSx90kN90kN4.全梁最大正应力最大弯矩xMBAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1m30zy180120KFSx90kN90kN5.C截面曲率半径ρC截面弯矩xM例：求图示悬臂梁的最大、压应力。已知：№10槽钢解：1）画弯矩图2）查型钢表：3）求应力：σcmaxσtmax6.2、梁的正应力强度条件及其应用材料的许用弯曲正应力中性轴为横截面对称轴的等直梁弯曲正应力强度条件

1、强度校核——2、设计截面尺寸——3、确定外荷载——[]ss£max；[]

maxsMWz³[];

maxszWM£例图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知材料的许用应力FaFb（3）B截面，C截面需校核（4）强度校核（1）计算简图（2）绘弯矩图解：B截面：C截面：（5）结论:轮轴安全解：1)求约束反力例、T字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的[t]=30MPa，

[c]=60MPa.其截面形心位于C点，y1=52mm，y2=88mm，

Iz=763cm4

，试校核此梁的强度。1m1m1mABCD2.5kNm-4k

N

m2）画弯矩图3）求应力B截面—（上拉下压）MC截面—（下拉上压）C截面—（下拉上压）:1m1m1mABCDF

2=4kNF

1=9kN4)强度校核A1A2A3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa2.5kNm-4k

N

mMB截面—（上拉下压）:最大拉、压应力不在同一截面上A1A2y

2y

1CCzA3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa结论——对Z轴对称截面的弯曲梁，只计算一个截面：对Z轴不对称截面的弯曲梁，必须计算两个截面：x

2.5kNm-4k

N

mMM1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面强度：正应力：6.3、梁的合理截面形状及变截面梁zDzaa弯曲应力zD10.8D1a12a1z2合理截面,采用变截面梁，如下图：最好是等强度梁，即若为等强度矩形截面，则高为Fxzybh§6-4梁横截面的切应力和切应力强度条件一、

矩形截面梁横截面上的切应力1、假设：⑴横截面上各点的切应力方向与剪力的方向相同。⑵切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的各点切应力大小相等）。2、公式推导xd

x图ayτFSA

xyy由切应力互等定理可知注意：Fs为横截面的剪力；Iz

为整个横截面对z轴的惯性矩；b为所求点对应位置截面的宽度；为所求点对应位置以外的面积对Z轴的静矩。A*=b(h/2-y)FNFN1dFs3、矩形截面切应力的分布：t(1)t沿截面高度按二次抛物线规律变化；(2)同一横截面上的最大切应力tmax在中性轴处(y=0)；(3)上下边缘处（y=±h/2)，切应力为零。

例题1一矩形截面的简支梁如图所示。已知：l=3m，h=160mm，b=100mm，y=40mm，F=3kN，求m−m截面上K点的切应力。

解：先求出m−m截面上的剪力为3kN，截面对中性轴的惯性矩为

面积A*对中性轴的静矩为

则K点的切应力为习题6−5图Fl/3l/3FAl/3Bl/6mmzbKyhy*A*例题2:试计算1-1截面A-A位置上1、2两点处的正应力，(2)此截面最大正应力,(3)全梁最大正应力、最大剪应力。解：(1)1-1截面A-A位置上1、2两点处的正应力1212(2)1-1截面最大正应力(3)全梁最大正应力、最大剪应力6.6、梁的切应力强度条件

一般tmax发生在FSmax所在截面的中性轴处。不计挤压，则tmax所在点处于纯剪切应力状态。梁的切应力强度条件为材料在弯曲时的许用切应力对等直梁，有EtmaxFtmaxEmml/2qGHCDFlql2/8ql/2ql/2弯曲切应力的强度条件1、校核强度2、设计截面尺寸3、确定外荷载。需要校核剪应力的几种特殊情况：(2)铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核切应力(1)梁的跨度较短，M

较小，而

FS较大时，要校核切应力。(3)各向异性材料（如木材）的