二元选择模型

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在实际中，还会经常遇到因变量受到某种限制的情况，这种情况下，取得的样本数据来自总体的一个子集，可能不能完全反映总体。这时需要建立的经济计量模型称为受限因变量模型（limiteddependentvariablemodel)。这两类模型经常用于调查数据的分析中。第二页，共二十五页，2022年，8月28日2§13.1二元选择模型

在离散选择模型中，最简单的情形是在两个可供选择的方案中选择其一，此时被解释变量只取两个值，称为二元选择模型（binarychoicemodel）。在实际生活中，我们经常遇到二元选择问题。例如，在买车与不买车的选择中，买车记为1，不买记为0。是否买车与两类因素有关系：一类是车本身所具有的属性，如价格、型号等；另一类是决策者所具有的属性如收入水平、对车的偏好程度等。如果我们要研究是否买车与收入之间的关系，即研究具有某一收入水平的个体买车的可能性。因此，二元选择模型的目的是研究具有给定特征的个体作某种而不作另一种选择的概率。

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为了深刻地理解二元选择模型，首先从最简单的线性概率模型开始讨论。线性概率模型的回归形式为：

（）其中：N是样本容量；k是解释变量个数；xj为第j个个体特征的取值。例如，x1表示收入；x2表示汽车的价格；x3表示消费者的偏好等。设yi表示取值为0和1的离散型随机变量：

式（）中ui为相互独立且均值为0的随机扰动项。1、

线性概率模型及二元选择模型的形式

第四页，共二十五页，2022年，8月28日4令pi=P(yi=1)，那么

1-pi=P(yi=0)，于是（）又因为E(ui)

=0，所以E(yi)

=xi，xi=(x1i,

x2i,…,xki),

=(1,

2,…,k)，从而有下面的等式：（）

第五页，共二十五页，2022年，8月28日5式(7.1.3)只有当xi的取值在(0,1)之间时才成立，否则就会产生矛盾，而在实际应用时很可能超出这个范围。因此，线性概率模型常常写成下面的形式：

(7.1.4)此时就可以把因变量看成是一个概率。那么扰动项的方差为：

(7.1.5)或

(7.1.6)

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由此可以看出，误差项具有异方差性。异方差性使得参数估计不再是有效的，修正异方差的一个方法就是使用加权最小二乘估计。但是加权最小二乘法无法保证预测值ŷ在(0,1)之内，这是线性概率模型一个严重的弱点。由于上述问题，我们考虑对线性概率模型进行一些变换，由此得到下面要讨论的模型。假设有一个未被观察到的潜在变量yi*，它与xi之间具有线性关系，即

(7.1.7)其中：ui*是扰动项。yi和yi*的关系如下：

(7.1.8)第七页，共二十五页，2022年，8月28日7

yi*大于临界值0时，yi=1；小于等于0时，yi=0。这里把临界值选为0，但事实上只要xi包含有常数项，临界值的选择就是无关的，所以不妨设为0。这样

(7.1.9)其中：F是ui*的分布函数，要求它是一个连续函数，并且是单调递增的。因此，原始的回归模型可以看成如下的一个回归模型：

(7.1.10)即yi关于它的条件均值的一个回归。第八页，共二十五页，2022年，8月28日8

分布函数的类型决定了二元选择模型的类型，根据分布函数F的不同，二元选择模型可以有不同的类型，常用的二元选择模型如表7.1所示：

表7.1常用的二元选择模型

ui*对应的分布分布函数F相应的二元选择模型标准正态分布Probit模型逻辑分布Logit模型极值分布Extreme模型第九页，共二十五页，2022年，8月28日9二元选择模型一般采用极大似然估计。似然函数为

(7.1.11)即

(7.1.12)

对数似然函数为

(7.1.13)13.2二元选择模型的估计问题第十页，共二十五页，2022年，8月28日10对数似然函数的一阶条件为

(7.1.14)其中：fi表示概率密度函数。那么如果已知分布函数和密度函数的表达式及样本值，求解该方程组，就可以得到参数的极大似然估计量。例如，将上述3种分布函数和密度函数代入式(7.1.14)就可以得到3种模型的参数极大似然估计。但是式(7.1.14)通常是非线性的，需用迭代法进行求解。二元选择模型中估计的系数不能被解释成对因变量的边际影响，只能从符号上判断。如果为正，表明解释变量越大，因变量取1的概率越大；反之，如果系数为负，表明相应的概率将越小。

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例13.1二元选择模型实例

考虑Greene给出的斯佩克特和马泽欧（1980）的例子，在例子中分析了某种教学方法对成绩的有效性。因变量（GRADE）代表在接受新教学方法后成绩是否改善，如果改善为1，未改善为0。解释变量（PSI）代表是否接受新教学方法，如果接受为1，不接受为0。还有对新教学方法量度的其他解释变量：平均分数（GPA）和测验得分（TUCE），来分析新的教学方法的效果。第十二页，共二十五页，2022年，8月28日12

（1）模型的估计

估计二元选择模型，从EquationSpecification对话框中，选择Binary估计方法。在二元模型的设定中分为两部分。首先，在EquationSpecification区域中，键入二元因变量的名字，随后键入一列回归项。由于二元变量估计只支持列表形式的设定，所以不能输入公式。然后，在Binaryestimationmethod中选择Probit，Logit，Extremevalue选择三种估计方法的一种。以例7.1为例，对话框如图7.2所示。第十三页，共二十五页，2022年，8月28日13图7.2二元选择模型估计对话框第十四页，共二十五页，2022年，8月28日14

例7.1的估计输出结果如下：第十五页，共二十五页，2022年，8月28日15

参数估计结果的上半部分包含与一般的回归结果类似的基本信息，标题包含关于估计方法（ML表示极大似然估计）和估计中所使用的样本的基本信息，也包括达到收敛要求的迭代次数。和计算系数协方差矩阵所使用方法的信息。在其下面显示的是系数的估计、渐近的标准误差、z-统计量和相应的概率值及各种有关统计量。第十六页，共二十五页，2022年，8月28日16在回归结果中还提供几种似然函数：①loglikelihood是对数似然函数的最大值L(b)，b是未知参数的估计值。②Avg.loglikelihood是用观察值的个数N去除以对数似然函数L(b)，即对数似然函数的平均值。③Restr.Loglikelihood是除了常数以外所有系数被限制为0时的极大似然函数L(b)。④LR统计量检验除了常数以外所有系数都是0的假设，这类似于线性回归模型中的统计量，测试模型整体的显著性。圆括号中的数字表示自由度，它是该测试下约束变量的个数。第十七页，共二十五页，2022年，8月28日17⑤Probability（LRstat）是LR检验统计量的P值。在零假设下，LR检验统计量近似服从于自由度等于检验下约束变量的个数的2分布。⑥McFaddenR-squared是计算似然比率指标，正像它的名字所表示的，它同线性回归模型中的R2是类似的。它具有总是介于0和1之间的性质。第十八页，共二十五页，2022年，8月28日18

利用式(7.1.10)，分布函数采用标准正态分布，即Probit模型，例7.1计算结果为(7.1.15)z=(-2.93)(2.34)(0.62)(2.39)

利用式(7.1.15)的Probit模型的系数，本例按如下公式给出新教学法对学习成绩影响的概率，当PSI=0时：

(7.1.19)

当PSI=1时：

(7.1.20)

式中测验得分TUCE取均值(21.938)，平均分数GPA是按从小到大重新排序后的序列。

第十九页，共二十五页，2022年，8月28日19图7.1新教学法对学习成绩影响的概率第二十页，共二十五页，2022年，8月28日20

（2）估计选项

因为我们是用迭代法求极大似然函数的最大值，所以Option选项可以从估计选项中设定估计算法与迭代限制。单击Options按钮，打开对话框如图7.3所示。图7.3Options对话框第二十一页，共二十五页，2022年，8月28日21

Option对话框有以下几项设置：①稳健标准差

(RobustStandardErrors)对二元因变量模型而言，EViews允许使用准-极大似然函数（Huber/White）或广义的线性模型（GLM）方法估计标准误差。察看RobustCovariance对话框，并从两种方法中选择一种。②初始值

EViews的默认值是使用经验运算法则而选择出来的，适用于二元选择模型的每一种类型。③

估计法则

在Optimizationalgorithm一栏中选择估计的运算法则。默认地，EViews使用quadratichill-climbing方法得到参数估计。这种运算法则使用对数似然分析二次导数的矩阵来形成迭代和计算估计的系数协方差矩阵。还有另外两种不同的估计法则，Newton-Raphson也使用二次导数，BHHH使用一次导数，既确定迭代更新，又确定协方差矩阵估计。

第二十二页，共二十五页，2022年，8月28日22（3）预测从方程工具栏选择Procs/Forecast（FittedProbability/Index），然后单击想要预测的对象。既可以计算拟合概率，，也可以计算指标的拟合值。像其他方法一样，可以选择预测样本，显示预测图。如果解释变量向量xt包括二元因变量yt的滞后值，选择Dynamic选项预测，EViews使用拟合值得到预测值；而选择Static选项，将使用实际的（滞后的）yt-1得到