MathStudio使用方法入门5生日问题

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使用方法入门

（5）

生日问题List、Loop…end的运用

2014年3月4日1/15/20231在任意人群里，有人生日相同的概率是多少？“人以群分，物以类聚”，同学、同事、同乡、同年……网络里QQ、微信、微博都有群，一群人里同一天出生的人又是个小群，我们的问题是：

在n个人里，每人生日各不相同，概率是多少？在n个人里，至少有两人生日相同的概率是多少？在n个人里，所有人生日都相同的概率是多少？在n个人里，有m（m≤n）个人生日相同的概率是多少？概率问题，计算公式看起来较简短，可是在无电脑可用的情况下，靠查对数表手算或用计算尺算，都绝非易事；比如，大数的阶乘n！怎么算？即使用Stirling公式n!=sqrt(2πn)*(n/e)^n，算起来也很费时。在MathStudio里应用函数factorial（n）、nPr(n,r)、nCr(n,r),“弹指一挥间”答案瞬息即得。忆往日之艰辛，喜今朝之便捷!1/15/20232

计算公式先把前面4个问题的计算公式列下，略去公式的推导，有兴趣的朋友请参阅相关数学书籍；推荐一本书《趣味随机问题》孙荣桓著1.在n个人里，没有生日相同的人，概率是多少？P1=nPr(365,n)/365^n

2.在n个人里有两人或以上生日相同的概率怎么算？P2=1-nPr(365,n)/365^np1+p2=13.在n个人里，所有人生日都相同的概率是多少？P3=1/365^(n-1)4.在n个人里，有m（m≤n）个人生日相同的概率是多少？P4=nCr(n,m)*(365-1)^(n-m)/365^n我们以一年为365天计；注意，计算结果是事件概率（可能性）大小，不是人数的百分比，也未必与你观察到的眼前实际状态完全相符。1/15/202331.在n个人里，没有生日相同的人，概率是多少？20个人里，没有生日相同的概率是0.59可能性较大；当然，也就是有相同生日的可能性较小了40个人里，没有生日相同的概率降为0.11可能性很小了60个人里，没有生日相同的概率已迅速降为0.006，可能性极小了，几乎不可能了

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看数值表，情况更清楚y=nPr(365,x)/365^x,点击“plot”,得到曲线图，双击曲线图，放大，点按“Table”就得到左图，x、y值的详细列表，可更清晰地看出变化趋势0、1概率1，必然无相同（无意义）2～9概率>0.9无相同生日的可能性大10～22概率>0.5无相同生日的可能性较大23以上概率加速下滑在29个人里，没有相同生日的概率只有0.32了

1/15/202352.在n个人里，至少有两人生日相同的概率是多？这是与上题正相反的问题，所以p1+p2=1,或p2=1-p1可以看出，当人数大于23时，有相同生日的概率就超过没有相同生日的概率了人数超过40时，有相同生日的概率超过0.9了1/15/20236在n个人里，至少有两人生日相同的概率曲线图，Trace，得到坐标值在概率问题里，人数只能是正整数不可能出现小数，曲线也应该是不连续的；作为计算值它仍然存在。1/15/20237曲线图，Table，数值表左图step=1x=1～29右图step=2x=2～58用这个数值表，可以省却许多繁琐的计算工作量1/15/202383.在n个人里，所有人生日都相同的概率是多少？n=2时，p3=p2n＞2时，p3急速减小这说明在一群人里，所有人的生日都相同的可能性极小1/15/20239第3问题的曲线图、数值表X≥2时，概率迅速趋近於零，“所有的人生日都相同”是极为罕见的事1/15/2023104.在n个人里，有m（m≤n）个人生日相同的概率是多少？此式的计算结果颇费解，请大家琢磨吧1/15/202311谈谈运用MathStudio的技巧如果我们想计算n=5、10、15、20……里，有两人或以上生日相同的概率，不重复输入，一次算出，能行吗？能！MathStudio里的loop……end，有些像其他编程语言里的for……end另外，List可用以定义一个数组。List、Loop的具体用法，可查菜单栏-Catalog里的List、Loop项的说明、演算示例。要注意：Loop的步长只能为1，不能自定义。左图是：n=5、10、15、20……时计算p2的结果，数组长度10计算结果行宽不能同时显示全部10个数据，向左拖曳就看到了。1/15/202312在n=1～13个人里，有两人以上生肖相同的概率是多少？左图给出了n=1～12全部答案5人里有相同生肖的概率已经大于0.56口之家有相同生肖的概率相当大了8人以上有相同生肖的概率很大12人里有相同生肖的概率高达0.99995，但仍非必然13人里，不算也知道，必然有相同生肖了顺便说一下，我家三辈11人，属龙的有4个，“必然性寓于偶然性之中”1/15/202313谈谈运用MathStudio的技巧再举个应用loop的例子前面提到过用Stirling公式计算阶乘，我们就计算5、10、15、20、25、30的阶乘，对比两种方法的计算结果,显然，n越大，误差越小。N=5误差-1.65%N=10误差-8.3‰……误差不大，尤其是n很大时负误差，Stirling公式计算值偏小1/15/202314把List、Loop的功能再提升一步继续前面计算阶乘的例子，让MathStudio把两种方法的计算结果和对应的误差，一次同时算出并输出：定义3个数组，第三个是计算误差的Loop……end里，列进3个表达