第3节克莱默法则

第四章线性方程组§1消元法、线性方程组解的

判定与解的性质§2线性方程组解的结构§3克拉默法则第三节克拉默(Cramer)法则一、引言二、克拉默法则三、相关定理结论四、线性方程组的应用一.引言对方程组当时，有唯一解其中在三元一次线性方程组求解时有类似结果即有方程组当时，有唯一解其中自然科学与工程技术中，我们会碰到未知数的个数很多的线性方程组——如n元一次线性方程组它的解是否也有类似的结论呢？二、克拉默法则(Cramer,瑞士，1704~1752)定理1

如果线性方程组（1）的系数矩阵的行列式

，则方程组(１)有唯一解（2）其中是把行列式中第列所得的一个n级行列式，即的元素用方程组（1）的常数项代换

把方程组（1）写成矩阵方程证明：这里，为阶矩阵，因故存在.令有表明是方程组（1）的解向量.(先证解的存在性)由有根据逆矩阵的唯一性知，是方程组（1）的唯一的解向量.(再证解的唯一性)即由逆矩阵公式有(最后证解的公式)即证毕.亦即注解1：克拉默(Cramer)法则中包含着两个前提和三个结论：前提：（1）线性方程组（1）中方程的个数等于未知量的个数；（2）线性方程组（1）的系数矩阵的行列式不等于零.结论：（1）线性方程组（1）有解；（2）线性方程组（1）的解是唯一的；（3）线性方程组（1）的解由公式（2）给出.例1

用克拉默法则解方程组解：方程组的系数行列式程的个数与未知量的个数不等时,就不能用克拉通过上述例子,我们看到用克拉默法则求解线性方程组时,要计算n+1

个n

阶行列式,这个计算量是相当大的,所以,在具体求解线性方程组时,很少用克拉默法则.另外,当方程组中方默法则求解.注解2：但这并不影响克拉默法则在线性方程组理论中的重要地位.克拉默法则不仅给出了方程组有唯一解的条件,并且给出了方程组的解与方程组的系数和常数项的关系.注解3：撇开求解公式，可得下面的定理定理2

如果线性方程组（1）有解，则（1）有唯一解的充要条件是系数行列式

（2）有无限多个解的充要条件是系数行列式三.相关定理结论例2

判断下列线性方程组解的情况：解：方程组的系数矩阵为其行列式为所以线性方程组有无限多个解.错解

正解：对方程组的增广矩阵B作初等行变换由知，原方程组无解。注解4：定理2的重要前提是线性方程组（1）有解.（3）对于齐次线性方程组（2）的除零解外的解（若还有的话）称为非零解．一定是它的解，称之为零解．定理3

齐次线性方程组（3）必有解，且（1）只有零解的充要条件是系数行列式

（2）有非零解的充要条件是系数行列式．例3：问λ取何值时，齐次线性方程组有非零解?解:若方程组有非零解，则∴当时，方程组有非零解．．例4：问λ取何值时，齐次线性方程组有非零解?解:若方程组有非零解，则∴当时，方程组有非零解．?四、线性方程组的应用1）向量组

线性无关的充要条件是齐次线性方程组（4）只有零解；

向量组线性相关的充要条件是齐次线性方程组(4)有非零解.——判别向量组的线性相关性对于n

个

n

维向量行列式行列式线性无关.线性相关；2）特殊情形例5

判断下列向量组的线性相关性.

解：设即有齐次方程组（5）因此，齐次方程组的系数矩阵为并对其进行初等行变换，可得从而齐次方程组（5）有非零解.故线性相关.

例6

设向量组线性无关，证明向量组也线性无关.设证：即

由于

线性无关，于是有

所以，齐次线性方程组只有零解：

所以也线性无关.而系数矩阵的行列式为1：设曲线通过四点求系数练习答案：2.设有方程组问λ

取何值时，此方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无限多个解？并在有无限多个解时求其通解.解法一

:对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵（1）当λ≠0且λ≠－3时，R(A)=R(B)=3，方程组有唯一解；(2)当λ

=0

时知R(A)=1,R(B)=2,故方程组无解.（3）当λ

=－3时知R(A)=R(B)=2，方程组有无限多个解，且通解为解法二:因系数矩阵A

为方阵，故方程有唯一解的充分必要条件是系数行列式|A|≠0.而因此，当λ

≠0且λ

≠－3时，方程组有唯一解.当λ

=0

时当λ

=－3时知R(A)=1,R(B)=2,故方程组无解.知R(A)=R(B)=2，方程组有无限多个解，且通解为

2.证明：向量组线性无关的充要条件是向量组线性无关.思考题1.问：当线性方程组的系数行列式为零时,

能否用克拉默法则解方程组?

为什么?此时