2021年医学院临床医学专业《医科数学C》试卷及答案

2021年医学院临床医学专业《医科数学C》试卷四五六总分一、填空题(共6道小题，每小题3分，满分18分)f(x)=<(1+sin2x)x,x丰0,为连续函数，则常数a=.a,x=02.设厂f(x),f(0)=0,f'(0)=1,则limf(2x)-=.xf0 x.已知曲线y=f(x)过点(0,1)且其上任一点(x,y)处切线斜率为x2sinx3,则f(x)=.积分12(x3cosx+<4-x2)dx=.-2.方程(y")3-xy'+cosy=x5是阶微分方程..设区域D:x2+y2<1,则二重积分』』dxdy=.D得分|二、选择题(共6道小题，每小题3分，满分18分).设f(x)=arctan—,则x=0是( ).x(A).跳跃间断点； (B).可去间断点； (C).振荡间断点； (D).无穷间断点..若点(x0,f(xJ)为曲线y=f(x)的拐点，贝U( ).(A).必有f〃(x0)存在，且等于零； (B).必有f〃(x0)存在，但不等于零；(C).若f"(x)存在，则必等于零； (D).若f"(x)存在，则必不等于零.00(共6页第1页)3．下列广义积分收敛的是（）．(A).J+slnxdx； (B).J+sdx； (C).)+°°-^=dx； (D).J+s-^dx.ex exlnx ex、lnx exln2x4.微分方程dy+dx=0，满足初始条件y(1)=2的特解是( ).x2 y2.x2+y2=2；.x3+y.x2+y2=2；.x3+y3=9；. x3+y3=1；(D).x3 y3—+—=1.3 3.由方程F（x,y,z）=0确定z是x,y的函数F是可微函数，)..FF'—、F'.——F'/、F'(C).-xF(D)..曲顶柱体的顶为连续曲面工=f（x,y），底为有界闭区域D则曲顶柱体的体积为（).f(x,y)|dxdy；(D).JJf(x,y)dxdy.D(A).JJf(x,y)df(x,y)|dxdy；(D).JJf(x,y)dxdy.D三、计算下列各题（共5道小题，每小题各6分，满分30分）.设f(x)=Jx2sin12dt,g(x)=Jx(15+15cost)dt，当xT0时，试比较无穷小量f(x)与g（x）的阶.x2.求积分),(4 )dx..若j2ln2.1 =dx=—，求a.a eex—1 6.求积分口以盯dxdy,D为由曲线xy=1与直线x=1,x=2,y=2所围成的区域.D5.求积分）j\，x2+y2dxdy，其中D是由曲线x2+y2=2y围成的区域.I得分I四、（共2道小题，每小题6分，满分12分）dz dz八.设z=f（x2+y2,ex2+y2），其中f具有连续偏导数，试证y——x—=0.d.x dyy.设z+lnz-Ixe-"dt=0，求dz.y।得分|五、（共1道小题，满分8分）求方程y〃-y'=”满足初始条件y|=e,y'|=2e的特解.X=1 X=1।得分।六、应用题（共2道小题，第1小题8分，第2小题6分，满分14分）x3.求函数＞二 的单调区间，极值，凹凸区间，拐点，垂直渐近线.（x-1）2.求由曲线y=%反，与其在CM）点处的切线及直线X=0所围成的平面图形，绕x轴旋转所生成的旋转体的体积．《医科数学C》试卷答案四五六总分一、填空题(共6道小题，每小题3分，满分18分)1．f(x)=<3(1+sin2x)x，x中0,为连续函数，则常数a=a, x=02．设y=f(x),f(0)=0,f'(0)=1,则limf^x)xT0x3．已知曲线y=f(x)过点(0,1)且其上任一点(x,y)处切线斜率为x2sinx3,则f(x)=-cosx3+—4.积分』2(x3cosx+v'4—x2)dx=-25.方程(y〃)3—xy'+cosy=x5是阶微分方程．(或2)6.设区域D:x2+y2<1,则二重积分』』dxdy二D选择题(共6道小题，每小题3分，满分18分).设f(x)=arctan-，则x=0选择题(共6道小题，每小题3分，满分18分).设f(x)=arctan-，则x=0是(A

x(A).跳跃间断点；(B).可去间断点;)．(C)．振荡间断点；(D).无穷间断点.2.若点(x0,f(xJ)为曲线y=f(x)的拐点则(C)．(A).必有八x0)存在,且等于零;(B)．必有f〃(x0)存在,但不等于零;.若.若f，，(xo)存在,则必等于零;.若f〃(X0)存在，则必不等于零..下列广义积分收敛的是(D).(A).J+89d(A).J+89dx； (B),Jex+8eXlnXdx；1(C). dx；eX\.lnx(D)．J+8 —dx.exln2x.微分方程?+dx=0，满足初始条件y(1)=2的特解是(B).(A).x2+y2=2；(B).x3+y3=9；(C). X3+y3=1；(D)．X3 y3—+—=1.3 35.由方程F(x,y,z)=0确定z是x,y的函数F是可微函数)．(A).FF'「、F'(B).—-X-F'(D)．6.曲顶柱体的顶为连续曲面z=f(X,y)，底为有界闭区域D则曲顶柱体的体积为(C).(A)」jf(X,y)dXdy；(B).—JJf(X,y)dxdy；(C)」Jf(x,y)|dxdy；(d).jjf(x,y)dxdy.D三、计算下列各题(共5道小题，每小题各6分，满分30分)1.设f(x)=JX2sin12dt,g(x)=iX(15+15cost)dt，当Xf0时，试比较无穷小量f(x)与g(X)的阶.f(x) Jxsint2dt解lim=lim0 xf0g(x) xf0Jx(t5+t5cost)dt0=limXf02xsinx4X5+X5cosX(2分)=2limXf0sinX4X4lim—1—=1Xf01+cosX(4分)(6(6分)所以无穷小量f(X)与g(X)是等价无穷小量.2.求积分2.求积分1C(4—x2)3设x=2sint，则dx=2costdt，于是4sin212cost(3分)dx=J dt=tan21(3分)(2cost)3(6分)=1(sec21—1)dt=tant—t+C=x—arcsin—+Cj4—x2(6分)3.若121n2.1 dx=—,求aeex—1解设%，,口31=t，则x=1n(1+12),x=aeex—1解设%，,口31=t，则x=1n(1+12),x=a时，t=e'；ea—1；x=21n2时，t=33，于是121n2 1 1 2tJ.，卜3 1J dx= dt=2J- dta e'e——1 t1+12z—11+12=2arctant|3-=——2arctan\e——1=—51 3 6(3分)所以arctanee——1=—，即a=1n2.44.求积分11yexydxdy，D为由曲线xy=1与直线x=1(6分),x=2,y=2所围成的区域.I0<x<1I0<x<1解积分区域如图,外x2<y<2和［0<y<x2,则11yexydxdy=11dy12yexydx+12dy12yexydx

11 1 1(3分)2y=11exy12dy+12exy1x=2dy=11(e2y-e)dy+12(e2y-ey)dyx=1 1 121=(-e2y—ey)乙+(2e2y—ey)1—e42(6分)5.求积分D5.求积分D+y2dxdy，其中D是由曲线x2+y2=2y围成的区域.[0<0<K解积分区域为D1[0<0<K解积分区域为D10<r<2s,n0于是+y2dxdy=J兀d0f2sin0r.rdr

0 0（4分）四、=lj%sin30d0=§J"(cos20-1)dcos030 3081 32=-(-C0s30—COs0)「=-33 I。 9（共2道小题，每小题6分，满分12分）(6分)“、女1.设z=f（x2+y2,ex2+y2），其中f具有连续偏导数，试证y—d.x（2分）（2分）解一=f.2x+f.ex2+y22x=2x(f+ex2+y2f),

ax 1 2 1 2q=f'.(2y)+f'.ex2q=f'.(2y)+f'.ex2+y22y=2y(f'+ex2+y2f')（4分）w& &贝Uyax—x而=y.2x(f+ex2+y2f')—x.2y(f+ex2(6分)2.设z+lnz-fxe-2dt=0，求dz.yaz1az az z解 方程两边关于x求导ax+zax—e-x2=0，即ax=小e-x2；（2分）所以az 1az a az z方程两边关于y求导ay+—ay+e-y2=0，即ay=一十1e-y:（4分）dz二空dx+三dy二

ax ay (e-x2dx-e-y2dy)z+1(6分)五、（共1道小题，满分8分）求方程y〃-y'=ex满足初始条件y二ex=1x=1=2e的特解•解令y'=P，则y"=半，于是dxdPp（2分）—P=ex（2分）dxdP dP对应齐次方程 一P=0, =dx,lnP=x+InCdx P对应齐次方程通解P=Cex1令非齐次方程通解P=C(x)ex，则C'(x)ex=ex,.x)=1,C1(x)=x+J非齐次方程通解

P=(x+C)ex1(6分)（8分）将Px=1=y/x=1=2e，代入上式 (6分)（8分）P=(x+1)ex，即—=(x+1)ex,dxy=』(x+1)exdx+C=xex+C,

2 2将ylx=1=e，代入上式C2=0所求特解为：y=xexH六、应用题（共2道小题，第1小题8分，第2小题6分，满分14分）x3.求函数y= 的单调区间，极值，凹凸区间，拐点，垂直渐近线.（x一1）2函数y的定义域为(一8,1)u(L+8)；,x2(x一3) 〃 6xy= ,y= ；(x-1)3 (x-1)4'x(-8,0)0(0,1)(1,3)3(3,+8)yy+0+0+y，'0++++yr取拐点取极小值令y'=0，得x=0,x=3；令y"=0，得x=0。列表讨论如下则函数的单调递减区间为（1,3）；单调递增区间为（-8,0）,（0,1）,（3,+8）。供6页第5页）（5分）…27函