高数考研指导方法下6

第六讲几类常微分方程的求解方法

7-1一阶微分方程的解法(P411)一.方法指导1.标准类型方程的解法关键:

辨别方程类型,掌握求解步骤(1)可分离变量方程解法:分离变量,两边积分(2)齐次方程解法:令化成可分离变量型1(3)一阶线性方程解法:常数变易法或代公式(4)贝努力方程解法:令化成线性方程.2(5)全微分方程解法:求的原函数通解为3二.非标准类型方程的解法1、变量代换法转化为标准类型求解例如,方程

若先求的根作变换则原方程化为(齐次方程)

若作变换化成可分离变量方程.42、积分因子法不是全微分方程选择积分因子为全微分方程常用的微分倒推式有53.解微分方程应用问题的方法步骤建立方程问题(数学模型)建立微分方程利用物理规律利用几何关系确定定解条件初始条件边界条件(衔接条件)(共性)(个性)6二.实例分析例1.

分别求出以下列各函数为通解的微分方程解:(1)即(2)通解两边对

x求导,再求导,得7例2.

变下列方程为标准形式解:(1)利用三角公式得分离变量型齐次方程贝努里方程线性方程8例3.

设函数可导,且对任意实数有且求解:

等式两边对

y

求导令y=0即(线性非齐次方程)在原等式中令得因此初始条件为由此得C=0,故所求函数为9例4.

设且对任意实数有求解:当时得由此得C=0,故所求函数为等式两边对

y

求导令y=1,则有即当时，10例5.

用不同的方法求解方程解法1.因方程为齐次方程,则方程变为两边积分,得故原方程通解为(P345例1(4))令11例5.

用不同的方法求解方程令将原方程化为可分离变量方程求解.(P345例1(4))解法2.方程可变形为12解法3.将原方程变为微分形式故为全微分方程通解为13解法4.用待定函数法求原函数设则由①①②与②式比较,得因此通解为14解法5.用凑微分法求通解原方程即因此通解为15例6.

求一连续可导函数使其满足下列方程:提示:令则有利用公式可求出16例7求一连续函数

f(t)使其满足方程其中(答案:)提示:17例8.设使其满足:解:显然故有解此关于

f(t)

的一阶微分方程定解问题,及求无妨设18例9.设且满足方程求解：即求导得：即从而求得通解又故所以19例10.

已知曲线积分与路径无关,其中求由确定的隐函数解:因与路径无关,故有因此20例11求的通解。原方程整理得：此为伯努利方程由公式原方程的通解：解21例12.求解解:∴这是一个全微分方程.用凑微分法求通解.将方程改写为即故原方程的通解为或解法二：取通解同上。注：22例13.

解方程解:原方程两边乘以2y得即则有故原方程通解为令.两边积分得23例14.微分方程的通解是10年考研。2、微分方程满足的解为

.解原方程分离变量两边积分得243、微分方程满足条件的解

；解原方程可写为即通解为代入得,则，因为得2012考研254、若函数满足及，则

；对应方程的通解代入得则故解特征方程2012考研26例15、已知满足与，（1）求的表达式；的拐点。，得因此代入，得所以2012考研（2）求曲线解（1）联立27例15已知满足与，（1）求的表达式；的拐点。（2）求曲线解（2）当时，当时，又曲线过，所以曲线可知是的唯一解，唯一的拐点为287-2两类二阶微分方程的解法一.方法指导1.可降阶微分方程的解法降阶法逐次积分令令

给定初始条件求特解,注意边积边定任意常数

遇开方运算,根据题意定正负号.29例1.求解解:代入方程得分离变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为30例2：求满足的特解。解：方程中不含

x设代入方程得两边积分得注意到初始条件分离变量两边积分所求特解为31例3.解下列初值问题

(P427例2)解:

令则代入方程得积分得利用初始条件,得从而但根据积分得再利用得故所求特解为应取32例4.

设函数在内具有二阶导数，且满足等式（1）验证（2）若求函数的表达式。证（1）(10考研)33同理代入得则成立。（2）令则由由得于是。34例5.

已知函数具有连续二阶偏导数,且满足方程1)求证2)在满足上述条件的函数族中求出一个函数,使其图形过点且在此点的切平面平行于xoy

坐标面.(2000考研)提示:1)设利用复合函数求导可证.352)令则一阶线性方程图形过点此点处切平面∥

xoy

面据曲面在的条件,应有由此可得故所求曲面为362.二阶线性微分方程的解法标准方程通解结构对应齐次方程通解非齐次方程特解(1)常系数线性齐次方程为常数)特征方程之根:①当时,通解为②当时,通解为③当时,通解为37(2)常系数线性非齐次方程1、

特征方程令：令：令：其中是x

的

m多项式38为特征方程的k(＝0,1,2)重根,则设特解为为特征方程的k(＝0,1)重根,则设特解为4.上述结论也可推广到高阶方程的情形.391.方程的通解为2.方程有特解形式提示:对应齐次方程的特征方程为其根r=–1为二重根.二.实例分析40例1

选择题4.

设a,b,A,

均是待定常数,则方程的一个特解具有形式()提示:是对应齐次方程的特征根,B故特解形式为41例2.求微分方程的通解。10年考研。解特征方程得设代入原方程比较系数得

原方程通解为42例3

求微分方程的通解。特征方程特征根设将代入原方程比较系数有解方程的特解通解43例4：求一个特解。解：设代入方程比较系数可见通解:整理得44例5.求微分方程的通解.解:特征方程有重根故齐次方程通解为设非齐次方程特解为代入方程,比较同类项系数得故所求通解为思考:若改为求的通解如何设特解?提示:分与两种情况考虑.45例6.求一个以为特解的4阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.解:

根据给定的特解知特征方程有根:因此特征方程为即故所求方程为其通解为46解：由线性微分方程解的结构理论知，及是对应齐次方程的解且它们线性无关，例747例8.已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解。解:

将特解比较系数得故原方程为对应齐次方程通解:故原方程通解为:

(P508题70)代入方程得恒等式48对应齐次方程有一特解例9.设二阶非齐次方程有一特解试求的表达式;(2)原方程的通解。解:(1)由题意(2)原方程为原方程为令则通解49例10.将下述积分方程变形为微分方程解:

方程两端对x

求导,得将(A)变形为由原积分方程得因此(A)两端再对x

求导,得记,得50例11.设求解:两边对

x

求导求解可得51思考:

设提示:

对积分换元,则有解初值问题:答案:52例12(1)验证函数满足微分方程(2)利用(1)的结果求幂级数的和.解:(1)因53(2).由(1)的结果可知所给级数的和函数满足所以其特征方程:特征根:∴齐次方程通解为:设非齐次方程特解为代入得因而非齐次方程通解为代入初始条件可得故所求级数的和为54例13.设F(x)＝f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(－∞,+∞)内满足以下条件:(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(2003考研)(2)求出F(x)的表达式.解:(1)所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:55(2)由一阶线性微分方程解的公式得于是56的解.例14.设函数内具有连续二阶导(1)试将x＝x(y)所满足的微分方程变换为y＝y(x)所满足的微分方程;(2)求变换后的微分方程满足初始条件数,且解:上式两端对

x

求导,得:(1)

由反函数的导数公式知(200