自动控制5-1频率特性

第五章频率响应法

5.1频率特性

5.2典型环节的频率特性

5.3控制系统的频率特性

5.4奈奎斯特稳定判据

5.5稳定裕量

5.6闭环频率特性

5.7频率特性分析第五章频率响应法1第五章频率响应法

控制系统的时域分析法是研究系统在典型输入信号作用的性能，对于一阶、二阶系统可以快速、直接地求出输出的时域表达式、绘制出响应曲线，从而利用时域指标直接评价系统的性能。因此，时域法具有直观、准确的优点。然而，工程实际中有大量的高阶系统，要通过时域法求解高阶系统在外输入信号作用下的输出表达式是相当困难的，需要大量计算，只有在计算机的帮助下才能完成分析。此外，在需要改善系统性能时，采用时域法难于确定该如何调整系统的结构或参数。2在工程实践中,往往并不需要准确地计算系统响应的全部过程，而是希望能够避开繁复的计算，简单、直观地分析出系统结构、参数对系统性能的影响。因此，主要采用两种简便的工程分析方法来分析系统性能，这就是根轨迹法与频率响应法，本章将详细介绍控制系统的频率响应法。3

频率响应法：又称为频域分析法，是利用系统的频率特性（元件或系统对不同频率正弦输入信号的响应特性）来分析系统性能的方法，研究的问题仍然是控制系统的稳定性、快速性及准确性等，是工程实践中广泛采用的分析方法，也是经典控制理论的核心内容。

4

频率响应法，是一种图解的分析方法，它不必直接求解系统输出的时域表达式，不需要求解系统的闭环特征根，具有较多的优点。如：①根据系统的开环频率特性能揭示闭环系统的动态性能和稳态性能,得到定性和定量的结论，可以简单迅速地判断某些环节或者参数对系统闭环性能的影响,并提出改进系统的方法。频率响应法的特点：5第五章频率响应法②时域指标和频域指标之间有对应关系，而且频率特性分析中大量使用简洁的曲线、图表及经验公式，简化控制系统的分析与设计。

③

频率特性具有明确的物理意义，它可以通过实验的方法，借助频率特性分析仪等测试手段直接求得元件或系统的频率特性，建立数学模型作为分析与设计系统的依据，这对难于用理论分析的方法去建立数学模型的系统尤其有利。④频率响应法使得控制系统的分析十分方便、直观，并且可以拓展应用到某些非线性系统中。6第五章频率响应法本章重点介绍频率特性的基本概念、频率特性曲线的绘制方法、奈奎斯特稳定判据、控制系统的相对稳定性、利用开环频率特性分析系统闭环性能的方法。7第五章频率响应法85.1

频率特性5.1.1频率特性的基本概念解：RC电路的微分方程为

式中，T=RC。传递函数为：RC

r(t)c(t)例：RC线性电路，当输入为正弦电压r(t)=Asint时，c(t)的稳态输出为多少？9如果输入为正弦电压r(t)=Asint，c(t)的稳态输出：10css(t)1T11r(t)t0css(t)t0r(t)

=

Asin

t12可见：①稳态输出电压仍然是正弦电压，且其频率和输入电

压频率相同。②稳态输出电压幅值是输入电压幅值倍，

是频率的函数，记为A(ω)。③稳态输出电压相角比输入电压相角迟后了arctanT，

是频率的函数，记为φ(ω)。

r(t)

=

Asin

t比较：13φφ④RC线性电路的传递函数为取s=jω,则有14

上式表明，A(ω)和φ(ω)与系统的数学模型有本质关系，可以证明这一点具有普遍性。φ15

设有稳定的线性定常系统，其传递函数为

系统的输入为谐波信号

r(t)=r0

cos(

t+)为简便假设=0，则

r(t)=r0

cos

t由欧拉公式，r(t)可写成

16C(s)=G(s)R(s)经拉氏反变换，得

1718G(s)c(t)r(t)

可见，对于稳定的线性定常系统，由谐波信号产生的稳态输出仍然是与输入同频率的谐波信号，而幅值和相角的变化是频率ω的函数，且与系统数学模型有关。定义：G(jω)为频率特性，幅值比A(ω)=│G(jω)│

为幅频特性，相位差

φ(ω)=∠G(jω)为相频特性。输入：r(t)=r0

cos

t

稳态输出：

19第五章频率响应法

说明：（1）稳态输出与输入的幅值比与相位差只与系统的结构、参数及输入正弦信号的频率ω

有关。在系统结构、参数给定的前提下，幅值比与相位差仅是ω

的函数，可以分别表示为A(ω)与

φ(ω)。（2）频率特性描述的是：线性定常系统（或元件）在零初始条件下，当输入信号的频率ω

在0→∞

的范围内连续变化时，系统稳态输出与输入信号的幅值比与相位差随输入频率ω

变化而呈现的变化规律。20第五章频率响应法

（3）幅频特性A(ω)描述的是，幅值比随频率而变化的规律。它反映系统在响应不同频率的正弦输入时，在幅值上是放大（A＞1）还是衰减（A＜1）。（4）相频特性φ(ω)描述的是，相位差随频率而变化的规律。它反映系统在响应不同频率的正弦输入时，在相位上是超前（＞0º）还是迟后（＜0º）。（5）频率特性中，频率ω是一个变量。

（6）频率特性可以反映出系统对不同频率的正弦输入的跟踪能力，在频域内全面描述系统的性能。（7）频率特性只与系统的结构、参数有关，是线性定常系统的固有特性。（8）频率特性的定义也适用于不稳定系统。21第五章频率响应法

频率特性是描述系统固有特性的数学模型，与微分方程、传递函数之间可以相互转换。

以上三种数学模型以不同的数学形式表达系统的运动本质，并从不同的角度揭示出系统的内在规律，是经典控制理论中最常用的数学模型。

微分方程（以t为变量）

传递函数（以s为变量）

频率特性（以ω为变量）

控制系统数学模型之间的转换关系221频率特性：G(j)

复指数形式

：G(j)=A()e

j()

实数和虚数和的形式：

G(j)=Re()+jIm()

2

幅频特性：

A()，A()=G(j)，表示稳态输出与输入振幅之比。3

相频特性：

()，()

=G(j)表示稳态输出与输入相位差。4

实频特性：Re()，G(j)的实部。5

虚频特性：Im()，G(j)的虚部。

定义：23

在复平面中绘制。

特点是：把频率看成参变量，当从0时，频率特性G(

j

)的矢端轨迹。5.1.3

频率特性的几何表示1.极坐标图（幅相频率特性曲线，幅相曲线，奈氏曲线）

=

=0ImRe0G(j)()=-arctanT=1前面讨论的RC电路的极坐标图。24

2.

伯德图（对数频率特性曲线）

包括对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线。

在半对数坐标系中绘制。横坐标表示频率，按对数分度，单位是rad/s。10

lg

20.30130.47740.60250.69960.77870.84580.90390.954101=1=102345678920304025

在轴上，对应于频率每变化一倍，称为一倍频程，例如从1到2，2到4，3到6，10到20等的范围都是一倍频程；

每变化十倍，称为十倍频程（dec)，例如从1到10，2到20，10到100等的范围都是十倍频程；所有的十倍频程在轴上对应的长度都相等。=1=1023456789203040

横轴按频率的对数

lg

标尺刻度，但标出的是频率本身的数值。因此，横轴的刻度是不均匀的。

横轴压缩了高频段，扩展了低频段。26

对数幅频特性曲线的纵坐标表示对数幅频特性的函数值，均匀分度，单位是dB(分贝)L()=20lgA()

相频曲线的纵坐标表示相频特性的函数值，均匀分度，单位是度。

()=∠G(

j

)

27L()/dB()/(°)90°90°2020

123456102030100

12345610203010028下图是RC网络G(j)=1/(1+jT)，T=0.5时的伯德图。

L()/dB0202-20dB/dec-90°()/(°)0°29-90°()/(°)0°5.2

典型环节的频率特性1.比例环节其传递函数为

G(s)=K

频率特性为

G(j

)=K

（1）极坐标图A()=K()=

0

Re()=KIm()=0（2）伯德图

L(

)=20lgK

()=

0ImRe0K20lgKL()/dB020()=

030（2）伯德图

L()=20lgA()=20lg

()=90ImRe0=0=（1）极坐标图

()=

9090°()/(°)0°20dB/decL()/dB0201102.积分环节频率特性313.微分环节频率特性G(j)=j

（1）极坐标图

A()=

()=90Re()=0Im()=

（2）伯德图

L()=20lgA()=20lg

()=90

由于微分环节与积分环节的传递函数互为倒数，L()和

()仅相差一个符号。因此，伯德图是对称于

轴的。ImRe0=0=90°()/(°)0°L()/dB02010120dB/dec324.惯性环节频率特性为（1）极坐标图ImRe0

=

=01实部与虚部表达式为：33（2）伯德图对数幅频特性

因此，惯性环节的对数幅频特性曲线可用两条直线近似表示，这两条直线称为渐近线。两条直线交于T=1或

=1/T。频率1/T称为惯性环节的交接频率或转折频率。1/TL()〔1〕当

1/T

时，L()

20lg1=020dB/dec〔2〕当

1/T

时，L()

20lgT34如图可见，交接频率的地方误差最大，约3dB。0.1/T1/T2/T4/T8/T10/T0dB1dB2dB3dB4dB用渐近线近似表示L()，必然存在误差ΔL()，ΔL()可按以下公式计算：

ΔL()=L()La()式中，L()表示准确值，La()表示近似值，有35相频特性为：()=arctanT

T=0()=0°T=0.3()=16.7°T=0.8()=38.7°L()/dB0201/T20dB/dec90()/(°)0T=1()=45°T

()=90°365.一阶微分环节频率特性G(j)=1+jT

（1）极坐标图（2）伯德图()=arctanT

()=arctanT

ImRe0=0=90°()/(°)0°L()/dB0201/T20dB/decRe()=1Im()=T

37(1)极坐标图幅频特性为相频特性为

6.振荡环节频率特性380ReIm1=0值小值大n39rMrA()由图可见，幅频特性的最大值随

减小而增大其值可能大于1。可以求得在系统参数所对应的条件下，在某一频率=r（谐振频率）处振荡环节会产生谐振峰值Mr

。在产生谐振峰值处，必有

1040可以看出：1）

>0.707，没有峰值，A()单调衰减；2）=0.707，Mr=1，r=0，这正是幅频特性曲线的初始点；3）<0.707，Mr>1，

r>0，幅频A()出现峰值。而且越小，峰值Mr及谐振频率r越高；4）=0，峰值Mr趋于无穷，谐振频率r趋于n。这表明外加正弦信号的频率和自然振荡频率相同，引起环节的共振。环节处于临界稳定的状态。峰值过高，意味着动态响应的超调大，过程不平稳。

对振荡环节或二阶系统来说，相当于阻尼比

小，这和时域分析法一章所得结论是一致的。41当

<<n时，L()0；当>>n时，L()

20lg

2

/n2

=40lg

/n。根据上式可以作出两条渐近线。（2）伯德图

对数幅频特性L()n

40dB/dec42误差计算公式是：

这是一条斜率为40dB/dec直线，和零分贝线交于

=n的地方。故振荡环节的转折频率为n。43下图为L(,)的曲线0.1

0.20.41246810/n201612840-4-8

=0.05=10.10.20.30.40.50.60.844相频特性

=0(0)=0

=n(n)=90

()=180

由于系统阻尼比取值不同，(

)在

=n邻域的角度变化率也不同，阻尼比越小，变化率越大。450.1,0.2,0.4,0.6,0.8,1,246ImRe0=01=7.

二阶微分环节频率特性由于二阶微分环节与振荡环节的传递函数互为倒数，因此，其伯德图可以参照振荡环节的伯德图翻转画出。极坐标图为：47由于(

)随频率的增长而线性迟后，将严重影响系统的稳定性ImRe0大()/(°)0°L()/dB0小=0

8.延迟环节其频率特性：G(j)=e

jτ

幅值特性：A()=e

jτ

=1相频特性：()=

(rad)=57.3()幅值总是1，相角随频率而变化，其极坐标图为一单位圆。48第五章频率响应法495.3控制系统的频率特性

5.3.1开环极坐标图

1.用幅频特性和相频特性计算做图式中

分别计算出各环节的幅值和相角后，按上式便可计算出开环幅值和相角，从而就可绘制出开环极坐标图。设开环传递函数为：则开环频率特性为：50解:RC超前网络的传函为()=90

arctanT

例5-1如图所示RC超前网络,要求绘制它的幅相曲线。式中T=RC。其频率特性为RC

r(t)c(t)515.0

0.98211.32.0

0.895301.0

0.70745幅相曲线如图ImRe0T=125

T=

T=01TA()()(°)0

0900.1

0.099584.30.3

0.28873.3∞

10()=90

arctanT522.

按实频特性和虚频特性计算作图把开环频率特性按实部和虚部分开，然后再用一系列值代入，计算相应的实频和虚频值,绘制出开环幅相曲线。

3.由极点—零点分布图绘制

由开环传递函数零极点形式先标出每一零点和极点，当s=j时，可作出相应零点或极点对应的矢量(频率特性)，根据所对应的值，计算出有关矢量的长度和角度，就能求得频率特性。

例5-2由极点—零点分布图求例1中的频率特性解：53G(j0)=090G(j1/T)=0.70745G(j2/T)=0.89530G(j5/T)=0.98211.3

G(j)=100

j-1/Tj+1/TImRe0=1/T2/T5/T

=541.极坐标图的起点即

ω

→0时，Gk(j0+)在复平面上的位置。0型系统：

Gk(j0)=K∠0°I型及I型以上系统：幅值相角0v=0v=1v=2最小相位系统552.极坐标图的终点即ω

→+∞时，Gk(+j∞)在复平面上的位置。相角幅值0n-m=2n-m=3n-m=1563.与实轴的交点令，解得ωx；将其代入即得与实轴的交点。4.变化范围根据实频、虚频符号或相角范围决定所在象限。574.开环极坐标图的近似绘制(1)确定起点(=0)：精确求出A(0)，(0)；(2)确定终点(=)：求出A()，()；(3)确定曲线与实轴的交点：

G(j)=Re()+jIm()令Im()=0求出x

代入Re(x)，求出与实

轴的交点；(4)确定曲线所在象限；根据Re()和Im()的符号，或根据()的变化范围。

最后由起点出发，绘制曲线的大致形状。58系统的幅频特性

：系统的相频特性

：试绘制系统的开环幅相曲线。例5-3已知系统开环传函为系统开环频率特性

解：系统为最小相位系统，0型，n-m=2。

59试绘制系统的开环幅相曲线。例5-3已知系统开环传函为解：系统为最小相位系统，0型，n-m=2。

（3）与实轴的交点：（1）起点：A(0)=K,φ(0)=0

（2）终点：A()=0,φ()=18060因此，与实轴交于点（K,0）。

令Im()=0求出x

=0代入Re(x)=K虚频：实频：61当增加时，()是单调减的，从0变化到180。（4）曲线所在象限：Im()<0Re()可正可负故曲线在第III，IV象限。或系统的相频特性

：62ImRe0=0幅相曲线大致形状如图:63例5-4已知系统开环传函为解：系统为最小相位系统，I型，n-m=2。

（1）起点：Gk(j0)=90

（2）终点：Gk(j)=0180（3）与实轴的交点:通过分析实部和虚部函数，可知与坐标轴无交点。试绘制系统的开环幅相曲线。64或当增加时，()是单调减的，从-90变化到180。（4）曲线所在象限：Im()<0Re()<0故曲线在第III象限。

()

=-90-arctan当

=0时，实部函数有渐近线为－1。65开环概略极坐标图如下所示：ImRe0=0→－166例5-5已知系统开环传函为试绘制系统的开环幅相曲线。1）起点：Gk(j0)=180

2）终点：Gk(j)=02703）与实轴的交点：令Im()=0x=0.707Re(x)=2.67k解：系统为最小相位系统，II型，n-m=3。

67或当增加时，()是单调减的，从-180变化到270。（4）曲线所在象限：Im()<0Re()<0故曲线在第II和III象限。

()

=

arctan2

-180-arctan

-arctan0.5

-

3+0.5

=-180

+arctan——————1+2.5

268ImRe0=0→－2.67k开环概略极坐标图如下所示：69

例5-11一单位反馈系统，其开环传函频率特性试绘制系统的开环幅相曲线。解：系统为非最小相位系统，不能根据型别、n-m的值确定起点和终点。

幅频特性相频特性

φ(ω)

=-(π-arctanω)70ReIm0

=0k

（1）起点：当

=0，Gk(j0)=k180

（2）终点：当

，Gk(j)=90

（3）与实轴的交点：（4）曲线所在象限：Im()<0Re()<0故曲线在第III象限。715.3.2开环伯德图

开环对数幅频特性和开环对数相频特性分别为说明：

L()和()分别都是各典型环节的叠加。72

例5-6已知一单位反馈系统，其开环传函为要求绘制伯德图。解：开环传函由三个典型环节组成：①比例环节10②积分环节1/s③惯性环节1/(0.2s+1)，转折频率为5比例环节的对数幅频特性：20lg10=20积分环节的对数幅频特性：-20lgω

惯性环节的对数幅频特性：73L()/dB020120dB/dec105①②③40dB/dec20dB/dec74

分析开环对数幅频曲线，有下列特点：（1）最左端直线的斜率为20dB/dec，这一斜率完全由

G(s)的积分环节数决定；（2）

=1时，曲线的分贝值等于20lgK；（3）在惯性环节转折频率5(rad/s)处，斜率从20dB/dec

变为40dB/dec。L()/dB020120dB/dec105①②③40dB/dec20dB/dec75

一般的近似对数幅频曲线特点：(1)

最左端直线的斜率为

20NdB/dec，N是积分环节

个数;(2)

在

=1时，最左端直线或其延长线的分贝值等于

20lgK，或最左端直线或其延长线在

=K1/N时过0分贝线；(3)在转折频率处，曲线的斜率发生改变，改变多少取

决于典型环节种类。具体地，

在惯性环节后，斜率减少

20dB/dec；

在一阶微分环节后，斜率增加20dB/dec；

在振荡环节后，斜率减少

40

dB/dec；

在二阶微分环节后，斜率增加40

dB/dec。76

绘制近似对数幅频曲线的步骤：①在半对数坐标上标出所有的转折频率；②确定低频段的斜率和位置；斜率：20NdB/dec，N是积分环节个数;

位置：最左端直线或其延长线

在

=1时，分贝值为20lgK，或在

=

K1/N时，过0分贝线。③由低频段开始向高频段延伸，每经过一个转折频率，

曲线的斜率发生相应的变化。77

对数相频特性作图时，首先确定低频段的相位角，其次确定高频段的相位角，再在中间选出一些插值点，计算出相应的相位角，将上述特征点连线即得到对数相频特性的草图。k()=090arctan(0.2)-90()/(°)0-180k(0)=90

k()=180k(1)=101.3k(5)=