第5章- 角动量守恒定律

第5章角动量角动量守恒定律1

角动量的概念是在研究物体转动问题时引入的。与动量、能量一样，角动量也是一个描述质点和质点系运动状态的基本物理量；角动量守恒定律也是一个与动量守恒定律和能量守恒定律并列的守恒定律。但是，角动量的概念和数学表达要比动量、能量复杂一些。微观:电子绕原子核运动宏观:行星绕太阳运动

〔例〕质点绕某一中心转动21）角动量。2）角动量守恒定律。3）有心力与角动量守恒定律。3第5章角动量、角动量守恒定律1）角动量。第一节角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律4-1ssssangularmomentumandlawofconservationofangularmomentum一、角动量大量天文观测表明rmvsinθ常量方向：rmv()定义：质点m绕某一中心O转动,对O点的角动量为单位：千克·米2/秒（kg·m2/s）。大小：L=rpsinθ

=mrvsinθ

5-1

角动量

宏观:行星绕太阳运动4二、质点的角动量定理及其守恒定律地球上的单摆OmqvrLmvr大小会变L变太阳系中的行星OrvmqsinqLmvr大小未必会变。靠什么判断？L变变变Lvrmsin大小Lmvrq质点对的角动量mO问题的提出5导致角动量随时间变化的根本原因是什么？LddtL思路：分析与什么有关？+()由Lvrm则ddtLddtrvmddtrvmrddt(vm)0vmv(两平行矢量的叉乘积为零)mdvdtmaF得ddtLrF角动量的时间变化率质点m对参考点O的位置矢量ddtLr所受的合外力F等于叉乘质点的角动量定理6ddtLrF是力矩的矢量表达：rF而OrFmd即力矩rFM大小:MFrsin方向:垂直于rF所决定的平面，由右螺旋法则定指向。Fdqq得质点m对给定参考点O的ddtLrFM角动量的时间变化率所受的合外力矩称为质点的角动量定理

的微分形式

如果各分力与O点共面，力矩只含正、反两种方向。可设顺时针为正向，用代数法求合力矩。7质点的角动量定理也可用积分形式表达ddtLM由,dLMdt0ttdLMdtL0LLL0称为冲量矩角动量的增量所受的合外力矩微分形式积分形式81）角动量。2）角动量守恒定律。3）有心力与角动量守恒定律。2）角动量守恒定律。9第5章角动量、角动量守恒定律质点的角动量守恒定律ddtLM根据质点的角动量定理

rFM()若MrF0则ddtL0即L常矢量当质点所受的合外力对某参考点的力矩OmM为零时，质点对该点的角动量的时间变化率为ddtLL零，即质点对该点的角动量守恒。质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律称为

若质点所受的合外力的方向始终通过参考点，其角动量守恒。如行星绕太阳运动，以及微观粒子中与此类似的运动模型，服从角动量守恒定律。5-2角动量守恒定律10开普勒第二定律应用质点的角动量守恒定律可以证明开普勒第二定律行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积11证：t时刻m对O的角动量大小为:Lrvmddtrrmsinqrmddtsmddtsh2mAddt即LAddt2m因行星受的合外力总指向是太阳，角动量守恒。hmsdOrdr+dtt()t)(r+drqAd21Addrh21sdhdt瞬间位矢扫过的微面积L则LAddt2m常量（称为掠面速率）故位矢在相同时间内扫过的面积相等12三、质点系的角动量定理质点系的角动量LSiLirSiimivi各质点对给定参考点的角动量的矢量和惯性系中某给定参考点m12m3mr13r2r3v2vv1O5-2角动量守恒定律13质点系的角动量定理LSiLiSirimivi将对时间求导ddtL(SiLiSiddtrimividdt+rimividdt(Si0+FiSivimivi+miiariri

内力矩在求矢量和时成对相消Om12mF1F1内F2内外F2外r12rd某给定参考点Si+iF内外Fi外ririSiMi内+SiMiSiMi外得ddtLSiMi外M质点系的角动量的时间变化率质点受外力矩的矢量和质点系的角动量定理称为微分形式14质点系的角动量定理LSiLiSirimivi将对时间求导ddtL(SiLiSiddtrimividdt+rimividdt(Si0+FiSivimivi+miiariri

内力矩在求矢量和时成对相消Om12mF1F1内F2内外F2外r12rd某给定参考点Si+iF内外Fi外ririSiMi内+SiMiSiMi外得ddtLSiMi外M质点系的角动量的时间变化率质点受外力矩的矢量和质点系的角动量定理称为微分形式ddtLSiMi外M质点系的角动量的时间变化率质点受外力矩的矢量和质点系角动量定理的微分形式质点系所受的0tdtMtdLLL0LL0质点系的冲量矩角动量增量质点系角动量定理的积分形式

若各质点的速度或所受外力与参考点共面，则其角动量或力矩只含正反两种方向，可设顺时针为正向，用代数和代替矢量和。15质点系角动量守恒质点系的角动量守恒定律0tdtMtdLLL0LL0ddtLSiMi外M由若,M0则LL0或L恒矢量当质点系所受的合外力矩为零时，其角动量守恒。5-2角动量守恒定律161(1)(2)(3)(4)两人同时到达；用力上爬者先到；握绳不动者先到；以上结果都不对。【例1】两人质量相等O一人握绳不动一人用力上爬可能出现的情况是:终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略17Om12mv12vR同高从静态开始往上爬忽略轮、绳质量及轴摩擦质点系m12m,若m12m系统受合外力矩为零，角动量守恒。系统的初态角动量系统的末态角动量m1v1R2m2vR0得2vv1不论体力强弱，两人等速上升。若m12m系统受合外力矩不为零，角动量不守恒。可应用质点系角动量定理进行具体分析讨论。讨论：18【例2】

质点系的内力可以改变

（A）系统的总质量。（B）系统的总动量。（C）系统的总动能。（D）系统的总角动量。[]【例3

】

一质点作匀速率圆周运动时,它的（A）动量不变，对圆心的角动量也不变。（B）动量不变，对圆心的角动量不断改变。（C）动量不断改变，对圆心的角动量不变。（D）动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变。[]CC191）角动量。2）角动量守恒定律。3）有心力与角动量守恒定律。3）有心力与角动量守恒定律。20第5章角动量、角动量守恒定律

自然界中有些力具有这样的性质：力的方向始终通过某一固定点，力的大小仅依赖于质点与这个点之间的距离。我们称这样的力为有心力，相应的固定点称为力心。例如，万有引力是有心力；静电作用力也是有心力。5-3有心力与角动量守恒定律rm有心力F力心o

物体运动仅受有心力作用时，力对力心O点的力矩始终为零。

在有心力作用下，运动物体对力心O的角动量守恒。21行星绕太阳运动：

引力指向太阳，行星在引力(有心力)作用下绕太阳运动，而且，对力心O的力矩为零，因此行星绕太阳运动过程中角动量守恒。22例1地球在远日点时，它离太阳的距离为r1=1.52×1011m，运动速率v1=2.93×104m/s，当地球在近日点时，它离太阳的距离r2=1.47×1011m，则运动速率v2为多少？解

地球在引力(有心力)作用下绕太阳运动，对力心O的力矩为零，因此角动量守恒。∴即:(1)该过程中地球动量守恒吗？地球动量不守恒，因地球速度大小、方向均在变*。(2)能否按引力等于向心力立方程求解？曲率半径未知，条件不够。23解(1)力矩

力矩为一常量；方向，垂直于屏幕向内。【例2】一个质量为m的质点从P点由静止开始沿y轴自由下落，如图所示。以原点O为参考点，求：(1)任意时刻作用在m上的力矩；(2)任意时刻的角动量L；(课本5-2)∴∴方向：垂直于屏幕向内。角动量(2)24【例3】如图所示，质量m的小球某时刻具有水平朝右的速度v，小球相对图示长方形中A，B，C三个顶点的距离分别是d1、d2、d3，且有，试求：(1)小球所受重力相对A，B，C的力矩；(2)小球相对A，B，C的角动量。解(1)力矩{方向：垂直图平面向里，大小；角动量(2){方向：垂直图平面向里，大小；25【例4】质量m0的质点固定不动，在它的万有引力的作用下，质量m的质点作半径为R的圆轨道运动。取圆周上P点为参考点，如图所示，试求：①质点m在图中点1处所受的力矩和质点的角动量；②质点m在图中点2处所受的力矩和质点的角动量。解：①在点1处：力矩在点1处，m所受引力指向P点，故角动量由m作圆周运动的动力学方程，可得速度v力矩定义式角动量∴{方向：垂直图平面向外，大小；26力矩②在点2处{方向：垂直图平面向里，大小；角动量{方向：垂直图平面向外，大小；同上理可得的速度27【例5】质量同为m的两个小球系于一轻质弹簧两端，放在光滑水平桌面上，弹簧处于自由伸长状态，长为a，其劲度系数为k，今使两球同时受水平冲量作用，各获得与连线垂直的等值反向初速度，如图所示。若在以后运动过程中弹簧可达的最大长度b=2a，试求两球初速度大小v0。解:

k两球和弹簧视为系统。由角动量守恒*：v为弹簧最大长度b时的速度

因对称，弹簧中点O相对于桌面不动。系统所受外力冲量矩为零，系统对O点角动量守恒；外力做功为零，系统机械能守恒。由机械能守恒：解以上两式，并将b=2a代入，得：28THEEND29作业练习三10、1130例6如图所示，在光滑水平面上有一长l=0.5m的绳子，一端固定于O点，另一端系一质量m=0.5kg的物体。开始时，物体位于位置A处，OA间的距离d=0.5m，绳子处于松弛状态。现在使物体以与OA垂直的初速度向右运动，到达位置B时物体速度的方向与绳垂直。试求物体在B处的角动量和速度。(课本5-4)解因作用于物体的合外力矩为零，故物体角动量守恒，得物体角动量：∴31例7

我国第一颗东方红人造卫星的椭圆轨道长半轴为a=7.79×106m，短半轴为b=7.72×106m，周期T=114

min，近地点和远地点距地心分别为r1=6.82×106m和r2=8.76×106m。（1）证明单位时间内卫星对地心位矢扫过的面积为常量；（2）求卫星经近地点和远地点时的速度V1

和V2

。解卫星在引力(有心力)作用下绕地球运动，对力心O的力矩为零，因此角动量守