流体力学-(8)讲解学习

流体力学-(8)B4.3.3

伯努利方程的水力学意义沿总流的伯努利方程可改写为：该式表示无粘性不可压缩流体作定常流动时单位质量流体沿总流机械能守恒，该式是水力学中常用的形式。如图，在水力学中：将相应的水头高度连成线称为水头线。水面线为测压管水头线，总水头线保持定值。B4.3.4不定常伯努利方程对于粘性不可压缩流体的不定常流动，由欧拉一元运动方程沿流线从位置1到位置2积分可得：上式为不定常流伯努利方程。式中最后一项表示单位质量流体的非定常惯性力沿流线从位置1到位置2所做的功。B4.4积分形式的动量方程及其应用设，流体系统的动量为根据牛顿第二定律上式称为流体系统的动量方程，为作用在流体系统上的合外力。B4.4.1固定控制体如下图，在流场中取固定不变形的控制体CV，控制面CS。设在t

时刻，作用在流体系统上的合外力与作用在控制体上的外力也重合。上式为对固定不变形控制体的流体动量方程,式中v均取绝对速度。设在

t时刻，流体系统与控制体相重合，利用输运公式可得系统动量在控制体上的随体导数：当流动为定常时，动量方程中的当地项为零，方程变为：上式为对固定不变形控制体的定常流动动量方程，该式表明:定常流动中作用在控制体上的合外力等于从控制面净流出的动量流量（见图）B4.4.1固定控制体沿流管的定常流动

B4.4.1固定控制体图示为一维流管控制体，出入口截面为A1,A2，平均速度为V1,V2，净流出流管的动量流量为这里,，为出入口质量流量大小，式中负号是因为入口端的(vn)<0。上式称为沿流管的定常流动动量方程或一维定常流动动量方程。运用可压缩流体定常流动连续性方程B4.4.1固定控制体由动量方程可得它表明:

流出流管的动量流量减去流入流管的动量流量等于作用在流束上的合外力。在具有多个一维出入口的控制体上的定常流动

B4.4.1固定控制体当控制面上有多个一维出入口时，由不定常流动动量方程可得：式中：out代表是出口，in代表是入口，应满足连续性方程要求。令，vr为运动坐标系中的相对速度。由动量定律和输运公式可得B4.4.2

匀速运动控制体

当控制体作匀速运动时，固结于控制体上的坐标系仍是惯性系。上式为匀速运动控制体的流体动量方程。当流动为定常时：如下图，对具有多个一维出入口的控制体中的定常流动：B4.4.2

匀速运动控制体式中：为运动坐标系中的质流量已知:一车厢以的速度做匀速直线运动，一般由固定喷管流出的自由射流沿车厢前进方向冲入固结于车厢上的导流片，水流截面积，速度

，水流沿导流片偏转一角度θ

后流出，忽略质量力和粘性影响。求：射流对固定导流片的冲击力F与θ

的关系。解：建立图示坐标系和控制体，按一维流动处理，在坐标系中，入口和出口的速度分别为,由伯努力方程：例题B4.4.2自由射流冲击运动的导流片：相对运动的影响因，故，由不可压缩条件，质流量为例题B4.4.2自由射流冲击运动的导流片：相对运动的影响作用在控制体上的外力为，由动量方程或例题B4.4.2自由射流冲击运动的导流片：相对运动的影响讨论：计算结果表明与例B4.4.1C相比，除了冲击力减小外，其余结果相似，相当于用绝对速度

v=30m/s，冲击固定导流片情况一样。结果相似（a）（b）作用力大小和方向B4.5积分形式的动量矩方程B4.5.1

固定的控制体根据动量矩定律，流体系统的动量矩方程为：设，r为从原点到流体元的矢径，v为流体元的速度。由系统广延量定义，流体系统的动量矩为∑M为作用在流体系统上的合外力矩。（a）如图，在流场中取固定不变形的控制体CV，控制面为CS。设在

t时刻流体系统与控制体相重合，利用输运公式，可得系统动量矩在控制体上的随体导数：设在t时刻作用在流体系统上的合外力矩与作用在控制体上的合外力矩也重合:B4.5.1

固定的控制体（b）上式为对固定不变形控制体的流体动量矩方程。式中v为绝对速度。合外力包括重力、表面力等全部外力对原点的力矩：B4.5.1

固定的控制体由（a）式和（b）式可得：B4.5.1

固定的控制体当流体绕定轴旋转时常单列出由转轴产生的力矩，称为轴矩Ts,即将动量矩方程应用于定轴转动的流体机械时，在一般情况下，重力和表面力对转轴的力矩与轴矩相比可以忽略，而且正常运行时流动可视为定常的，方程可简化为定轴旋转流场动量矩方程

上式为定轴匀速转动流场的动量矩方程一般式，常用于涡轮机械。欧拉涡轮机方程

右图为涡轮机转子示意图，转子绕z轴以匀角速度旋转，流体以均匀分布的绝对速度V1

流入内圆面（半径为r2），质流量为；以均匀分布的绝对速度V2流出外圆面（半径为r1），质流量守恒。B4.5.1

固定的控制体B4.5.1

固定的控制体定义轴功率，由上式可得：考虑到牵连速度，上式又可表示为由定轴匀速转动流场的动量矩方程得：上式称为欧拉涡轮机方程，式中Vθ1,Vθ2

为转子内外圆上切向速度分量，负号是因为在内圆上(v∙n)<0

。该式适用于各类定轴旋转流体机械。思考题:

请指出下列说法中正确的说法：（）（A）

欧拉涡轮机方程仅适用于涡轮机，即输出功的机械；（B）

欧拉涡轮机方程既适用于输出功的机械（Ts<0），也适用于吸收功的机械（Ts>0

，如泵类）；（C）

欧拉涡轮机方程仅适用于不可压缩流动。B4.5.1

固定的控制体已知:如图一小型离心泵（轴向进水，径向出水），入口直径

,出口直径，叶轮宽

,叶轮转速

,出流径向速度为

。试求：（1）输入叶轮的轴距

；（2）输入轴功率解：取包围整个叶轮的固定控制体如图中虚线所示，忽略体积力和表面力。设流动是定常的，由连续性方程可得:例题B4.5.1混流式离心泵：固定控制体动量矩方程例题B4.5.1混流式离心泵：固定控制体动量矩方程叶轮旋转角速度为=2πn/60=2π×4000/60=418.88(rad/s)Vθ2=R2=d2/2=418.88×0.1/2=20.94(m/s)流体的出口切向速度为因入口为轴向流动，Vθ1=0，由欧拉涡轮机方程，轴矩为输入功率为B4.6积分形式的能量方程设η(r,t)=eε，eε为单位质量流体的储存能：B4.6.1

固定的控制体式中:e为单位质量流体的内能，v2/2为单位质量流体的动能，gz为单位质量流体的重力势能。由系统广延量的定义式，流体系统的能量为(1)设在t时刻流体系统与控制体相重合，利用输运公式，可得系统能量在控制体上的随体导数：如图，在流场中取固定不变形的控制体CV，控制面为CS。B4.6.1

固定的控制体根据热力学第一定律，流体系统的能量方程为(2)(3)B4.6.1

固定的控制体

设在t

时刻,

单位时间外界传入系统的热能与外界传入控制体的热能相同，系统对外界所做的功与控制体内流体对外界所做的功也相同，由(2)和(3)式，可得：上式中，包括在控制面上流体压强所作功率和通过旋转轴表面所作的功率（轴功率）,及粘性切应力所作摩擦功：(4)(5)上式为对固定不变形控制体的流体能量方程。若流动为定常的，上式可变为：B4.6.1

固定的控制体将（5）式代入（4）式中，并利用（1）式，可整理得：当控制体有多个一维出入口时（如图），忽略粘性切应力所做功率，由定常流动能量方程可得：B4.6.1

固定的控制体上式中取出入口截面上的平均值。

若只有一个出口（如图）：B4.6.1

固定的控制体由连续性方程，上式可化为式中：为单位时间内外界传给单位质量流体的热能；为单位时间内单位质量流体对外所做的轴功。思考题：

以下哪个条件不适合下面的能量方程（）（A）粘性流体；（B）定常与不定常流动；（C）取出入口截面上的平均值；B4.6.1

固定的控制体已知:下图为一涡轮机示意图，出入口面积相同A1=A2=0.0182m2。其它条件为V1=30.48m/s,1=8.556kg/m3,T1=760K;2=3.5kg/m3,T2=495K。涡轮机轴功率为马力，气体热力学方程为试求：（1）出口平均速度V2

；（2）涡轮机传热率例题B4.6.1涡轮机传热：能量方程(1)例题B4.6.1涡轮机传热：能量方程(1)设,z1=z2,e+p/=cpT，根据有多个一维出入口的定常流动能量方程,可得:解：连续性方程涡轮机质量流量为:例题B4.6.1涡轮机传热：能量方程(1)

（1）出口平均速度V2将以上两式代入前面的方程（2）涡轮机传热率为:例题B4.5.1涡轮机传热：能量方程(1)负号说明涡轮机吸收热量。B4.6.2

能量方程与伯努利方程比较伯努利方程推广形式一

同伯努利方程相比，上式多了一项能量损失，它可用于分析粘性流动，因此是伯努利方程的一种推广形式。对不可压缩流体一维定常流动，忽略摩擦功，若无外界输入轴功，ws=0，可得：式中，称为能量损失，包括向外传热和内能变化。上式不仅适用于粘性流动而且允许在流动中有能量输入，是伯努利方程的第二种推广形式。B4.6.2

能量方程与伯努利方程比较伯努利方程推广形式二

对不可压缩粘性流体一维定常流动，若有外界输入轴功ws.in,则上式适用于可压缩无粘性流体一维定常绝热流动，是