空间点线面的位置关系(优质课)教学提纲

空间图形是丰富的，它由一些基本的图形：点、线、面组成(zǔchénɡ).认识清楚它们的位置关系，对于我们认识空间图形是很重要的.§4空间图形的基本关系(guānxì)与公理第一页，共44页。观察长方体，你能发现长方体的顶点、棱所在的直线(zhíxiàn)，以及侧面、地面之间的关系吗？长方体由上下、前后、左右六个面围成，有些(yǒuxiē)面是平行的，有些(yǒuxiē)面是相交的；有些(yǒuxiē)棱所在的直线与面平行，有些(yǒuxiē)棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看作是某个面内的直线等等.空间中的点、直线、平面之间有什么位置关系，是我们(wǒmen)接下来要讨论的问题.第二页，共44页。常常把水平的平面画成锐角(ruìjiǎo)为450，横边长等于其邻边长2倍的平行四边形.如果一个平面被另一个平面挡住，则这遮挡(zhēdǎng)的部分用虚线画出来也可以不画。.平面的概念(gàiniàn)与画法几何里的平面是无限延展的.表示①平面α、平面β、平面γ；②用表示平行四边形的四个顶点或两个相对顶点的字母来表示，如平面ABCD或平面AC、平面BD.αβ第三页，共44页。1.空间点与直线(zhíxiàn)的位置关系有两种：①点A在直线(zhíxiàn)上②点B在直线(zhíxiàn)外AB2.空间点与平面的位置关系有两种：①点B在平面内②点A在平面外记作：BA记作：记作：记作：第四页，共44页。3.空间直线与平面的位置关系(guānxì)有三种：直线a与平面α有无数多个公共点1、直线(zhíxiàn)在平面内直线与平面只有(zhǐyǒu)一个公共点2、直线与平面相交Aα

a记作：直线a∩平面α=点A

直线与平面没有公共点3、直线与平面平行αaα

a记作：

记作：第五页，共44页。（2）两个平面(píngmiàn)相交---两个平面(píngmiàn)不重合，并且有公共点4.空间平面(píngmiàn)与平面(píngmiàn)的位置关系有两种：（1）两个平面(píngmiàn)平行---没有公共点的两个平面(píngmiàn)α记作：记作：第六页，共44页。5.空间两条直线的位置(wèizhi)关系：①平行(píngxíng)直线——②相交(xiāngjiāo)直线——③异面直线——在同一个平面内，没有公共点的两条直线。在同一个平面内，有且只有一个公共点的两条直线。不在任何一个平面内，没有公共点的两条直线。γababα记作：a//bbβaO记作：第七页，共44页。点、线、面之间的位置(wèizhi)关系及语言表达点A在直线(zhíxiàn)a上A∈a点A不在直线(zhíxiàn)a上A∈a点A在平面α上A∈α点A不在平面α上A∈αAα文字语言表达图形语言表达符号语言表达AaaAAα直线a在平面α内αa直线a在平面α外αaαAab∩α＝A

a∥α小结第八页，共44页。1、如图，用符号表示下列图形(túxíng)中点、直线、平面之间的位置关系．alABalPb（1）（2）2.观察(guānchá)长方体中点、直线、平面之间的位置关系第九页，共44页。(1)过一点可以(kěyǐ)做几条直线？两点呢？(2)过平面内一点可以做几个(jǐɡè)平面？两点呢？三点呢？思考(sīkǎo)：back第十页，共44页。ABC公理1：

经过不在同一直线(zhíxiàn)上的三点，有且只有一个平面.①图形(túxíng)语言：②符号语言：3.平面的基本(jīběn)性质第十一页，共44页。推论(tuīlùn)1经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.ABCa已知点Aa，求证过点A和直线(zhíxiàn)a可以确定一个平面.3.平面(píngmiàn)的基本性质第十二页，共44页。推论2

经过两条相交直线，有且只有一个(yīɡè)平面.推论(tuīlùn)3

经过两条平行直线，有且只有一个平面.baαabα推论(tuīlùn)1经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.ABCa注3：公理2及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据，是证明点、线共面的依据，也是作截面、辅助平面的依据.ABC公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.3.平面的基本性质第十三页，共44页。思考(sīkǎo)：(1)不共面的四点可以确定多少(duōshǎo)个平面?(2)共点的三条直线可以确定多少(duōshǎo)个平面?4个1个或3个第十四页，共44页。①图形(túxíng)语言：AB公理(gōnglǐ)2：若一条直线上的两点在一个平面内，

则这条直线在此平面内.②符号语言：3.平面的基本(jīběn)性质第十五页，共44页。思考：两个平面会不会(bùhuì)只有一个公共点呢？不会！因为平面是无限(wúxiàn)延展的.因此，两个平面有一个公共点，必然有无数个公共点，并且这些公共点在一条直线上.3.平面的基本(jīběn)性质第十六页，共44页。P公理3：若两个不重合的平面有一个公共点，

则它们有且只有(zhǐyǒu)一条过该点的公共直线.①图形(túxíng)语言：②符号语言：③该公理(gōnglǐ)反映了平面与平面的位置关系：3.平面的基本性质第十七页，共44页。3.填空:_________________的三点确定一个平面;两条或直线确定一个平面;有一个公共点的两个(liǎnɡɡè)平面交于的一条直线.不在同一(tóngyī)直线上平行(píngxíng)相交唯一4.下列命题正确的是()

A.经过三点确定一个平面

B.经过一条直线和一个点确定一个平面

C.四边形确定一个平面

D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D第十八页，共44页。5.判断下列命题是否正确:(1)平面α与平面β相交,它们只有有限个公共点.(2)经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.(3)经过两条相交直线,有且只有一个平面.(4)如果两个平面有三个不共线的公共点,那么(nàme)这两个平面重合.×√√√练习(liànxí)back第十九页，共44页。abced我们知道,在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行(píngxíng),那么这两条直线互相平行(píngxíng).在空间这一规律是否还成立呢?观察(guānchá):将一张纸如图进行折叠,则各折痕及边a,b,c,d,e,…之间有何关系？a∥b∥c∥d∥e∥…3.平面的基本(jīběn)性质第二十页，共44页。符号(fúhào)表示:caabcc(4)公理(gōnglǐ)4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.aα①平行(píngxíng)具有传递性；注4：②该公理是判断空间两条直线平行的方法之一.即要证明两条直线平行，一般利用第三条直线作为联系两直线的中间环节.3.平面的基本性质第二十一页，共44页。例在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线(zhíxiàn)AB与C1D1，AD1与BC1是什么位置关系？为什么？解：C1ABCDA1B1D11）∵AB∥A1B1，C1D1∥A1B1，

∴AB∥C1D1

2）∵AB∥C1D1，且AB=C1D1∴ABC1D1为平行四边形故AD1∥BC1

练习：上例中，AA1与CC1，AC与A1C1的位置是什么(shénme)关系？第二十二页，共44页。例已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E，F，G，H分别(fēnbié)是AB，BC，CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，求证：EFGH是一个平行四边形.问1:若上例加上条件(tiáojiàn)AC=BD，则四边形EFGH是一个什么图形？“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明(zhèngmíng)平行的常用方法．∵EH是△ABD的中位线，∴EH∥FG且EH=FG．∴EFGH是一个平行四边形．证明：连结BD，同理，FG∥BD且FG=BD．

∴EH∥BD且EH=BD．ABDEFGHC菱形第二十三页，共44页。“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明(zhèngmíng)平行的常用方法．EFGback第二十四页，共44页。4.点线共面问题(wèntí)(1)证明的主要依据：公理1；公理2及其三个推论.(2)证明的常用方法：①纳入平面法：先由部分元素(yuánsù)确定一个平面，再证明其余有关的点、线在此平面内；②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素(yuánsù)确定平面，最后证明平面、重合.第二十五页，共44页。例证明两两相交且不同点的三条直线(zhíxiàn)必在同一个平面内.ABC已知：AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C求证(qiúzhèng)：直线AB，BC，AC共面.证明(zhèngmíng)：因为AB∩AC=A，所以直线AB，AC确定一个平面.（推论2）因为B∈AB，C∈AC，所以B∈，C∈，故BC.（公理1）因此直线AB，BC，CA共面.确定一个面，再证明其余线在该面内.4.点线共面问题第二十六页，共44页。4.点线共面问题(wèntí)第二十七页，共44页。证明：一条直线(zhíxiàn)与两条平行直线(zhíxiàn)都相交，则这三条直线(zhíxiàn)共面.已知：a//b，a∩c=A，b∩c=B.求证(qiúzhèng)：直线a，b，c共面.证明(zhèngmíng)：因为a//b，所以直线a，b确定一个平面.（推论3）因为A∈a，B∈b，所以A∈，B∈.又因为A∈c，B∈c.故AB.（公理1）因此直线a，b，c共面.4.点线共面问题第二十八页，共44页。思考已知一条(yītiáo)直线与三条平行直线都相交，证明这四条直线共面.已知：a//b//c，a∩l=A，b∩l=B,c∩l=C.求证(qiúzhèng)：直线l与a，b，c共面.证明(zhèngmíng)：∵a//b，∴直线a，b确定一个平面.（推论3）∵l∩a=A，

l

∩b=B，∴A∈，B∈.又A∈l，B∈l，故l.同理，直线b，c确定一个平面，且l.∴平面与都过两相交直线b，l.又∵两相交直线确定一个唯一的平面.∴与重合.故l与a，b，c共面.证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法.4.点线共面问题第二十九页，共44页。练已知a，b，a∩b=A，P∈b，PQ//a.求证(qiúzhèng)：PQ.4.点线共面问题(wèntí)第三十页，共44页。(1)证明的主要依据是公理3：如果两个(liǎnɡɡè)平面相交，则这两个(liǎnɡɡè)平面的公共点共线；如果两个(liǎnɡɡè)平面相交，那么一个平面内的直线和另一平面的交点必在这两个(liǎnɡɡè)平面的交线上.(2)证明的常用方法：①首先找出两个(liǎnɡɡè)平面，再证这三个点都是这两个(liǎnɡɡè)平面的公共点；②选择其中两点确定一条直线，然后证明另一个点也在其上（一般地，这条直线看作某两个(liǎnɡɡè)平面的交线，往证第三个点也是两个(liǎnɡɡè)面的公共点）；③证明三线共点问题：先证明两条直线交于一个点，再证明第三条直线经过这个点（转化为证明点在线上的问题）5.证明三点共线、三线(sānxiàn)共点的问题第三十一页，共44页。例1已知三角形ABC的三条边AB、BC、AC与平面α分别交于P、Q、R.求证(qiúzhèng)：P、Q、R共线.BAQRCP证明(zhèngmíng)：同理Q、R也为公共(gōnggòng)点，所以P、Q、R共线.要证明各点共线，只要证明他们是两个相交平面的公共点.5.证明三点共线、三线共点的问题第三十二页，共44页。空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和CB上的点，G，H分别是CD和AD上的点，且EH与FG相交于K.求证：EH，BD，FG三条(sāntiáo)直线相交于同一点.分析：已知EH∩FG=K，要证EH，BD，FG共点.即要证明B，D，K三点(sāndiǎn)共线.而BD是面ABD和面(hémiàn)CBD的交线.所以往证K∈面ABD∩面CBD.而显然，由EH∈面ABD，K∈EH，可得K∈面ABD.同理，由FG∈面CBD，K∈FG，可得K∈面CBD.5.证明三点共线、三线共点的问题第三十三页，共44页。FE第三十四页，共44页。√√√××第三十五页，共44页。ABCDA1B1C1D1OABCDA1B1C1D1EF找两平面的两个公共点例几何体中的截面问题(wèntí)（两平面的交线问题(wèntí)）第三十六页，共44页。Q即交线为QN例几何体中的截面(jiémiàn)问题（两平面的交线问题）拓展(tuòzhǎn)第三十七页，共44页。正方体截面形状(xíngzhuàn)小结形状特殊情形三角形锐角三角形等腰