第5章瞬态分析

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一阶电路的定义：换路后，电路中仅含一个或者可以等效为一个储能元件的线性电路，其电路方程是一阶常系数微分方程，称为一阶电路（firstordercircuit）。一、一阶RC电路的零输入响应：如图所示，换路前开关S合在位置2上，换路前电路已达稳态，电容器充电至电源电压：在t=0时，开关突然由2打向1，电容通过电阻R形成回路放电，此时电路已没有外施激励源，其中的响应由电容的初始状态引起，即零输入响应。由KVL得：上式是关于uc的一阶齐次微分方程，用分离变量法解之两边取积分：方程变形为：任意一阶RC电路的零输入响应为：一阶RC电路的零输入响应有以下特点：①换路瞬间电容电压保持不变，电流发生突变形成放电过程。换路后，所有的响应都是是按相同的指数规律衰减。②衰减的指数规律仅由电路的结构和参数决定与变量的选择无关。③衰减的速度取决于1/RC（衰减系数）。称其为一阶电路的时间常数④响应与其初始值成正比。初始值增大几倍，响应增大几倍。⑤一阶RC电路的零输入响应是靠电容中储存的电场能的释放维持，释放的能量同时被电阻消耗，暂态过程最后以能量的耗尽而告终。此为一阶RC电路的零输入响应的实质。WR=WC二、一阶RC电路的零状态响应：

电容元件初始能量为0，由t>0时刻电路中外加激励作用所产生的响应。如图所示电路，开关闭合前电容器未充电即处于零状态：开关闭合后，电源通过R、C形成回路，给电容充电。此时电路的初始状态为零，响应由外施激励源引起，为零状态响应。此为一阶常系数非齐次微分方程其解由两部分组成：)(tu)0(>=+tuudtduRCSCCC为变量列写微分方程为：以一阶RC电路的零状态响应：①通解(generalsolution):②特解(particularsolution)：一般与微分方程常数项（外施激励源）的形式相同，是满足原非齐次微分方程的一个解。

由电路知US是换路后电路重新达到稳态即t=+∞时电容电压。一阶RC电路的零状态响应有以下特点：①电容上的电压（状态）从初始值开始逐渐增加，最后达到新的稳态值。它由两部分组成：a:稳态分量：方程的特解即电路达到稳态时的稳态值。它受外施激励源制约，也称为强制分量；b:暂态分量：方程的通解其变化规律与零输入响应相同按指数规律衰减为零，只在暂态过程中出现故称暂态分量。其形式与外施激励源无关也称为自由分量。起始值与外施激励源有关。②电流在换路瞬间发生突变，其值为US/R即换路后的初始值，电路以此值开始给电容充电，随着极板上的电荷增多电容电压的增大，i=(US-uC)/R减小，最后为零，电容电压为US。③一阶RC电路的零状态响应实质是电路储存电场能的过程。电源在充电过程中提供的能量，一部分转化成电场能储存在电容中，一部分被电路中的电阻消耗。且有WC=WR电源提供的能量只有一半储存在电容中。充电效率50﹪，与电阻电容数值无关。电源电阻电容二、一阶电路的三要素法

稳态值，初始值和时间常数称为一阶电路的三要素，通过三要素可以直接写出一阶电路的全响应。这种方法称为三要素法。若全响应变量用f(t)表示，则全响应可按下式求出：

三要素的计算：

1.初始值f(0+)。（1）求出电容电压uC（0-）或电感电流iL(0-)（2）根据换路定律，求出响应电流或电压的初始值i(0+)或u(0+),即f(0+)。

2.稳态值

f(∞)。作换路后t=∞时的稳态等效电路，求取稳态下响应电流或电压的稳态值

i(∞)或u(∞),即f(∞)。作t=∞电路时,电容相当于开路;电感相当于短路。

3.时间常数τ。τ=RC或L/R，其中R值是换路后断开储能元件C或L,由储能元件两端看进去,用戴维南等效电路求得的等效内阻。

注意：三要素法仅适用于一阶线性电路，对于二阶或高阶电路是不适用的。例1：如图所示电路原已稳定，t=0时开关S闭合，试求电感电压uL。解（1）求初始值：作t=0–等效电路如图（b）所示。则有：（b）3ALt=03ALSR2R1R3IS2211H（a）作t≥0时的电路如图（c）所示，则有：R1R32AR2（c）（3）求时间常数：等效电阻为：时间常数为：（2）求稳态值：画t=∞时的等效电路,如图(d)所示。R1R2R3（d）所以，全响应为：例2：如图（a）所示电路，在t=0时开关S闭合，S闭合前电路已达稳态。求t≥0时uC(t)和iC(t)。

解：（1）求初始值uC(0+)。作t=0—时的等效电路如图（b）所示。则有：S（t=0）2μF+－uC+－20V(a)iC4kΩ

4kΩ

2kΩ

+－uC（0－）+－20V(b)4kΩ

2kΩ

作t=0+等效电路如图（c）所示。列出网孔电流方程：+－+－20V(c)iC（0+）4kΩ

4kΩ

2kΩ

20Vi（0+）可得：（2）求稳态值uC(∞)、iC(∞)。作t=∞时稳态等效电路如图（d）所示，则有：+－+－20V(d)uC（∞）4kΩ

4kΩ

2kΩ

iC（∞）

（3）求时间常数τ。将电容断开，电压源短路，求得等效电阻为：

(4)根据全响应表达式可得出电容的电压、电流响应分别为：

小结利用换路定律和0+等效电路，可求得电路中各电流、电压的初始值。2.一阶电路的零输入响应零输入响应就是无电源一阶线性电路，在初始储能作用下产生的响应。其形式为：1.换路定理在电路理论中，通常把电路状态的改变（如通电、断电、短路、电信号突变、电路参数的变化等）,统称为换路。换路前后瞬间，电感电流、电容电压不能突变，称为换路定律。即：式中，f(0+)是响应的初始值，τ是电路的时间常数。3.一阶电路的零状态响应零状态响应就是电路初始状态为零时由输入激励产生的响应。其形式为：式中，f(∞)是响应的稳态值。4.一阶电路的全响应全响应就是初始状态不为零的电路在输入恒定直流激励下产生的响应。其两种分解为：(暂态响应)

(稳态响应)

5.一阶电路的三要素法

一阶电路的响应f(t),由初始值f(0+)、稳态值f(∞)和时间常数τ三要素所确定，利用三要素公式可以简便地求解一阶电路在直流电源作用下的电路响应。全响应表达式为：

计算响应变量的初始值f(0+)和稳态值f(∞)，分别用t=0+时的电路和t=∞时的电路解出。作t=0+时的电路，将uC(0+)和iL(0+)分别视为电压源和电流源。作t=∞时的电路，电容相当于开路、电感相当于短路。时间常数τ中的电阻R，是动态元件两端电路的戴维南等效电路电阻。理想开关换路换路前瞬间换路后瞬间电路的初始状态：初始值：电路变量在的值。初始值电容电压的初始值初始值若换路瞬间电容电流有界，则电感电流的初始值若换路瞬间电感电压有界，则

设开关断开前电路已持续很长时间，求电容电流和电感电压的初始值。初始值RC串联电路

若电容的初始电压为零，换路后电容电压增大。KVL：一阶RC电路的响应

充电结束后，电容上电压等于电源电压。

电路中电压电流的变化规律？

充电需要多长时间？一阶微分方程一阶RC电路的响应其中几种特殊情况：1）（零输入）时间常数工程中取（放电）的持续期为或一阶RC电路的响应2）（零状态）一阶RC电路的响应一阶RC电路的响应零状态条件下的能量充电结束后电容存贮的能量在整个充电过程中电源提供的能量在整个充电过程中电阻消耗的能量一阶RC电路的响应3）一阶RC电路的响应如何求解电流？电流的波形？例：若零状态响应，则注意：电路必须是零状态的要将响应写成完整表达式微分、积分性质例：求电容电压的单位斜变响应。微分、积分性质解：5.5二阶电路动态元件有2个，用二阶微分方程描述。与一阶电路不同，没有通用求解公式。分析的基本方法：微分方程法。本节重点介绍RLC串联电路其方法也可推广到RLC并联电路一般二阶电路的分析略引言该二阶微分方程求解需要已知：微分方程时齐次解：令则特征根的3种形式：1）不相等的实根2）相等的实根3）复数根特解：特征方程常数的确定其他量不相等的实根例：求各电压电流的单位阶跃响应。

试用响应曲线说明动态元件的充放电过程，并求出电流的最大值。不相等的实根练习：R=3W,L=1H,C=0.5F,u(0)=1V,i(0)=0。求u

和i。Ans：不相等的实根常数的确定相等的两个实根复数根复数根例：求各电压电流的单位阶跃响应。复数根虚根情况复数根

若右图中电容的初始电压已知，试从物理概念确定电压和电流的振幅，并绘制出其波形。常用术语

当特征根为复数时，响应具有振荡性，否则，响应是非振荡性的。电路理论证明，对由电阻和动态元件全为电容或全为电感组成的二阶电路，响应一定是非振荡性的。根据两个特征根的形式，实数时称电路是过阻尼的，相等时是临界阻尼的，复数时是欠阻尼的（虚数时是无阻尼）。典型电路分析(RLC串联)1.列写方程i=duCdt-CRi=-RCuL=Ldidt=-LCd2uCdt2由KVL：-uC+Ri

+uL

=0LCd2uCdt2duCdt+RC+uC=0代入上式得二阶齐次微分方程duCdt若以电容电压为变量则有uC(0+)=U0，i(0+)=0初始条件为或duCdt=-Ct=0+i(0+)=0C+-uC+-S(t=0)+-uLRL+-uRiU0I0(t≥0+)二阶电路的零输入响应2.解方程特征方程的根特征方程

LCp2+RCp+1=0p1=2LR-+2LR2-LC1uC(0+)=U0，LCd2uCdt2duCdt+RC+uC=0duCdt=0t=0+p2=2LR--2LR2-LC1(1)特征根只与电路参数和结构有关，与激励和初始值无关。(2)当R、L、C的参数不同时，特征根有不同的形式。C+-uC+-S(t=0)+-uLRL+-uRiU0I0(t≥0+)uC=

A1e

p1t+

A2e

p2t解的形式为(1)R＞23.分析三种情况p1、p2是两个不相等的负实根。A1=p2-p1p2U0A2=p2-p1p1U0由初始条件求得uC=p2-p1U0(p2ep1t-p1ep2t)所以LCp1,2=2LR-±2LR2-LC1LCd2uCdt2duCdt+RC+uC=0uC(0+)=U0，duCdt=0t=0+duCdti=-CuL=didt

L=-(p2-p1)U0(p1ep1t-p2ep2t)p1p2

=LC1考虑到

=-L(p2-p1)U0(ep1t-ep2t)tm2tmuCuLiotuC,uL,U0i|p2|>|p1|uC

第1项较大，且衰减较慢。故占主导地位。①总有uC≥0、i≥0

，说明C一直在释放电能。称非振荡放电或过阻尼放电。uC=p2-p1U0(p2ep1t-p1ep2t)分析C+-uC+-+-uLRL+-uRiU0tm2tmuCuLiotuC,uL,U0i|p2|>|p1|tm=p1-p2ln(p2∕p1)②i从0开始，到0结束，有极值。令

(di/dt)=0

得i达到

imax的时刻为：③0～tm：C的电场能转化为L的磁场能和R的热能。④tm～∞：uL变负，C的电场能和L的磁场能都转化为R的热能。能量释放完毕，过渡过程结束。(2)令2LRd=LC1w2

=-22LRbwdw0R<2LC特征方程有一对共扼复根，其解的形式为：uC

=e-dt(A1coswt+A2sinwt)或

uC

=e-dtBsin(wt+b

)由初始条件uC(0+)=U0duCdt=0t=0+→B(-d)sinb+Bwcosb=0p1,2=2LR-±2LR2-LC1解得→Bsinb=U0B=U0sinbb=arctgwd令d2+w2=w0