概率的公理化定义

会计学1概率的公理化定义

即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率.下面介绍用公理给出的概率定义.1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义.

柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦.第1页/共26页概率的公理化定义公理2

P(Ω)=1

(2)

公理3

若事件A1,A2

,…

两两互不相容，则有

(3)这里事件个数可以是有限或无限的.公理10P(A)1

(1)

设E是随机试验，Ω是它的样本空间，对于Ω中的每一个事件A，赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数P()满足下述三条公理:第2页/共26页公理2

P(Ω)=1

(2)

公理3

若事件A1,A2

,…

两两互不相容，则有

(3)这里事件个数可以是有限或无限的.公理

10P(A)1

(1)公理1说明，任一事件的概率介于0与1之间；公理2说明，必然事件的概率为1；公理3说明，对于任何互不相容（互斥）的事件序列，这些事件至少有一个发生的概率正好等于它们各自概率之和.第3页/共26页

由概率的三条公理，我们可以推导出概率的若干性质.下面我们就来给出概率的一些简单性质.

在说明这些性质时，为了便于理解，我们常常借助于文氏图.第4页/共26页文氏图

Ａ设边长为1个单位的正方形的面积表示样本空间S其中封闭曲线围成的一切点的集合表示事件

A把图形的面积理解为相应事件的概率第5页/共26页

性质1

即不可能事件的概率为0.

由再利用公理2和公理3即得.第6页/共26页此为互不相容事件概率的加法公式。特别地，若A和B互不相容,则有性质2（有限可加性）若事件A1,A2

,…An

两两互不相容，则有由公理3可得。第7页/共26页例1

设一批同类产品中有50件，其中5件次品。现从中任取3件，求其中至少有一件次品的概率为多少？第8页/共26页因为1=P(S)=P(A)+P()ＡＡ

性质3对任一事件A

，有

(4)第9页/共26页

此性质在概率的计算上很有用，如果正面计算事件A的概率不容易，而计算其对立事件的概率较易时，可以先计算，再计算P(A).第10页/共26页例2

将一颗骰子抛掷4次，问至少出一次“6”点的概率是多少？令事件A={至少出一次“6”点}A发生{出1次“6”点}{出2次“6”点}{出3次“6”点}{出4次“6”点}直接计算A的概率较麻烦,我们先来计算A的对立事件={4次抛掷中都未出“6”点}的概率.第11页/共26页于是=0.518

因此

==0.482由于将一颗骰子抛掷4次,共有

=1296种等可能结果,而导致事件={4次抛掷中都未出“6”点}的结果数有=625种

第12页/共26页例3

有r个人，设每个人的生日是365天的任何一天是等可能的，试求事件“至少有两人同生日”的概率.

为求P(A),先求P()解：令A={至少有两人同生日}={r个人的生日都不同}则第13页/共26页用上面的公式可以计算此事出现的概率为

=1-0.524=0.476

美国数学家伯格米尼曾经做过一个别开生面的实验，在一个盛况空前、人山人海的世界杯足球赛赛场上，他随机地在某号看台上召唤了22个球迷，请他们分别写下自己的生日，结果竟发现其中有两人同生日.即22个球迷中至少有两人同生日的概率为0.476.第14页/共26页

表3.1

人数至少有两人同 生日的概率

200.411210.444220.476230.507240.538300.706400.891500.970600.994

所有这些概率都是在假定一个人的生日在365天的任何一天是等可能的前提下计算出来的.实际上,这个假定并不完全成立，有关的实际概率比表中给出的还要大.当人数超过23时，打赌说至少有两人同生日是有利的.第15页/共26页移项得第一式,便得第二式.再由由可加性

性质4设Ａ、B是两个事件，若,则有第16页/共26页

又因再由性质4即得.

性质5对任意两个事件A、B，有第17页/共26页

三个事件和的概率为

推广到多个事件

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)第18页/共26页

n个事件和的概率为

第19页/共26页第20页/共26页

它给出了概率所必须满足的最基本的性质，为建立严格的概率理论提供了一个坚实的基础.

下面，我们再重点介绍加法公式及其应用.这一讲，我们介绍了概率的公理化定义

由概率所必须满足的三条公理，我们推导出概率的其它几条重要性质.它们在计算概率时很有用，尤其是加法公式.第21页/共26页设Ai={第i封信装入第i个信封}i=1,2,3

A={没有一封信装对地址}

某人将三封写好的信随机装入三个写好地址的信封中，问没有一封信装对地址的概率是多少？直接计算P(A)不易，我们先来计算例5配对问题={至少有一封信装对地址}则第22页/共26页代入计算