高等数学下册总复习

高等数学复习1.向量的运算及方向余弦，平面与直线(包括坐标轴)

的位置关系。求直线方程和平面方程2.平面曲线绕坐标轴旋转而成的旋转曲面的方程。二次曲面3二元函数的连续、偏导数存在、可微及偏导数连续之间的关系。4曲面的切平面方程。曲线的切线和法平面方程6.复合函数求导(特别是抽象函数的求导问题)。多元隐函数求导，参数方程求导，求微分7.方向导数，梯度，多元函数的条件极值问题。高等数学复习8.二重积分的计算，对称性的应用，积分次序的交换。9.利用三重积分计算空间立体的体积，三重积分的

“先二后一”计算方法，先一后二，柱面坐标11.常数项级数的收敛与绝对收敛，幂级数的收敛域与和函数。函数展开成幂级数10.求立体的体积，（立体平面薄片）质量，曲面的表面积，第八章设1.基本概念模:方向余弦:2.向量运算点积:,夹角为叉积:投影空间曲面三元方程

球面

旋转曲面如,曲线绕z

轴的旋转曲面:

柱面如,曲面表示母线平行z

轴的柱面空间曲线三元方程组或,参数方程投影曲线(如,圆柱螺线)空间平面一般式点法式截距式空间直线与平面的方程空间直线一般式对称式参数式相关的几个问题(1)过直线的平面束(2)点的距离：方程到平面

：Ax+By+Cz+D=0d面与面的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:1、线面之间的相互关系直线2、线与线的关系直线垂直:平行:夹角公式:直线与平面的位置关系，空间曲线的切线，空间曲面的切平面（1）设则//椭圆锥面：椭球面：旋转椭球面：单叶双曲面：双叶双曲面：椭圆抛物面：双曲抛物面（马鞍面）：椭圆柱面：双曲柱面：抛物柱面：例求与两平面x–4z=3和2x–y–5z=1的交线提示:

所求直线的方向向量可取为利用点向式可得方程平行,且过点(–3,2,5)的直线方程.例2.

求直线与平面的交点.提示:

化直线方程为参数方程代入平面方程得从而确定交点为（1，2，2）.例3.

求直线在平面上的投影直线方程.提示：过已知直线的平面束方程从中选择得这是投影平面即使其与已知平面垂直：从而得投影直线方程例解过已知直线的平面束方程为由题设知由此解得代回平面束方程为1.二元函数的定义域、极限与连续第9章多元函数微分法

判断极限不存在及求极限的方法适当放缩、变量替换转化为一元函数的极限连续的概念2.二元函数的偏导数与全微分分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；3.多元函数的复合求导（链式法则）重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续(1)分析复合结构(画变量关系图)(2)正确使用求导法则正确使用求导符号4.方向导数与梯度函数在某一方向上的变化率，称为方向导数。函数f(x,y)在点可微，则沿任一方向l的方向导数存在，其中是方向l

的方向余弦.函数在梯度方向上的方向导数最大空间曲面曲面

在点法线方程1)隐式情况.的法向量切平面方程4.空间曲面的切平面与法线空间曲面切平面方程法线方程2)显式情况.法线的方向余弦法向量（1）构造拉格朗日函数：（2）联解方程组，求出问题的所有可能的极值点。求函数

z=f(x,y)在约束条件

(x,y)=0下的极值。（3）求出符合实际问题的最值点及最值拉格朗日乘数法：5.多元函数的极值及其求法求函数的全微分解因为所以例1解例.

求球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解:所以球面在点(1,2,3)处有:切平面方程即法线方程法向量令例6.

求函数在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2,−1)的方向的方向导数(沿直线的方向导数)解:

这里方向l即向量的方向，与l同向的单位向量为所求方向导数为设求在点处的梯度及它的模.解由于所以求函数的极值.解(1)

求偏导数(2)

解方程组得驻点(0,0)及(2,2).驻点(x0,y0)(0,0)(2,2)结论极大值f(0,0)=1

f(2,2)不是极值A4B22C+例7.求旋转抛物面与平面之间的最短距离.解：设为抛物面上任一点，则P

的距离为问题归结为约束条件:目标函数:作拉氏函数到平面令解此方程组得唯一驻点由实际意义最小值存在,故1.二重积分的计算第九章重积分

直角坐标系情形:极坐标系情形:选择合适的积分顺序：必要时交换积分顺序利用区域的对称性与被积函数的奇偶性。2.三重积分的计算直角坐标系：方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)柱坐标系：

实质是将xoy面上的点用极坐标表示（1）平面区域的面积（2）曲面的面积例1.

计算二重积分其中:(1)D为圆域(2)D由直线解:

(1)

利用对称性.围成.(2)

积分域如图:将D分为添加辅助线利用对称性,得例1解X-型例3·求由下列曲面围成的立体的体积方法1按直角坐标计算：方法2按柱坐标计算：15方法4按二重积分计算：方法3先二后一例3·求由下列曲面围成的立体的体积例2：求球面x2+y2+z2=a2含在圆柱面x2+y2=ax(a>0)内部的那部分面积.yzx解：A=4A1:Dxy:x2+y2≤ax,y≥0.zyxDxyzyxDxyA=4A1=2(2)a2五、数项级数收敛性判别，条件收敛与绝对收敛、幂级数的收敛域，幂级数求和函数。（1）数项级数收敛性判别1.正项级数比较判别法，比值判别法，根值判别法，收敛的必要条件几何级数、P

级数和调和级数2.交错级数：莱布尼茨定理3.任意项级数：绝对收敛和条件收敛。任意项级数收敛性判断的一般步骤：（1）检验（3）用正项级数审敛法检验是否收敛？则原级数绝对收敛，从而收敛，（4）若发散，但是用比值或根值法判断的则原级数也发散。是否成立？若否，则原级数发散若是或难求，则进行下一步；若是，否则，进行下一步；（2）若原级数为正项级数或交错级数，则可用正项级数或莱布尼茨判别法检验其收敛性，否则进行下一步（5）用性质或其它方法。（2）幂级数的收敛半径和收敛域求幂级数（1）利用极限（2）判定幂级数在端点确定收敛半径R及收敛区间处的收敛性，收敛域的一般步骤：（3）收敛域等于收敛区间加收敛的端点。说明（1）幂级数中不能出现“缺项”。（2）对幂级数要先做变换（3）求幂级数的和函数求幂级数（1）利用极限（2）判定幂级数在端点确定收敛半径R及收敛区间处的收敛性，收敛域的一般步骤：（3）收敛域等于收敛区间加收敛的端点。说明（1）幂级数中不能出现“缺项”。（2）对幂级数要先做变换性质3：幂级数逐项积分后所得级数的和函数s(x)

在收敛域I上可积，并有逐项积分公式其收敛半径与原级数相同。（3）求幂级数的和函数性质4：幂级数逐项求导后所得级数的和函数s(x)

在收敛区间内可导，并有逐项求导公式其收敛半径与原级数相同。说明：求和函数一定要先求收敛域。典型例题例1：若幂级数在x=-2处收敛，则此幂级数在x=5

处（

）

（A）一定发散。（B）一定条件收敛。（C）一定绝对收敛。（D）收敛性不能确定。

C例2：若幂级数的收敛半径是16，则幂级数的收敛半径是（）4例3：已知的收敛半径为3，则的收敛区间为（）

例4：级数当（）（A）p>1时条件收敛，（B）0<p

1时绝对收敛，（C）0<p

1时条件收敛，（D）0<p

1时发散。C解:

因故收敛区间为级数收敛;一般项不趋于0,级数发散;.

求下列级数的收敛域:.的收敛域.解:

令级数变为当t=2

时,级数为此级数发散;当t=–2时,级数为此级数收敛;因此级数的收敛域为故原级数的收敛域为即例3.解