高等数学第十一章曲线、曲面积分

第十一章曲线积分曲线域曲面域曲线积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分第十一章三、物理意义与几何意义1.问题的提出实例

（平面）曲线形构件的质量匀质之质量分割求和取极限近似值精确值一、对弧长的曲线积分的概念与性质2.定义曲线形构件的质量3.存在条件：4.推广注意：5.性质(以平面曲线的第一型积分为例)其它性质，如绝对值不等式、估值不等式、中值定理等仍然成立.二、对弧长曲线积分的计算)()()()](),([),(22bayjyjba<¢+¢=òòdt.ttttfdsyxfL定理,],[)(),()(),(),(,),(bayjbayj££îíì==ttttytxLLyxf且上具有一阶连续导数在其中的参数方程为上有定义且连续在曲线弧设则曲线积分存在，且注意:特殊情形;1.ba一定要小于上限定积分的下限因此上述计算公式相当于“换元法”.

3.因为推广:(3)例1解例2解例3解例4解由对称性,知三、物理与几何意义曲线弧的形心坐标思考.

求椭圆柱面位于xoy面上方及平面

z=y下方那部分柱面

的侧面积S.解:思考:例4中改为计算解:

令,则圆的形心在原点,故,如何例5.计算其中为球面解:化为参数方程则思考与练习1.已知椭圆周长为a,求提示:原式=利用对称性分析:2.

设均匀螺旋形弹簧L的方程为(1)求它关于z轴的转动惯量(2)求它的质心.解:设其密度为

ρ(常数).(2)L的质量而(1)故重心坐标为3.设C是由极坐标系下曲线及所围区域的边界,求提示:分段积分第二节一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分第十一章一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.

引例:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在xoy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,求移“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”常力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.1)“大化小”.2)“常代变”把L分成n个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F沿则用有向线段上任取一点在3)“近似和”4)“取极限”(其中为n个小弧段的最大长度)2.定义.设L为xoy平面内从A到B的一条有向光滑弧,若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,L称为积分弧段或积分曲线.称为被积函数,在L上定义了一个向量函数极限记作若为空间曲线弧,记称为对x的曲线积分;称为对y的曲线积分.若记有向曲线元,对坐标的曲线积分也可写作类似地,3两类曲线积分之间的联系：其中（可以推广到空间曲线上）5.性质(1)若L可分成k条有向光滑曲线弧(2)用L－

表示L的反向弧,则则

对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向

!(3)若L与x轴垂直,则.,),(),,(第二类曲线积分存在上连续时在光滑曲线弧当LyxQyxP4存在条件：二、对坐标的曲线积分的计算定理特殊情形例1解例2解问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.例3解问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.例4.设在力场作用下,质点由沿移动到解:(1)(2)的参数方程为试求力场对质点所作的功.其中为二者夹角为例5.设曲线段L的长度为s,证明续,证:设说明:

上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上连例6.将积分化为对弧长的积分,解：其中L沿上半圆周课堂练习：

练习：计算下列对坐标的曲线积分，

1、ò+--+Lyxdyyxdxyx22)()(,L其中为圆周

222ayx=+(按逆时针方向饶行)2

；、òG+-ydzdydx,其中为有向闭折线ABCA,这里

的CBA,,依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)

3、ò++ABCDAyxdydx,其中ABCDA是以)0,1(A，)1,0(B,

)0,1(-C,)1,0(-D为顶点的正方形正向边界线.

原点O的距离成正比,思考与练习1.设一个质点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到提示:F的大小与M到原F的方向力F的作用,求力F所作的功.思考:若题中F的方向改为与OM垂直且与y轴夹锐角,则2.解:动到向坐标原点,其大小与作用点到xoy面的距离成反比.沿直线移求F所作的功W.已知F的方向指一质点在力场F作用下由点解：。功最大？并求此最大功所做的一点时，使的第一卦限部分上的哪沿直线移动到曲面原点，问将质点从已知力场3FczbyaxOkxyjzxiyzFrrrrr1.222222=++++=第三节一、格林公式

二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件格林公式及其应用第十一章三、全微分方程

一、格林公式定理1边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.D区域D的情况：单连通区域(无“洞”区域)多连通区域(有“洞”区域)证明(1)yxoabDcdABCE同理可证yxodDcCE证明(2)D两式相加得GDFCEAB证明(3)由(2)知例1.设L是一条分段光滑的简单闭曲线,证明证:令则利用格林公式,得例2.

计算其中L为上半从O(0,0)到A(4,0).解:为了使用格林公式,添加辅助线段它与L

所围原式圆周区域为D,

则例3.

计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向简单闭曲线.解:令设L所围区域为D,由格林公式知在D内作圆周取逆时针方向,,对区域应用格记L和lˉ

所围的区域为林公式,得计算平面面积解课堂练习：1设

C为沿从点依逆时针的半圆,计算解:添加辅助线如图,利用格林公式.原式=到点解方向。为半径的圆周，逆时针）为圆心，，：以（，：计算2)1(01422¹+-òRRLyxydxxdyL3.

质点M沿着以AB为直径的半圆,从A(1,2)运动到点B(3,4),到原点的距离,解:

由图知故所求功为锐角,其方向垂直于OM,且与y

轴正向夹角为求变力F对质点M所作的功.F的大小等于点M在此过程中受力F作用,Gyxo曲线积分与路径无关的定义BA如果在区域G内有二、曲线积分与路径无关的条件显然，若C为G中任意光滑闭曲线,则有：曲线积分ò+LQdyPdx在G内与路径无关,等价于定理2两条件缺一不可定理的说明：证明

(充分性)设L为G中任一分段光滑闭曲线,(如图),且在D上利用格林公式,得所围区域为定理2目录上页下页返回结束证明

(必要性)略.说明:根据定理2,若在某区域内则计算曲线积分时,可选择方便的积分路径.解例2.设质点在力场作用下沿曲线L:由移动到求力场所作的功W解:令则有可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.思考:积分路径是否可以取取圆弧为什么？注意,本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关!解例3

设曲线积分òj+Ldyxydxxy)(2与路径无关,其中j具有连续的导数,且0)0(=j,计算òj+)1,1()0,0(2)(dyxydxxy.思考与练习1.设且都取正向,问下列计算是否正确?提示:).(2,1,,),(,),(.2212222，则，的同向光滑闭曲线，记是两条包围原点=+=++=+-=òiQdyPdxICCyxyxyxQyxyxyxPiCi).(),1,0(,)0,1(:1)cossin()sincos2(.3222==++-+=òIBAyxBAdyxyxdxxyyxIBA则弧为位于第一象限中的圆其中弧，曲线积分))三、二元函数的全微分求积定理3先讨论：P,Q满足什么条件才是某个二元函数的全微分？再讨论：当上述二元函数存在时把它求出来.证明（必要性）设存在函数u(x,y)使得则P,Q在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有证明(充分性)在G内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B(x,y),与路径无关,有函数定理设G是单连通域

,在G内具有一阶连续偏导数,(1)沿G中任意光滑闭曲线

L,有(2)对G中任一分段光滑曲线L,曲线积分(3)(4)在G内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在G内是某一函数的全微分,即定理2、定理3及相关结论可总结如下：定义:若P、Q在单连通区域G内具有连续的偏导数，且为du=

Pdx+Qdy在G内的原函数.及动点如何计算原函数呢？一种方法是：则称取定点或于是，也称Pdx+Qdy是G内的全微分式.例4.

验证在右半平面(x>0)内存在原函数,并求出它.证:

令则由定理2可知存在原函数或例5问是否为全微分式?求其一个原函数.如是,解在全平面成立所以上式是全微分式.因而一个原函数是：全平面为单连通域，法一(x,y)这个原函数也可用下法“分组”凑出:法二因为函数u满足故从而所以,问是否为全微分式?求其一个原函数.如是,由此得y的待定函数法三补例：若解:因为。试求

恒有任意与积分路径无关，且对且曲线积分导数，平面上有连续的一阶偏在补例函数),(),(2),(2,,),(2),(),1()0,0()1,()0,0(yxQdyyxQxydxdyyxQxydxtdyyxQxydxxOyyxQttLòòò+=++判别:P,Q在某单连通域D内有连续一阶偏导数,①为全微分方程则求解步骤:方法1凑微分法;方法2利用积分与路径无关的条件.1.求原函数u(x,y)2.由du=0知通解为

u(x,y)=C.四、全微分方程则称为全微分方程(又叫做恰当方程).①例6.求解解:因为故这是全微分方程.则有因此方程的通解为例7.求解解:∴这是一个全微分方程.用凑微分法求通解.将方程改写为即故原方程的通解为或积分因子法思考:如何解方程这不是一个全微分方程,就化成例8的方程.使为全微分方程,在简单情况下,可凭观察和经验根据微分倒推式得到为原方程的积分因子.但若在方程两边同乘若存在连续可微函数积分因子.常用微分倒推公式:积分因子不一定唯一.例如,对可取例8.

求解解:分项组合得即选择积分因子同乘方程两边,得即因此通解为即因x=0也是方程的解,故C为任意常数.备用题解方程解法1积分因子法.原方程变形为取积分因子故通解为此外,y=0也是方程的解.解法2化为齐次方程.原方程变形为积分得将代入,得通解此外,y=0也是方程的解.解法3化为线性方程.原方程变形为其通解为即此外,y=0也是方程的解.第四节一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分第十一章一、对面积的曲面积分的概念与性质引例:设曲面形构件具有连续面密度类似求平面薄板质量的思想,采用可得求质

“大化小,常代变,近似和,求极限”

的方法,量M.其中,表示n小块曲面的直径的最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).定义:设为光滑曲面,“乘积和式极限”都存在,的曲面积分其中f(x,y,z)叫做被积据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为f(x,y,z)是定义在上的一个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面上对面积函数,叫做积分曲面.则对面积的曲面积分存在.•对积分域的可加性.则有•线性性质.在光滑曲面上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.•积分的存在性.若是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面定理:设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续,存在,且有二、对面积的曲面积分的计算法

则曲面积分说明:可有类似的公式.1)如果曲面方程为2)若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS的表达式,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分.例1.

计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解:思考:若是球面被平行平面z=±h截出的上下两部分,则例2.

计算其中是由平面坐标面所围成的四面体的表面.解:设上的部分,则与原式=分别表示在平面例3.计算解:取球面坐标系,则例4.计算其中是球面利用对称性可知解:显然球心为半径为利用形心公式课堂练习：计算曲面积分中是球面解:利用对称性用重心公式例5.计算其中是介于平面之间的圆柱面分析:若将曲面分为前后(或左右)则解:取曲面面积元素两片,则计算较繁.例6.

求椭圆柱面位于xoy面上方及平面

z=y下方那部分柱面

的侧面积S.解:取例7解练习题１.设一卦限中的部分,则有().2.

设是四面体面,计算解:在四面体的四个面上同上平面方程投影域第五节一、有向曲面及曲面元素的投影二、对坐标的曲面积分的概念与性质

三、对坐标的曲面积分的计算法对坐标的曲面积分第十一章一、有向曲面及曲面元素的投影

曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带分上侧和下侧分内侧和外侧分左侧和右侧(单侧曲面的典型)双侧曲面的典型例子：指定了侧的双侧曲面称有向曲面，其方向用曲面上点的法向量指向表示.方向余弦>0为前侧<0为后侧封闭曲面>0为右侧<0为左侧>0为上侧<0为下侧外侧内侧侧的规定定义A.一般情况，将A分割成若干个上述类型的小矩形，然后迭加再取极限即可。当A是矩形,l且一边与l平行则也是矩形,且b.a有向曲面在坐标平面上的投影注：不管的侧如何指定,gpp

的法向量夹角为指定侧的法向量与有向平面21π

21σπA

上的有向投影为在上的区域规定为其面元在xoy面上的投影记为的面积为则规定类似可规定•设为有向曲面,二、对坐标的曲面积分的概念与性质

1.引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面的流量.分析:若是面积为S的平面,则流量法向量:

流速为常向量:

对一般的有向曲面,用“大化小,常代变,近似和,取极限”

对稳定流动的不可压缩流体的速度场进行分析可得,则设

为光滑的有向曲面,在

上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,分,记作P,Q,R叫做被积函数;叫做积分曲面.或第二类曲面积分.下列极限都存在向量场若对的任

则称此极限为向量场A在有向曲面上对坐标的曲面积2.定义.被积函数积分曲面类似地这里引例中,流过有向曲面的流体的流量为称为Q在有向曲面上对

z,x的曲面积分;称为R在有向曲面上对

x,

y

的曲面积分.称为P在有向曲面上对

y,z

的曲面积分;若记正侧的单位法向量为令有向曲面元素则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式：3.性质(1)若之间无公共内点,则(2)用ˉ表示的反向曲面,则（两类曲面间的关系）(3)若垂直于XOY面，则三、对坐标的曲面积分的计算法定理:设光滑曲面取上侧,是上的连续函数,则若则有若则有(前正后负)(右正左负)说明:如果积分曲面取下侧,则(右正左负)解:把分为上下两部分例1.计算曲面积分其中为球面外侧在第一和第八卦限部分.思考:下述解法是否正确:根据对称性例2.

计算曲面积分其中解:利用两类曲面积分的联系,有∴原式=旋转抛物面介于平面z=0及z=2之间部分的下侧.原式=例3.设S是球面的外侧,计算解:利用轮换对称性和奇偶对称性,有例4.

计算其中是以原点为中心,边长为

a

的正立方体的整个表面的外侧.解:

利用轮换对称性.原式的顶部取上侧的底部取下侧是平面在第四卦限部分的上侧,计算提示:求出的法方向余弦,转化成第一类曲面积分练习题.设备用题求取外侧.解:注意±号其中利用轮换对称性第六节Green公式Gauss公式推广一、高斯公式二、通量与散度高斯公式通量与散度第十一章一、高斯(Gauss)公式定理1.设空间闭区域由分片光滑的闭曲上有连续的一阶偏导数,函数P,Q,R在面所围成,的方向取外侧,则有或这里，是∑在点的方向余弦.例1.用Gauss

公式计算其中为柱面闭域的整个边界曲面的外侧.解:这里利用Gauss公式,得原式=(用柱坐标)及平面z=0,z=3

所围空间思考:

若改为内侧,结果有何变化?若

为圆柱侧面(取外侧),如何计算?例2.利用Gauss公式计算积分其中为锥面解:作辅助面取上侧介于z=0及z=h之间部分的下侧.所围区域为,则利用重心公式,注意例3.设为曲面取上侧,求解:

作取下侧的辅助面用柱坐标用极坐标思考与练习所围立体,判断下列演算是否正确?(1)为(2)练习题1

设是一光滑闭曲面,所围立体的体是外法线向量与点(x,y,z)的向径试证证:设的单位外法向量为则的夹角,积为V,另解：直接计算利用柱坐标二、通量与散度引例.设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场为理意义可知,设为场中任一有向曲面,单位时间通过曲面的流量为则由对坐标的曲面积分的物由两类曲面积分的关系,流量还可表示为若为方向向外的闭曲面,

当>0时,说明流入的流体质量少于当<0时,说明流入的流体质量多于流出的,则单位时间通过的流量为当=0时,说明流入与流出的流体质量相等.流出的,表明内有泉;表明内有洞;根据高斯公式,流量也可表为③方向向外的任一闭曲面

,

记所围域为,设是包含点M且为了揭示场内任意点M处的特性,在③式两边同除以的体积V,并令以任意方式缩小至点M则有此式反应了流速场在点M的特点:其值为正,负或0,分别反映在该点有流体涌出,吸入,或没有任何变化.定义:设有向量场其中P,Q,