2022-2023学年湖南省长沙市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)

2022-2023学年湖南省长沙市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(40题)1.（）。A.e-6

B.e-2

C.e3

D.e6

2.

3.图示悬臂梁，若已知截面B的挠度和转角分别为vB和θB，则C端挠度为()。

A.vC=2uB

B.uC=θBα

C.vC=uB+θBα

D.vC=vB

4.

5.平面的位置关系为()。A.垂直B.斜交C.平行D.重合6.设Y=x2-2x+a，贝0点x=1()。A.为y的极大值点B.为y的极小值点C.不为y的极值点D.是否为y的极值点与a有关

7.下列函数在指定区间上满足罗尔中值定理条件的是

A.

B.f(x)=(x-4)2，x∈[-2，4]

C.

D.f(x)=｜x｜，x∈[-1，1]

8.过曲线y=xlnx上M0点的切线平行于直线y=2x，则切点M0的坐标是()．A.A.(1，0)B.(e，0)C.(e，1)D.(e，e)9.（）。A.

B.

C.

D.

10.设球面方程为(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2=4，则该球的球心坐标与半径分别为()A.(-1，2，-3)；2B.(-1，2，-3)；4C.(1，-2，3)；2D.(1，-2，3)；411.()A.A.2xy＋y2

B.x2＋2xy

C.4xy

D.x2＋y2

12.A.A.仅为x=+1B.仅为x=0C.仅为x=-1D.为x=0，±1

13.

14.A.dx+dyB.1/3·(dx+dy)C.2/3·(dx+dy)D.2(dx+dy)15.设z=ln(x2+y)，则等于()。A.

B.

C.

D.

16.

17.A.A.6dx+6dyB.3dx+6dyC.6dx+3dyD.3dx+3ay

18.

19.

20.

21.当x→0时，x是ln(1+x2)的

A.高阶无穷小B.同阶但不等价无穷小C.等价无穷小D.低阶无穷小

22.

23.

24.

25.

26.∫sin5xdx等于()．

A.A.

B.

C.

D.

27.曲线y=lnx-2在点(e，-1)的切线方程为()A.A.

B.

C.

D.

28.

29.

30.（）A.A.sinx＋C

B.cosx＋C

C.-sinx＋C

D.-cosx＋C

31.

32.

33.设函数f(x)在(0，1)内可导，f'(x)＞0，则f(x)在(0，1)内A.A.单调减少B.单调增加C.为常量D.不为常量，也不单调

34.设y=2x3，则dy=()．

A.2x2dx

B.6x2dx

C.3x2dx

D.x2dx

35.下列关系正确的是（）。A.

B.

C.

D.

36.

37.为了提高混凝土的抗拉强度，可在梁中配置钢筋。若矩形截面梁的弯矩图如图所示，梁中钢筋(图中虚线所示)配置最为合理的是()。

A.

B.

C.

D.

38.

39.当x→0时，2x+x2是x的A.A.等价无穷小B.较低阶无穷小C.较高阶无穷小D.同阶但不等价的无穷小40.设y1，y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个特解，则C1y1+C2y2()．A.A.为所给方程的解，但不是通解B.为所给方程的解，但不一定是通解C.为所给方程的通解D.不为所给方程的解二、填空题(50题)41.设，且k为常数，则k=______．

42.

43.44.

45.

46.微分方程y''+6y'+13y=0的通解为______.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.56.设当x≠0时，在点x=0处连续，当x≠0时，F(x)=-f(x)，则F(0)=______．57.微分方程xy'=1的通解是_________。

58.

59.

60.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.设z＝2x＋y2，则dz＝______。

70.71.72.

73.设函数y=x2+sinx，则dy______．74.75.________.76.

77.过点M1(1，2，-1)且与平面x-2y+4z=0垂直的直线方程为_________．

78.微分方程y＋9y＝0的通解为________．

79.

80.

81.

82.

83.

84.85.86.级数的收敛区间为______．

87.88.

89.

90.

三、计算题(20题)91.证明：92.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．93.求曲线在点(1，3)处的切线方程．94.95.求微分方程的通解．96.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

97.

98.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

99.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

100.

101.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．102.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．103.

104.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．105.106.

107.108.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

109.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．110.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则四、解答题(10题)111.计算∫tanxdx。

112.求由曲线y=2-x2，y=2x-1及x≥0围成的平面图形的面积S，以及此平面图形绕x轴旋转所成旋转体的体积．

113.

114.

115.

116.

117.求∫sinxdx．118.

119.

120.五、高等数学(0题)121.若

，则

六、解答题(0题)122.求y"+2y'+y=2ex的通解．

参考答案

1.A

2.D

3.C

4.D解析：

5.A本题考查的知识点为两平面的关系。两平面的关系可由两平面的法向量，n1，n2间的关系确定。若n1⊥n2，则两平面必定垂直．若时，两平面平行；

当时，两平面重合。若n1与n2既不垂直，也不平行，则两平面斜交。由于n1=(1，-2，3)，n2=(2，1，0)，n1·n2=0，可知n1⊥n2，因此π1⊥π2，应选A。

6.B本题考查的知识点为一元函数的极值。求解的一般步骤为：先求出函数的一阶导数，令偏导数等于零，确定函数的驻点．再依极值的充分条件来判定所求驻点是否为极值点。由于y=x2-2x+a，可由y'=2x-2=0，解得y有唯一驻点x=1．又由于y"=2，可得知y"|x=1=2＞0。由极值的充分条件可知x=1为y的极小值点，故应选B。如果利用配方法，可得y=(x-1)2+a-1≥a-1，且y|x=1=a-1，由极值的定义可知x=1为y的极小值点，因此选B。

7.C

8.D本题考查的知识点为导数的几何意义．

由导数的几何意义可知，若y=f(x)在点x0处可导，则曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处必定存在切线，且切线的斜率为f'(x0)．

由于y=xlnx，可知

y'=1+lnx，

切线与已知直线y=2x平行，直线的斜率k1=2，可知切线的斜率k=k1=2，从而有

1+lnx0=2，

可解得x0=e，从而知

y0=x0lnx0=elne=e．

故切点M0的坐标为(e，e)，可知应选D．

9.D

10.C

11.A

12.C

13.A解析：

14.C本题考查了二元函数的全微分的知识点，

15.A本题考查的知识点为偏导数的计算。由于故知应选A。

16.A

17.C

18.A

19.B解析：

20.B

21.D解析：

22.A

23.B解析：

24.C解析：

25.A

26.A本题考查的知识点为不定积分的换元积分法．

，可知应选D．

27.D

28.B

29.D

30.A

31.A

32.C

33.B由于f'(x)＞0，可知．f(x)在(0，1)内单调增加。因此选B。

34.B由微分基本公式及四则运算法则可求得．也可以利用dy=y′dx求得故选B．

35.C本题考查的知识点为不定积分的性质。

36.D解析：

37.D

38.B

39.D

40.B本题考查的知识点为线性常系数微分方程解的结构．

已知y1，y2为二阶线性常系数齐次微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个解，由解的结构定理可知C1y1+C2y2为所给方程的解，因此应排除D．又由解的结构定理可知，当y1，y2线性无关时，C1y1+C2y2为y"+p1y'+p2y=0的通解，因此应该选B．

本题中常见的错误是选C．这是由于忽略了线性常系数微分方程解的结构定理中的条件所导致的错误．解的结构定理中指出：“若y1，y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个线性无关的特解，则C1y1+C2y2为所给微分方程的通解，其中C1，C2为任意常数．”由于所给命题中没有指出)y1，y2为线性无关的特解，可知C1y1+C2y2不一定为方程的通解．但是由解的结构定理知C1y1+C2y2为方程的解，因此应选B．

41.本题考查的知识点为广义积分的计算．

42.22解析：

43.

44.

45.3x2+4y3x2+4y解析：46.y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x)微分方程y''+6y'+13y=0的特征方程为r2+6r+13=0，特征根为所以微分方程的通解为y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x).

47.极大值为8极大值为8

48.

49.

50.

51.-2y

52.

53.

解析：

54.[*]55.2本题考查的知识点为二阶导数的运算．

f'(x)=(x2)'=2x，

f"(x)=(2x)'=2．56.1本题考查的知识点为函数连续性的概念．

由连续性的定义可知，若F(x)在点x=0连续，则必有，由题设可知

57.y=lnx+C

58.R

59.

解析：

60.

61.62.1；本题考查的知识点为导数的计算．

63.

64.

65.

解析：66.本题考查的知识点为偏导数的运算。由于z=x2+3xy+2y2-y，可得

67.f(x)+Cf(x)+C解析：

68.(01]69.2dx+2ydy

70.

71.72.由不定积分的基本公式及运算法则，有

73.(2x+cosx)dx；本题考查的知识点为微分运算．

解法1利用dy=y'dx．由于y'=(x2+sinx)'=2x+cosx，

可知dy=(2x+cosx)dx．

解法2利用微分运算法则dy=d(x2+sinx)=dx2+dsinx=(2x+cosx)dx．74.12dx+4dy．

本题考查的知识点为求函数在一点处的全微分．

75.

76.

77.

78.

本题考查的知识点为求解可分离变量微分方程．

79.

80.

81.11解析：82.1

83.

解析：本题考查的知识点为不定积分的凑微分法．

84.3/2本题考查了函数极限的四则运算的知识点。85.3yx3y-186.(-1，1)本题考查的知识点为求幂级数的收敛区间．

所给级数为不缺项情形．

可知收敛半径，因此收敛区间为

(-1，1)．

注：《纲》中指出，收敛区间为(-R，R)，不包括端点．

本题一些考生填1，这是误将收敛区间看作收敛半径，多数是由于考试时过于紧张而导致的错误．

87.-188.本题考查的知识点为重要极限公式。

89.3

90.1/4

91.

92.

93.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

94.

95.96.函数的定义域为

注意

97.

98.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

99.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

100.

101.

102.由二重积分物理意义知

103.由一阶线性微分方程通解公式有

104.

列表：

说明

105.

106.

则

107.

108.

109.110.由等价无穷小量的定义可知

111.112.如图10-2所示．本题考查的知识点为利用定积分求平面图形的面积；利用定积分求旋转体体积．

需注意的是所给平面图形一部分位于x轴上方，而另一部分位于x轴下方．而位于x轴下方的图形绕x轴旋转一周所成的旋转体包含于x轴上方的图形绕x轴旋转一周所成的旋转体之中，因此只需求出x轴上方图形绕x轴旋转所成旋转体的体积，即为所求旋转体体积．